李尚志教授線性代數(shù).ppt

線性代數(shù)新教材精彩案例 李尚志北京航空航天大學 2020 1 14 一 指導思想 1 主題文學 永恒主題 愛 死 數(shù)學 重要主題 方程 函數(shù)微積分 非線性 線性線性代數(shù) 多元一次方程組 多元一次函數(shù)組 2020 1 14 空間解析幾何 3維線性代數(shù)線性代數(shù) n維解析幾何空間為體 矩陣為用幾何問題 矩陣語言描述 矩陣運算解決 幾何解方程組 幾何描述 代數(shù)語言描述 矩陣運算求解 2 代數(shù)幾何熔一爐 2020 1 14 幾何PK代數(shù)幾何好看不好算代數(shù)好算不好看幾何 代數(shù) 幫助計算代數(shù) 幾何 幫助理解 2020 1 14 內(nèi)容 最簡單的方程 一次方程最簡單的函數(shù) 一次函數(shù)算法少 只有兩個 1 矩陣初等變換 2 矩陣乘法 通過初等矩陣相互轉(zhuǎn)化 1 5個 3 線性代數(shù)之易 2020 1 14 不怪抽象 不怪學生怪誰 只為考試死記硬背 不解決問題解方程組只會用中學代入法 判定方程組解的惟一性不會用線性無關 算旋轉(zhuǎn)不會用矩陣乘法 算旋轉(zhuǎn)軸不會用特征向量 抽象 許多不同事物共同點 難得糊涂 放之四海皆準 無招勝有招 4 線性代數(shù)之難 抽象 2020 1 14 學會少量算法 解決大量問題各種問題 轉(zhuǎn)化 凌波微步 少量算法無招勝有招如何實現(xiàn) 通過有招學無招積累案例 使用案例案例 陽春白雪 下里巴人抽象數(shù)學 貼近生活 喜聞樂見 易學易用 5 線性代數(shù)之教學任務 博客與視頻 網(wǎng)上資源 精品課程 國家級 數(shù)學實驗 2003 線性代數(shù) 2004 教育部 線性代數(shù) 非數(shù)學專業(yè) 2006 高等數(shù)學 2008 鄭志明 聯(lián)系辦法 lisz 2020 1 14 數(shù)學的神韻科學出版社2010 4 新書介紹 已出版教材李尚志 線性代數(shù) 數(shù)學專業(yè)用 高等教育出版社 2006 5 精品課程網(wǎng)頁 2020 1 14 案例1 1解n元一次方程組 與中學接軌 加減消去法各方程乘常數(shù)再相加 線性組合原方程組解 新方程解 原方程解 怎樣保證 變形前后互為線性組合 怎樣實現(xiàn) 初等變換 高斯消去法 只計算系數(shù) 矩陣消元 只用到加減乘除 數(shù)域 2020 1 14 案例2 1方程組惟一解問題 例1 過已知點的多項式函數(shù)曲線方程組的解是否惟一 2020 1 14 方程組惟一解問題 例2 已知電壓與各電阻 求各段電流對任意電阻值有惟一解 物理 yes 代數(shù) 方程組總有惟一解嗎 二元一次方程組的幾何意義 寫成向量形式 惟一解條件 OA OB不共線 組成平面上一組基 案例2 2n 2 3的幾何解法 用各aj線性組合b 何時系數(shù)惟一 案例2 3 n元方程組幾何解釋 2020 1 14 案例2 4共線共面概念推廣 幾何概念難推廣 用代數(shù)運算描述易推廣兩向量a b共線一個是另一個的實數(shù)倍xa yb 0有非零解 x y 三向量a b c共面一個是另兩個的線性組合推廣到n維向量線性相關 有非零解線性無關 只有零解若有解必惟一 xa yb zc 0有非零解 x y z 解方程組OB順時針方向旋直角到與方程兩邊作內(nèi)積消去y 得 是平行四邊形OAPB有向面積 稱為二階行列式 案例3 1二階行列式 幾何定義 利用基本性質(zhì)計算2階行列式 利用基本性質(zhì)計算 案例3 2三階行列式 幾何定義 D a b c 平行六面體有向體積 2020 1 14 案例3 3n階行列式定義 3階算法 各列取不同行元素ai bj ck相乘再乘d ijk 1 s d ijk 是自然基列向量ei ej ek排成的行列式 經(jīng)s次兩列互換為d 123 1 n階行列式D 排列經(jīng)s次對換變成則在中將1 2 依次往前一步步換到第1 2 位 則s 逆序數(shù) 2020 1 14 案例3 4行列式判定線性無關 方陣A的行列式 n維體積 D 0 各列線性無關 方程組Ax b有惟一解 證明 A的各列a1 an線性相關 某列ai是其余各列的線性組合將各列aj的 lj倍加到第i列 A的第i列化為零 D 0 可見 D 0 各列線性無關 反過來 D 0 初等行變換化成階梯形 最后一行為零 各列線性相關 2020 1 14 案例3 5惟一解公式 Crammer 以n 3為例 左邊第2列乘 y 第3列乘 z 各加到第1列再提取公因子x 得xD D1x D1 D 類似可得y D2 D z D3 D 案例4 1秩與維數(shù)的惟一性 向量組A a1 am 的線性組合B b1 bk k mB線性相關 記A的線性組合b為乘積形式則 3 k個m維數(shù)組Xj線性相關bj線性相關A B互為線性組合且線性無關m k 案例4 2矩陣乘法的引入 矩陣A a1 am 看成列向量組線性組合a1x1 anxn寫成 行向量 A乘列向量XA與矩陣X X1 Xk 的乘積 A乘各列AX A X1 Xk AX1 AXk 實際上是利用分塊運算引入矩陣乘法 案例4 3矩陣乘法運算律 乘法法則對角陣純量陣與單位陣 案例4 3矩陣乘法運算律 分配律A X Y AX AY 1 X Y只有一列 合并同類項 2 X Y有若干列 逐列比較 案例4 3矩陣乘法運算律 結合律 AB C A BC AX l a1x1 anxn l a1 x1l an xnl A Xl AB L A BL AB Cj A BCj 案例4 4運算律應用例 例1 例2 求AB An X AX 旋轉(zhuǎn)角a OP x y xe1 ye2OQ xe2 y e1 y x OP cosa OP sina OQ 例3 求A10 解 A lI N 例4 求B使B10 A解 A I N 易驗證B滿足要求 例5 解微分方程組解 通解X eAtC eAt由Taylor級數(shù)定義 令 則N2 O 例6 矩陣求逆 解矩陣方程組 解 解方程組AX I 按列分塊 A X1 Xn e1 en 分別解AXj ej 分別做初等變換 A ej I Xj 同時做 A e1 en I X1 Xn 即 A I I X X A 1 解AX B A B I X 案例5 1最小二乘法 1 例1 過三點 3 7 0 9 4 0 0 6 4 2 0 35 作直線y kx b 解 解方程組即ka1 ba2 c 求D與C距離最近 幾何解 DC 平面p ATAX ATc 案例5 2最小二乘法 2 內(nèi)積 例2 過n點 xi yi 作直線y kx b 解 解方程組ka1 ba2 c AX c a1 a2是n維向量 內(nèi)積推廣到Rn 仍求距離CD最短 為什么DC 平面p 勾股定理 CP2 CD2 DP2 CD2 ATAX ATc 案例5 3勾股定理的理由 a b 2 a a b b a b aa a b b a b b a2 2ab b2對向量a b仍成立 AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC完全平方公式 余弦定理 含勾股定理 對數(shù)組向量a b也成立 案例5 4Cauchy不等式 例3 Cauchy不等式的理由 向量a OA b OB夾角q cosq a b a b 1 a b 2 a 2 b 2為什么 cosq 1 直角邊 OC 斜邊 OB OB2 OC2 CB2 0 案例5 5特征向量的引入 例4 求曲線x2 2xy 5y2 4圍成的面積 解 左邊配方得x 2 y 2 4 所求面積S乘 A 2變成圓面積4p S 2p 例5 例4曲線是否被變換X AX拉伸為圓 解 是否有非零X拉長為AX lX A lI X 0有非零解X 行列式 A lI 0 案例5 6圖解特征向量 例4的曲線x2 2xy 5y2 4被拉伸成圓 案例5 7利用線性變換引入e