因式分解的應(yīng)用——初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義.doc

因式分解的應(yīng)用 因式分解是中學(xué)代數(shù)中的一種重要的變形，它與整式、分式聯(lián)系極為密切，分式運(yùn)算、解方程以及一些恒等變換，都經(jīng)常用到因式分解。它不僅是初中代數(shù)中的一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，它還是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用很廣。下面，向同學(xué)們介紹一些因式分解的初步應(yīng)用。一、利用因式分解判斷整除性例1 2n1和2n+1表示兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)(n是整數(shù))，證明這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除證明 (2n1)(2n1)=(2n12n1)(2n12n1)=4n2=8n 這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除例2 x+y+z3xyz能被(x+y+z)整除證明 因式分解，得原式即(x+y+z)(x+y+zxyyzzx)，x3+y3+z33xyz能被(x+y+z)整除例3 設(shè)4xy為3的倍數(shù)，求證：4x+7xy2y能被9整除證明 4x+7xy2y=(4xy)(x+2y)，又 x+2y=4xy3x+3y=(4xy)3(xy)原式(4xy)(4xy)3(xy)(4xy)3(4xy)(xy)4xy為3的倍數(shù)4x+7xy2y能被9整除例4 設(shè)實(shí)數(shù)abcd，如果x=(ab)(cd)，y=(ac)(bd)，z=(ad)(bc，那么x、y、z的大小關(guān)系為( ) A. xyz B. yzx C. zxy D. 不能確定 解：abcd， xy=(ab)(cd)(ac)(bd)=acbdabcd=(ad)(cb)0，即；xy。 同理yz=(ab)(dc)0，即yz。 xyz，選A。 說(shuō)明：因式分解能使xy和yx兩個(gè)差式顯示出正負(fù)性質(zhì)，達(dá)到可比較的目的。二、 因式分解解計(jì)算題 例5 計(jì)算下列各題： (1)233.145.931.41800.314 (2) 解：(1)適當(dāng)變形之后，提取公因式： 原式233.14593.14183.14 3.14(235918)=3.14100=314 (2)原式 說(shuō)明：上述這些計(jì)算，巧妙應(yīng)用了因式分解，使運(yùn)算過(guò)程顯得靈活、簡(jiǎn)捷。 例6 積的整數(shù)部分為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：這道題，要求99個(gè)括號(hào)里的數(shù)值的乘積，當(dāng)然不能用常規(guī)方法去實(shí)乘。觀察其特點(diǎn)：每個(gè)分母是相鄰奇數(shù)或偶數(shù)的積，記為n(n2)；每個(gè)括號(hào)的分子相加又都是n(n2)1=(n1)2，于是，設(shè)所求式子之積為S，則有 1S2，應(yīng)選A。 說(shuō)明：這時(shí)用了因式分解，使隱含的數(shù)量關(guān)系明顯化。 三、利用因式分解化簡(jiǎn)求值例7 已知acbd=0，則ab(c2d2)cd(a2b2)的值等于_。解：原式=(abc2a2cd)(abd2b2cd) =ac(bcad)bd(adbc) =(adbc)(acbd)=(adbc)0=0說(shuō)明：利用因式分解，先化簡(jiǎn)代數(shù)式，上述的求值題變得十容易了。例8 已知ab=3, ac=, 求(cb)(ab)+(ac)(ab)+(ac)的值分析：所求的代數(shù)式中含有cb，可以通過(guò)已知的ab=3與ac=來(lái)推得cb解：由已知得cb=3 所以 原式=（3）=2726=1 四、利用因式分解解方程 例9 解方程（x24x)22(x24x)15=0 解：將原方程左邊分解因式，可得 x24x3)(x24x5)=0 (x1)(x3)(x1)(x5)=0 由此得x+10或x3=0，或x1=0，或x5=0原方程的解是x1=1，x2=3，x3=1，x4=5 例10 求方程4x24xy3y2=5的整數(shù)解。 解：原方程或化為(2x3y)(2xy)=5 因?yàn)閤、y是整數(shù)，故2x3y和2xy必是整數(shù)。又5=51=(5)(1)，因此原方程可化為四個(gè)方程組： 解這四個(gè)方程組，便可得原方程的四組解為： 說(shuō)明：因式分解的運(yùn)用，使這兩道方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一次方程。五、利用因式分解化簡(jiǎn)例11 化簡(jiǎn)分析 1111=33330000=3(11110000)=3(11111111)=3()解： = 原式=3333六、利用因式分解證明等式（不等式）例12 已知三角形的三邊a、b、c滿足等式，證明這個(gè)三角形是等邊三角形 分析 要證明以a、b、c為邊的三角形是等邊三角形，只要能證明a=b=c即可，題中給出了關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，利用因式分解將它變形，在利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可。解：已知即 (a+b+c)(abbcca)=0a+b+c0abbcca=0()+()+()=0=0a=b=c這個(gè)三角形是等邊三角形例13 設(shè)a、b、c為ABC的三邊，求證0 abc0(a+b+c)(abc)0AC,（2）MCDB若BC=83.25，MD=12,求答案或提示1. 證明 原式=(14)+1=196+1=197(196-196+1) 能被197整除2. (x，y，z)為(7，12，18)； (7，18，12)；(12，7，18)；(12，18，7)，(18，7，12)， (18，12，7)共6組解3. ABC為等邊三角形4. x=990,y=9895. xy，以及p是質(zhì)數(shù)，則只能是2xp=2yp=12xp=12yp= 或 或由于y是大于2的質(zhì)數(shù)，且p是奇數(shù)，于