2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形4.7解三角形的實際應(yīng)用教案文(含解析)新人教A版.docx_第1頁
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文檔簡介

4.7解三角形的實際應(yīng)用最新考綱考情考向分析能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.以利用正弦定理、余弦定理測量距離、高度、角度等實際問題為主,常與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考查,加強數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性題型主要為選擇題和填空題,中檔難度.實際測量中的常見問題求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達(dá)ACB,BCa解直角三角形ABatan底部不可達(dá)ACB,ADB,CDa解兩個直角三角形AB求水平距離山兩側(cè)ACB,ACb,BCa用余弦定理AB河兩岸ACB,ABC,CBa用正弦定理AB河對岸ADC,BDC,BCD,ACD,CDa在ADC中,AC;在BDC中,BC;在ABC中,應(yīng)用余弦定理求AB概念方法微思考在實際測量問題中有哪幾種常見類型,解決這些問題的基本思想是什么?提示實際測量中有高度、距離、角度等問題,基本思想是根據(jù)已知條件,構(gòu)造三角形(建模),利用正弦定理、余弦定理解決問題題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)從A處望B處的仰角為,從B處望A處的俯角為,則,的關(guān)系為180.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為.()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系()(4)方位角大小的范圍是0,2),方向角大小的范圍一般是.()題組二教材改編2.如圖所示,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C,測出A,C的距離為50m,ACB45,CAB105后,就可以計算出A,B兩點的距離為_m.答案50解析由正弦定理得,又B30,AB50(m)3如圖,在山腳A測得山頂P的仰角為30,沿傾斜角為15的斜坡向上走a米到B,在B處測得山頂P的仰角為60,則山高h(yuǎn)_米答案a解析由題圖可得PAQ30,BAQ15,在PAB中,PAB15,又PBC60,BPA30,在PAB中,PBa,PQPCCQPBsinasinasin60asin15a.題組三易錯自糾4要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45,在D點測得塔頂A的仰角30,并測得水平面上的BCD120,CD40m,則電視塔的高度為()A10mB20mC20mD40m答案D解析設(shè)電視塔的高度為xm,則BCx,BDx.在BCD中,由余弦定理得3x2x2402240xcos 120,即x220x8000,解得x20(舍去)或x40.故電視塔的高度為40m.5在某次測量中,在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60,C點的俯角是70,則BAC_.答案130解析6070130.6海上有A,B,C三個小島,A,B相距5海里,從A島望C和B成45視角,從B島望C和A成75視角,則B,C兩島間的距離是_海里答案5解析由題意可知ACB60,由正弦定理得,即,得BC5.題型一測量距離問題1(2018營口檢測)江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45和60,而且兩條船與炮臺底部連線成30角,則兩條船相距_m.答案10解析如圖,OMAOtan4530(m),ONAOtan303010(m),在MON中,由余弦定理得MN10 (m)2.如圖,A,B兩點在河的同側(cè),且A,B兩點均不可到達(dá),要測出A,B的距離,測量者可以在河岸邊選定兩點C,D,若測得CDkm,ADBCDB30,ACD60,ACB45,則A,B兩點間的距離為_km.答案解析ADCADBCDB60,ACD60,DAC60,ACDCkm.在BCD中,DBC45,由正弦定理,得BCsinBDCsin30(km)在ABC中,由余弦定理,得AB2AC2BC22ACBCcos452.ABkm.A,B兩點間的距離為km.3如圖,為了測量兩座山峰上P,Q兩點之間的距離,選擇山坡上一段長度為300m且和P,Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點,現(xiàn)測得PAB90,PAQPBAPBQ60,則P,Q兩點間的距離為_m.答案900解析由已知,得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60,AQB30,ABBQ.又PB為公共邊,PABPQB,PQPA.在RtPAB中,APABtan60900,故PQ900,P,Q兩點間的距離為900m.思維升華求距離問題的兩個策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理題型二測量高度問題例1(2018赤峰測試)如圖,小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測得公路上B,C兩點的俯角分別為30,45,且BAC135,若山高AD100m,汽車從B點到C點歷時14s,則這輛汽車的速度約為_m/s.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):1.414,2.236)答案22.6解析因為小明在A處測得公路上B,C兩點的俯角分別為30,45,所以BAD60,CAD45,設(shè)這輛汽車的速度為vm/s,則BC14v,在RtADB中,AB200.在RtADC中,AC100.在ABC中,由余弦定理,得BC2AC2AB22ACABcosBAC,所以(14v)2(100)220022100200cos135,所以v22.6,所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.思維升華 (1)高度也是兩點之間的距離,其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的,基本思想是把要求的高度(某線段的長度)納入到一個可解的三角形中(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯跟蹤訓(xùn)練1如圖所示,在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為,在塔底C處測得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h,則山高CD_.答案解析由已知得BCA90,ABC90,BAC,CAD.在ABC中,由正弦定理得,即,AC.在RtACD中,CDACsinCADACsin.故山高CD為.題型三角度問題例2如圖所示,一艘巡邏船由南向北行駛,在A處測得山頂P在北偏東15(BAC15)的方向,勻速向北航行20分鐘后到達(dá)B處,測得山頂P位于北偏東60的方向,此時測得山頂P的仰角為60,已知山高為2千米(1)船的航行速度是每小時多少千米?(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處,問此時山頂位于D處南偏東多少度的方向?解(1)在BCP中,由tanPBC,得BC2,在ABC中,由正弦定理得,即,所以AB2(1),故船的航行速度是每小時6(1)千米(2)在BCD中,BD1,BC2,CBD60,則由余弦定理得CD,在BCD中,由正弦定理得,即,所以sinCDB,所以,山頂位于D處南偏東45的方向思維升華解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角和方向角的含義(2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用跟蹤訓(xùn)練2如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東60的方向上,則燈塔A在燈塔B的_的方向上答案北偏西10解析由已知得ACB180406080,又ACBC,AABC50,605010,燈塔A位于燈塔B的北偏西10的方向上1(2018沈陽調(diào)研)已知A,B兩地間的距離為10km,B,C兩地間的距離為20km,現(xiàn)測得ABC120,則A,C兩地間的距離為()A10kmB10kmC10kmD10km答案D解析如圖所示,由余弦定理可得AC210040021020cos120700,AC10.2.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,又測得C對于山坡的斜度為45,若CD50m,山坡對于地平面的坡度為,則cos等于()A.B.C.1D.1答案C解析在ABC中,由正弦定理得,AC100.在ADC中,cossin(90)1.3一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點間的距離是()A10海里B10海里C20海里D20海里答案A解析如圖所示,易知,在ABC中,AB20,CAB30,ACB45,根據(jù)正弦定理得,解得BC10.4.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30B45C60D75答案B解析依題意可得AD20,AC30,又CD50,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD,又0CAD180,所以CAD45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.5(2018呼和浩特質(zhì)檢)如圖所示,測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得BCD15,BDC30,CD30,并在點C測得塔頂A的仰角為60,則塔高AB等于()A5B15C5D15答案D解析在BCD中,CBD1801530135.由正弦定理得,所以BC15.在RtABC中,ABBCtanACB1515.故選D.6(2018丹東模擬)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C解析如圖,ACD30,ABD75,AD60m,在RtACD中,CD60(m),在RtABD中,BD60(2)m,BCCDBD6060(2)120(1)m.7(2018烏海模擬)如圖,某工程中要將一長為100m,傾斜角為75的斜坡改造成傾斜角為30的斜坡,并保持坡高不變,則坡底需加長_m.答案100解析設(shè)坡底需加長xm,由正弦定理得,解得x100.8.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援,則cos的值為_答案解析在ABC中,AB40,AC20,BAC120,由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos1202800,得BC20.由正弦定理,得,即sinACBsinBAC.由BAC120,知ACB為銳角,則cosACB.由ACB30,得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.9(2018阜新模擬)一船向正北航行,看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60,另一燈塔在船的南偏西75,則這艘船的速度是每小時_海里答案10解析如圖所示,依題意有BAC60,BAD75,所以CADCDA15,從而CDCA10,在RtABC中,得AB5,于是這艘船的速度是10(海里/時)10(2018盤錦質(zhì)檢)如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為_米答案50解析如圖,連接OC,在OCD中,OD100,CD150,CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos6017500,解得OC50.11.如圖,在山底A點處測得山頂仰角CAB45,沿傾斜角為30的斜坡走1000米至S點,又測得山頂仰角DSB75,則山高BC為_米答案1000解析由題圖知BAS453015,ABS45(90DSB)30,ASB135,在ABS中,由正弦定理可得,AB1000,BC1000.12.如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙,剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度;(2)求sin的值解(1)依題意知,BAC120,AB12,AC10220,BCA.在ABC中,由余弦定理,得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784,解得BC28.所以漁船甲的速度為14(海里/時)(2)在ABC中,因為AB12,BAC120,BC28,BCA,由正弦定理,得,即sin.13.如圖,在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍,從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為_;塔BB1的高為_m.答案45解析設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為,則AA160tan,BB160tan2.從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,A1ACCBB1,AA1BB1900,3600tantan2900,tan,tan2,則BB160tan245.14.如圖,據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭南偏東45方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動,距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為_h.答案15解析記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點位置,在OAB中,OA600,AB20t,OAB45,根據(jù)余弦定理得OB26002400t2260020t,令OB24502,即4t2120t15750,解得t,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為15(h)15.某艦艇在A處測得一艘遇險漁船在其北偏東40的方向距離A處10海里的C處,此時得知,該漁船正沿南偏東80的方向以每小時9海里的速度向一小島靠近,若艦艇的時速為21海里,則艦艇追上漁船的最短時間是_小時.答案解析如圖所示,設(shè)艦艇追上漁船的最短時間是t小時,經(jīng)過t小時漁船到達(dá)B處,則艦艇也在此時

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