2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形4.7解三角形的實際應(yīng)用教案文（含解析）新人教A版.docx

4.7解三角形的實際應(yīng)用最新考綱考情考向分析能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.以利用正弦定理、余弦定理測量距離、高度、角度等實際問題為主，常與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考查，加強數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性題型主要為選擇題和填空題，中檔難度.實際測量中的常見問題求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達(dá)ACB，BCa解直角三角形ABatan底部不可達(dá)ACB，ADB，CDa解兩個直角三角形AB求水平距離山兩側(cè)ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河兩岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河對岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC；在BDC中，BC；在ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB概念方法微思考在實際測量問題中有哪幾種常見類型，解決這些問題的基本思想是什么？提示實際測量中有高度、距離、角度等問題，基本思想是根據(jù)已知條件，構(gòu)造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解決問題題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是.()題組二教材改編2.如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出A，C的距離為50m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A，B兩點的距離為_m.答案50解析由正弦定理得，又B30，AB50(m)3如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30，沿傾斜角為15的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60，則山高h(yuǎn)_米答案a解析由題圖可得PAQ30，BAQ15，在PAB中，PAB15，又PBC60，BPA30，在PAB中，PBa，PQPCCQPBsinasinasin60asin15a.題組三易錯自糾4要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角30，并測得水平面上的BCD120，CD40m，則電視塔的高度為()A10mB20mC20mD40m答案D解析設(shè)電視塔的高度為xm，則BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故電視塔的高度為40m.5在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60，C點的俯角是70，則BAC_.答案130解析6070130.6海上有A，B，C三個小島，A，B相距5海里，從A島望C和B成45視角，從B島望C和A成75視角，則B，C兩島間的距離是_海里答案5解析由題意可知ACB60，由正弦定理得，即，得BC5.題型一測量距離問題1(2018營口檢測)江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.答案10解析如圖，OMAOtan4530(m)，ONAOtan303010(m)，在MON中，由余弦定理得MN10 (m)2.如圖，A，B兩點在河的同側(cè)，且A，B兩點均不可到達(dá)，要測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，若測得CDkm，ADBCDB30，ACD60，ACB45，則A，B兩點間的距離為_km.答案解析ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDCkm.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin30(km)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos452.ABkm.A，B兩點間的距離為km.3如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300m且和P，Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得PAB90，PAQPBAPBQ60，則P，Q兩點間的距離為_m.答案900解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB為公共邊，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan60900，故PQ900，P，Q兩點間的距離為900m.思維升華求距離問題的兩個策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理題型二測量高度問題例1(2018赤峰測試)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，且BAC135，若山高AD100m，汽車從B點到C點歷時14s，則這輛汽車的速度約為_m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236)答案22.6解析因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45，設(shè)這輛汽車的速度為vm/s，則BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，所以v22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.思維升華 (1)高度也是兩點之間的距離，其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的，基本思想是把要求的高度(某線段的長度)納入到一個可解的三角形中(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為，在塔底C處測得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，則山高CD_.答案解析由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD.在ABC中，由正弦定理得，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin.故山高CD為.題型三角度問題例2如圖所示，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15(BAC15)的方向，勻速向北航行20分鐘后到達(dá)B處，測得山頂P位于北偏東60的方向，此時測得山頂P的仰角為60，已知山高為2千米(1)船的航行速度是每小時多少千米？(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問此時山頂位于D處南偏東多少度的方向？解(1)在BCP中，由tanPBC，得BC2，在ABC中，由正弦定理得，即，所以AB2(1)，故船的航行速度是每小時6(1)千米(2)在BCD中，BD1，BC2，CBD60，則由余弦定理得CD，在BCD中，由正弦定理得，即，所以sinCDB，所以，山頂位于D處南偏東45的方向思維升華解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角和方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東60的方向上，則燈塔A在燈塔B的_的方向上答案北偏西10解析由已知得ACB180406080，又ACBC，AABC50，605010，燈塔A位于燈塔B的北偏西10的方向上1(2018沈陽調(diào)研)已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得ABC120，則A，C兩地間的距離為()A10kmB10kmC10kmD10km答案D解析如圖所示，由余弦定理可得AC210040021020cos120700，AC10.2.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45，若CD50m，山坡對于地平面的坡度為，則cos等于()A.B.C.1D.1答案C解析在ABC中，由正弦定理得，AC100.在ADC中，cossin(90)1.3一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是()A10海里B10海里C20海里D20海里答案A解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得，解得BC10.4.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30B45C60D75答案B解析依題意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.5(2018呼和浩特質(zhì)檢)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得BCD15，BDC30，CD30，并在點C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于()A5B15C5D15答案D解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.故選D.6(2018丹東模擬)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C解析如圖，ACD30，ABD75，AD60m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)m，BCCDBD6060(2)120(1)m.7(2018烏海模擬)如圖，某工程中要將一長為100m，傾斜角為75的斜坡改造成傾斜角為30的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長_m.答案100解析設(shè)坡底需加長xm，由正弦定理得，解得x100.8.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos的值為_答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos1202800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.9(2018阜新模擬)一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時_海里答案10解析如圖所示，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是這艘船的速度是10(海里/時)10(2018盤錦質(zhì)檢)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米答案50解析如圖，連接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos6017500，解得OC50.11.如圖，在山底A點處測得山頂仰角CAB45，沿傾斜角為30的斜坡走1000米至S點，又測得山頂仰角DSB75，則山高BC為_米答案1000解析由題圖知BAS453015，ABS45(90DSB)30，ASB135，在ABS中，由正弦定理可得，AB1000，BC1000.12.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin的值解(1)依題意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784，解得BC28.所以漁船甲的速度為14(海里/時)(2)在ABC中，因為AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin.13.如圖，在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍，從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角，則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為_；塔BB1的高為_m.答案45解析設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為，則AA160tan，BB160tan2.從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角，A1ACCBB1，AA1BB1900，3600tantan2900，tan，tan2，則BB160tan245.14.如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某碼頭南偏東45方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為_h.答案15解析記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點A，t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根據(jù)余弦定理得OB26002400t2260020t，令OB24502，即4t2120t15750，解得t，所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為15(h)15.某艦艇在A處測得一艘遇險漁船在其北偏東40的方向距離A處10海里的C處，此時得知，該漁船正沿南偏東80的方向以每小時9海里的速度向一小島靠近，若艦艇的時速為21海里，則艦艇追上漁船的最短時間是_小時.答案解析如圖所示，設(shè)艦艇追上漁船的最短時間是t小時，經(jīng)過t小時漁船到達(dá)B處，則艦艇也在此時