6高等數學課件(完整版)詳細.ppt

回顧,曲邊梯形求面積的問題,一、問題的提出,面積表示為定積分的步驟如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求極限，得A的精確值,提示,元素法的一般步驟：,這個方法通常叫做元素法,應用方向：,平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等,元素法的提出、思想、步驟.,（注意微元法的本質）,二、小結,思考題,微元法的實質是什么？,思考題解答,微元法的實質仍是“和式”的極限.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,一、直角坐標系情形,解,兩曲線的交點,面積元素,選 為積分變量,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數的形式,問題：,積分變量只能選 嗎？,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,如果曲邊梯形的曲邊為參數方程,曲邊梯形的面積,解,橢圓的參數方程,由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積,面積元素,曲邊扇形的面積,二、極坐標系情形,解,由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積,解,利用對稱性知,求在直角坐標系下、參數方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積.,（注意恰當的選擇積分變量有助于簡化積分運算）,三、小結,思考題,思考題解答,兩邊同時對 求導,積分得,所以所求曲線為,練 習 題,練習題答案,旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸,圓柱,圓錐,圓臺,一、旋轉體的體積,旋轉體的體積為,解,直線 方程為,解,解,補充,利用這個公式，可知上例中,解,體積元素為,二、平行截面面積為已知的立體的體積,如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,旋轉體的體積,平行截面面積為已知的立體的體積,繞 軸旋轉一周,繞 軸旋轉一周,繞非軸直線旋轉一周,三、小結,思考題,思考題解答,交點,立體體積,練 習 題,練習題答案,一、平面曲線弧長的概念,弧長元素,弧長,二、直角坐標情形,解,所求弧長為,解,曲線弧為,弧長,三、參數方程情形,解,星形線的參數方程為,根據對稱性,第一象限部分的弧長,證,根據橢圓的對稱性知,故原結論成立.,曲線弧為,弧長,四、極坐標情形,解,解,平面曲線弧長的概念,直角坐標系下,參數方程情形下,極坐標系下,弧微分的概念,求弧長的公式,五、小結,思考題,思考題解答,不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長,練 習 題,練習題答案,一、變力沿直線所作的功,解,功元素,所求功為,如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處,解,建立坐標系如圖,這一薄層水的重力為,功元素為,(千焦),解,設木板對鐵釘的阻力為,第一次錘擊時所作的功為,例3 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？,設 次擊入的總深度為 厘米,次錘擊所作的總功為,依題意知，每次錘擊所作的功相等,次擊入的總深度為,第 次擊入的深度為,二、水壓力,解,在端面建立坐標系如圖,解,建立坐標系如圖,面積微元,三、引力,解,建立坐標系如圖,將典型小段近似看成質點,小段的質量為,小段與質點的距離為,引力,水平方向的分力元素,由對稱性知，引力在鉛直方向分力為,利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題,（注意熟悉相關的物理知識）,四、小結,思考題,一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關系？,思考題解答,該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關,練 習 題,練習題答案,第六章習題課,微 元 法,理 論 依 據,名稱釋譯,所求量 的特點,解 題 步 驟,定積分應用中的常用公式,一、主要內容,1、理論依據,2、名稱釋譯,3、所求量的特點,4、解題步驟,5、定積分應用的常用公式,(1) 平面圖形的面積,直角坐標情形,如果曲邊梯形的曲邊為參數方程,曲邊梯形的面積,參數方程所表示的函數,極坐標情形,(2) 體積,平行截面面積為已知的立體的體積,(3) 平面曲線的弧長,弧長,A曲線弧為,弧長,B曲線弧為,C曲線弧為,弧長,(4) 旋轉體的側面積,(5) 細棒的質量,(6) 轉動慣量,(7) 變力所作的功,(8) 水壓力,(9) 引力,(10) 函數的平均值,二、典型例題,例1,解,由對稱性,有,由對稱性,