高中不等式恒成立問題解題策略

精品文檔高中不等式恒成立問題解題策略 重慶市江津中學(xué)校 402260 楊萬機(jī) 恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的常見問題，也是歷年來高考中的一個熱點問題，經(jīng)久不衰。不等式恒成立問題常常在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)置，它可以與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等整合在一起，里面又涉及到不等式的證明問題和取值范圍問題，學(xué)生往往由于方法不到位而出現(xiàn)錯解或復(fù)雜的解法。下面我根據(jù)不等式恒成立問題不同的特征采取不同的解題策略，為學(xué)生開辟一條成功的道路。一、 函數(shù)最值法有些不等式恒成立問題可以轉(zhuǎn)換成求函數(shù)的最值問題：若f（X）A在區(qū)間D上恒成立，則在區(qū)間D上成立。若f（X）f(x)( G（a）f(x)在區(qū)間D上恒成立，求f(x)在區(qū)間D上最大（最?。┲祮栴}。此種方法的關(guān)鍵在于變量與參數(shù)能夠分離函數(shù)f(x)的最值容易求出。變式2. 已知不等式對恒成立，求a的取值范圍。分析：變式2可采用變式1的方法求解，但變式2的特點在于變量x的取值均為正，能夠把變量x與參數(shù)a分離開來，故用分離參數(shù)法求解更為快捷、簡單。解：由題可得 三、 主參換位法在給出的含有兩個變量的不等式中，大家習(xí)慣把變量x看作是主元（未知數(shù)），而把另一個a看作是參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程非常繁瑣，不妨把主元與參數(shù)換位一下，可以達(dá)到意想不到的效果。例2.已知的所有m都成立，求實數(shù)x的取值范圍。分析：本題是已知參數(shù)m的取值范圍，求自變量x的取值范圍，可以轉(zhuǎn)換主元x與參數(shù)m的位置，構(gòu)造以m為自變量，x為參數(shù)的一次函數(shù)g(m),此題則轉(zhuǎn)換為對任意的 g(m)0恒成立問題求解。解：由不等式可得令 當(dāng)時當(dāng)時，則 綜上可得四、數(shù)形結(jié)合法 有的不等式恒成立問題，若把不等式進(jìn)行合理變形后，能非常容易畫出不等式兩邊的圖象，則可通過畫圖象來進(jìn)行求解。例3. 分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系求解的取值范圍。解：設(shè)，,則的圖象為圖中所示的拋物線，的圖象為圖中所示的對數(shù)函數(shù)的圖