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多目標(biāo) 優(yōu)化方法簡介,在實際問題中,對于大量的工程設(shè)計方案要評價其優(yōu)劣,往往要考慮多個目標(biāo)。 例如,對于車床齒輪變速箱的設(shè)計,提出了下列要求: 1)各齒輪體積總和f1(x)盡可能小使材料消耗減少,成本降低。 2)各傳動軸間的中心距總和f2(x)盡可能小,使變速箱結(jié)構(gòu)緊湊。 3)齒輪的最大圓周速度f3(x)盡可能低,使變速箱運轉(zhuǎn)噪聲小。 4)傳動效率盡可能高,亦即機械損耗率f4(x)盡可能低,以節(jié)省能源。,實際的工程設(shè)計和產(chǎn)品設(shè)計問題通常有多個設(shè)計目標(biāo),或者說有多個評判設(shè)計方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。為了使設(shè)計更加符合實際,要求同時考慮多個評價標(biāo)準(zhǔn),建立多個目標(biāo)函數(shù),這就是多目標(biāo)優(yōu)化問題。,多目標(biāo)優(yōu)化問題概述,在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中,多目標(biāo)函數(shù)的情況較多,目標(biāo)函數(shù)越多,設(shè)計的綜合效果越好,但問題的求解也越復(fù)雜。,在多目標(biāo)優(yōu)化模型中,還有一類模型,其特點是,在約束條件下,各個目標(biāo)函數(shù)不是同等地被最優(yōu)化,而是按不同的優(yōu)先層次先后地進(jìn)行優(yōu)化。 例如:工廠生產(chǎn):1號產(chǎn)品,2號產(chǎn)品,3號產(chǎn)品,M號產(chǎn)品。應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃,在避免開工不足的條件下,使工廠獲得最大利潤,工人加班時間盡量地少。,若決策者希望把所考慮的兩個目標(biāo)函數(shù)按其重要性分成以下兩個優(yōu)先層次:第一優(yōu)先層次工廠獲得最大利潤第二優(yōu)先層次工人加班時間盡可能地少。 那么,這種先在第一優(yōu)先層次極大化總利潤,然后在此基礎(chǔ)上再在第二優(yōu)先層次同等地極小化工人加班時間的問題就是分層多目標(biāo)優(yōu)化問題。,多目標(biāo)約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為,多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題要求各分量目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu),如能獲得這樣的結(jié)果,當(dāng)然是十分理想的。但是,一般比較困難,尤其是各個分目標(biāo)的優(yōu)化互相矛盾時更是如此。譬如,機械優(yōu)化設(shè)計中技術(shù)性能的要求往往與經(jīng)濟性的要求互相矛盾。 所以,解決多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題也是一個復(fù)雜的問題。近年來國內(nèi)外學(xué)者雖然作了許多研究,也提出了一些解決的方法,但比起單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題來,在理論上和計算方法,都還很不完善,也不夠系統(tǒng)。,從上述有關(guān)多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可見,多目標(biāo)(向量)優(yōu)化問題與單目標(biāo)(標(biāo)量)優(yōu)化問題的一個本質(zhì)的不同點是: 多目標(biāo)優(yōu)化是一個向量函數(shù)的優(yōu)化,比較向量函數(shù)值的大小,要比標(biāo)量值大小的比較復(fù)雜。在單目標(biāo)優(yōu)化問題中,任何兩個解都可以比較其優(yōu)劣,因此是完全有序的。可是對于多目標(biāo)優(yōu)化問題,任何兩個解不一定都可以比出其優(yōu)劣,因此只能是半有序的。 例如,設(shè)計某一產(chǎn)品時,希望對不同要求的A和B為最小。一般說來這種要求是難以完美實現(xiàn)的,因為它們沒有確切的意義。除非這些性質(zhì)靠完全不同的設(shè)計變量組來決定,而且全部約束也是各自獨立的。,對多目標(biāo)設(shè)計指標(biāo)而言,任意兩個設(shè)計方案的優(yōu)劣一般是難以判別的,這就是多目標(biāo)優(yōu)化問題的特點。這樣,在單目標(biāo)優(yōu)化問題中得到的是最優(yōu)解,而在多目標(biāo)優(yōu)化問題中得到的只是非劣解。而且,非劣解往往不只一個。如何求得能接受的最好非劣解,關(guān)鍵是要選擇某種形式的折衷。,所謂非劣解(或稱有效解),是指若有M個目標(biāo)fi(x0)(i1,2,M),當(dāng)要求(M-1)個目標(biāo)值不變壞時,找不到一個x,使得另一個目標(biāo)函數(shù)值f(x)比f(x*)更好,則將此x*作為非劣解。,顯然,多目標(biāo)優(yōu)化問題只有當(dāng)求得的解是非劣解時才有意義,劣解是沒有意義的,而絕對最優(yōu)解存在的可能性很小。,多目標(biāo)優(yōu)化方法,多目標(biāo)優(yōu)化的求解方法甚多,其中最主要的方法是將多目標(biāo)優(yōu)化問題求解時作適當(dāng)?shù)奶幚怼?處理的方法可分為兩種: 一種處理方法是將多目標(biāo)優(yōu)化問題重新構(gòu)造一個函數(shù),即評價函數(shù),從而將多目標(biāo)(向量)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u價函數(shù)的單目標(biāo)(標(biāo)量)優(yōu)化問題。如主要目標(biāo)法和統(tǒng)一目標(biāo)法等。 另一種是將多目標(biāo)(向量)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)(標(biāo)量)優(yōu)化問題來求解。如分層序列法等。 其它還有協(xié)調(diào)曲線法、合適等約束法等等,主要目標(biāo)法,主要目標(biāo)法的思想是抓住主要目標(biāo),兼顧其它要求。求解時從多目標(biāo)中選擇一個目標(biāo)作為主要目標(biāo),而其它目標(biāo)只需滿足一定要求即可。為此,可將這些目標(biāo)轉(zhuǎn)化成約束條件。也就是用約束條件的形式來保證其他目標(biāo)不致太差,這樣處理后,就成為單目標(biāo)優(yōu)化問題。,設(shè)有l(wèi)個目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x),、fi(x),其中 ,求解時可從上述多目標(biāo)函數(shù)中選擇一個f(x)作為主要目標(biāo),則問題變?yōu)?統(tǒng)一目標(biāo)法,統(tǒng)一目標(biāo)法又稱綜合目標(biāo)法。它是將原多目標(biāo)優(yōu)化問題,通過一定方法轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)或綜合目標(biāo)函數(shù)作為該多目標(biāo)優(yōu)化問題的評價函數(shù),然后用前述的單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化方法求解。,加權(quán)組合法又稱為線性加權(quán)法或加權(quán)因子法。即在將各個分目標(biāo)函數(shù)組合為總的“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”的過程中,引入加權(quán)因子,以平衡各指標(biāo)及各分目標(biāo)間的相對重要性以及他們在量綱和量級上的差異,因此,原目標(biāo)函數(shù)可寫為:,(1)加權(quán)組合法,wk是第k個分目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)因子(wk0),其值決定于各目標(biāo)的數(shù)量級及重要程度。 如何確定合理的加權(quán)因子是線性加權(quán)法的核心,多數(shù)情況下加權(quán)因子可以根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗直接給出。,有時也可按下式計算得到加權(quán)因子:,其中, 是以第k個分目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成的單目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)值。,對實際問題來說,還應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)值量綱的影響,建議首先對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無量綱化:,先分別求出各個分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值 ,由這些最優(yōu)值構(gòu)成的目標(biāo)點(設(shè)計方案)稱為理想點。然后根據(jù)實際點(實際方案)與理想點之間的距離構(gòu)造評價函數(shù)和單目標(biāo)優(yōu)化問題:,(2)目標(biāo)規(guī)劃法(理想點法),尋求一個最接近完全最優(yōu)解的有效解。,在上式的基礎(chǔ)上,如再引入加權(quán)因子,則構(gòu)成如下單目標(biāo)優(yōu)化問題:,求解上述問題得到的設(shè)計方案既考慮了目標(biāo)函數(shù)的重要性,又最接近完全最優(yōu)解,因此,它是原多目標(biāo)優(yōu)化問題的一個更加理想、更加切合實際的相對最優(yōu)解。,每個分目標(biāo)函數(shù) 都可以用一個對應(yīng)的功效系數(shù) 來表示該項設(shè)計指標(biāo)的好壞,規(guī)定: 表示第k個目標(biāo)函數(shù)的效果最好, 表示第k個目標(biāo)函數(shù)的效果最差。并定義第i個目標(biāo)函數(shù)在設(shè)計點X(k)的功效系數(shù),(3)功效系數(shù)法,多目標(biāo)問題的一個設(shè)計方案的好壞程度可以用各功效系數(shù)的平均值加以評定,即用總的功效系數(shù)的大小 來評價該設(shè)計方案的好壞,顯然,最優(yōu)設(shè)計方案應(yīng)是,這樣,當(dāng) 時表示取得最理想的設(shè)計方案,反之, 表示這種設(shè)計方案不可行,也表明必有某項分目標(biāo)系數(shù)的 。,功效系數(shù)法計算比較繁瑣,但較為有效,比較直觀,且調(diào)整容易不論各分目標(biāo)的量級及量綱如何,最終都轉(zhuǎn)化為01間的數(shù)值,且一旦有一分目標(biāo)函數(shù)值不理想( )時,總功效系數(shù)必為零,表明設(shè)計方案不可接受,須重新調(diào)整約束條件或各分目標(biāo)函數(shù)的臨界值;另外,這種方法易于處理有的目標(biāo)函數(shù)既不是愈大愈好,也不是愈小愈好的情況。,乘除法是將多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問題中的全部q個目標(biāo)分為:目標(biāo)函數(shù)值愈小愈好的所謂費用類指標(biāo)(如材料、工時、成本和重量等)和目標(biāo)函數(shù)值愈大愈好的所謂效益類指標(biāo)(如產(chǎn)量、產(chǎn)值、利潤和效益等),且前者有s項,后者有(q-s)項,則統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)可取為,(4)乘除法,顯然,求 可得最優(yōu)解。,對于多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問題,考慮對各個目標(biāo)最不利情況下求出最有利的解。就是對多目標(biāo)極小化問題采用各個目標(biāo)fi中的最大值作為評價函數(shù)。,(5)極大極小法,分層序列法及寬容分層序列法,分層序列法的基本思想是將多目標(biāo)優(yōu)化問題式中的J個目標(biāo)函數(shù)分清主次,按其重要程度逐一排除,然后依次對各

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