微積分第一章第一節(jié)課件.ppt

微積分,教 室： C教2015 星期二. 第1、2節(jié) 星期四. 第3、4節(jié) 星期五. 第3、4節(jié),課程簡介 教師姓名 參考書 交作業(yè)時間 最后成績 答疑時間,教材：微積分（四川大學）,本課程主要內(nèi)容有極限論，微分學，積分學 和級數(shù)論等，它包括： 1.數(shù)學分析：一元函數(shù)微積分學 多元函數(shù)微積分學 級數(shù)； 2. 向量代數(shù)，空間解析幾何； 3. 常微分方程，差分方程,第一冊：函數(shù)，極限，連續(xù)，導數(shù)，微分，不 定積分，定積分及其應用，常微分方程； 差分方程 第二冊：向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函 數(shù)微分學，重積分，線面積分和級數(shù)。 返回,引 言,一、什么叫微積分?,初等數(shù)學, 研究對象為常量,以靜止觀點研究問題.,微積分, 研究對象為變量,運動和辯證法進入了數(shù)學.,數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù).,有了變數(shù) , 運動進入了數(shù)學,有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學 ,有了變數(shù) , 微分和積分也就立刻成 為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.,恩格斯,1. 分析基礎: 函數(shù) , 極限, 連續(xù),2. 微積分學: 一元微積分,(上冊),(下冊),3. 空間解析幾何,4. 無窮級數(shù),5. 常微分方程和差分方程,主要內(nèi)容,多元微積分,二、如何學習微積分 ?,1. 認識微積分的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣.,2. 學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.,聰明在于學習 , 天才在于積累 .,學而優(yōu)則用 , 學而優(yōu)則創(chuàng) .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,馬克思,恩格斯,要辨證而又唯物地了解自然 , 就必須熟悉數(shù)學.,一門科學, 只有當它成功地運用數(shù)學時, 才能達到真正完善的地步 .,華羅庚,給出了幾何問題的統(tǒng)一,笛卡兒 (15961650),法國哲學家, 數(shù)學家, 物理學家,他,是解析幾何奠基人之一 .,1637年他發(fā),表的幾何學論文分析了幾何學與,代數(shù)學的優(yōu)缺點,進而提出了 “ 另外,一種包含這兩門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法”,從而提出了解析幾何學的主要思想和方法,恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點.,把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,華羅庚(19101985),我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家.,他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領域中,程,都作出了卓越的貢獻 ,發(fā)表專著與學術論文近 300 篇.,偏微分方,多復變函數(shù)論,矩陣幾何學,典型群,他對青年學生的成長非常關心,他提出治學之道是,“ 寬, 專, 漫 ”,即基礎要寬,專業(yè)要專,要使自己的專業(yè),知識漫到其它領域.,1984年來中國礦業(yè)大學視察時給,給師生題詞: “ 學而優(yōu)則用, 學而優(yōu)則創(chuàng) ”.,教師姓名： 方小萍 Tel. 84659240(o),參考書：吉米多維奇數(shù)學分析習題集 分析中的反例,返回,Email address:,交作業(yè)時間與地點： 每周二上午 教室,作業(yè)要求全交。,最后成績： 平時30%+期末70% 答疑時間： 待定,preview + review + exercise,要求：不遲到不早退，不中途退場。,幾個常用符號,存在(exist)；,任意(arbitary)；,屬于。,第一章,分析基礎,函數(shù),極限,連續(xù), 研究對象, 研究方法, 研究橋梁,函數(shù)與極限,二 、函數(shù),一、集合,第一節(jié),函數(shù),元素 a 屬于集合 M , 記作,元素 a 不屬于集合 M , 記作,一、 集合,1. 定義及表示法,定義 1.,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.,組成集合的事物稱為元素.,不含任何元素的集合稱為空集 ,記作 .,注: M 為數(shù)集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 與負數(shù)的集 .,表示法：,(1) 列舉法：,按某種方式列出集合中的全體元素 .,例:,有限集合,自然數(shù)集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整數(shù)集合,或,有理數(shù)集,p 與 q 互質(zhì),實數(shù)集合,x 為有理數(shù)或無理數(shù),開區(qū)間,閉區(qū)間,無限區(qū)間,點的 鄰域,其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .,半開區(qū)間,去心 鄰域,左 鄰域 :,右 鄰域 :,是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關系及運算,定義2 .,則稱 A,若,且,則稱 A 與 B 相等,例如 ,顯然有下列關系 :,若,設有集合,記作,記作,必有,定義 3 . 給定兩個集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定義下列運算:,余集,直積,特例:,為平面上的全體點集,或,二實數(shù)與實數(shù)的絕對值,2) 數(shù)軸: 規(guī)定了原點,方向,取了單位長的,有向線段.,3)絕對值,0,4)絕對值的基本性質(zhì):,3),4),初等數(shù)學：研究對象為常量，是常量的數(shù)學； 高等數(shù)學：研究對象是事物的運動規(guī)律和現(xiàn)象的 變化規(guī)律，是變量的數(shù)學。,三 函數(shù)(function),16世紀，機械學，航海學，物理學，力學提出 許多新的問題：,運動物體的速度和它的運動規(guī)律的關系；,天體沿怎樣的軌道運行；,不規(guī)則圖形的面積如何計算等等。,Gallillo在“兩門新學科”中，用文字和比例的語言表達函數(shù)；,Newton于1665年開始微積分工作后，用“fluent”表示變量間關系；,Leibnize1673年后首次使用function表示變量間的關系；,Euler于1734年引進函數(shù)符號f(x)。,實例,2. 某氣象站自動記錄器畫的當?shù)啬骋惶斓臍鉁刈兓?定義1. 假定在某個變化過程中有x和y兩個變量，x的變化域為X 。假如對X中的每一個x值，根據(jù)某種對應規(guī)則f ，變量y有唯一確定的值與之對應，則稱y是x的函數(shù)(function)， 記作：y=f(x),例4. 已知函數(shù),求,及,解:,函數(shù)無定義,并寫出定義域及值域 .,定義域,值 域,2. 函數(shù)的幾種特性,設函數(shù),且有區(qū)間,(1) 有界性,使,稱,使,稱,說明: 還可定義有上界、有下界、無界,(見上冊 P11 ),(2) 單調(diào)性,為有界函數(shù).,在 I 上有界.,使,若對任意正數(shù) M , 均存在,則稱 f ( x ) 無界.,稱 為有上界,稱 為有下界,當,時,稱,為 I 上的,稱,為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,單調(diào)減函數(shù) .,(3) 奇偶性,且有,若,則稱 f (x) 為偶函數(shù);,若,則稱 f (x) 為奇函數(shù).,說明: 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時,則當,必有,例如,偶函數(shù),雙曲余弦,記,又如,奇函數(shù),雙曲正弦,記,再如,奇函數(shù),雙曲正切,記,(4) 周期性,且,則稱,為周期函數(shù) ,若,稱 l 為周期,( 一般指最小正周期 ).,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無理數(shù),3. 反函數(shù)與復合函數(shù),(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì),設函數(shù),習慣上,的反函數(shù)記成,其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,是定義在D,上的一個函數(shù),其值域,如果對每一個,都有唯一的對應值,滿足,則x是定義在,上以 y,為自變量的函數(shù),記此函數(shù)為,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關于直線,對稱 .,例如 ,對數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù),(2) 復合函數(shù),則,設有函數(shù)鏈,稱為由, 確定的復合函數(shù) ,u 稱為中間變量.,注意: 構成復合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構成復合函數(shù) .,可定義復合,兩個以上函數(shù)也可構成復合函數(shù).,例如,可定義復合函數(shù):,1. 冪函數(shù),，它的定義域隨不同的a而異，但無論a 為何值，在(0,) 內(nèi)冪函數(shù)總是有定義的。其圖形過點(1，1)，a0和a0時的圖形分別如圖1.2和圖1.3。,4.基本初等函數(shù),2.指數(shù)函數(shù),，它的定義域 ， 值域 ，其圖形均過（0，1）點。當a 1時，ax 為單調(diào)遞增函數(shù)，當0 a 1時， ax 為單調(diào)遞減函數(shù)，如圖1.4所示。,現(xiàn)在介紹一個特殊的無理數(shù) 。在科學技術中時常會用到以e為底的指數(shù)函數(shù) 。,3. 對數(shù)函數(shù),，對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域 其圖形均過(1,0)點，當a 1時， 為單調(diào)遞增函數(shù)。當0a 1時， 為單調(diào)遞減函數(shù)。如圖1.5。,函數(shù) 的反函數(shù) 為簡記為 稱為自然對數(shù)。,4. 三角函數(shù),正弦函數(shù) 的定義域 ，它是以2為周期的周期函數(shù)，且 ，其圖形在直線 之間。,是奇函數(shù)，且在 上單調(diào)遞增，如圖1.6。,余弦函數(shù) 的定義域為 ，且也以為2周期，因為 ，所以，其圖形也在直線 之間。 是偶函數(shù)，且在0，上單調(diào)遞減。如圖1.6。,正切函數(shù) 的定義域 它是以為周期的周期函數(shù)。因為 ，故為奇函數(shù)。如圖1.7。,余切函數(shù) 的定義域 也為周期函數(shù)，周期為，且為奇函數(shù)。如圖1.8。,5. 反三角函數(shù)(主值),y=arccosx是余弦函數(shù)y=cosx在0,上的反函數(shù),叫做反余弦函數(shù),其定義域是-1,1,值域是0,，并在定義域上單調(diào)遞減,如圖1.10。,y=arcsinx是正弦函數(shù)y=sinx在 上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。其定義域是-1,1，值域是 ，并在定義域上單調(diào)遞增，如圖1.9。,y=arccotx是余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間(0,)內(nèi)的反函數(shù),叫做反余切函數(shù),其定義域為(-,+),值域是(0,),并在定義域上單調(diào)遞減的。,y=arctanx是正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間( )內(nèi)的反函數(shù),叫做反正切函數(shù),其定義域為(,+),值域是( ),并在定義域上單調(diào)遞增。,1）冪函數(shù),2）指數(shù)函數(shù),3）對數(shù)函數(shù),4）三角函數(shù),5）反三角函數(shù),基本初等函數(shù),y =,4. 初等函數(shù),(1) 基本初等函數(shù),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2) 初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復合步,驟所構成 ,稱為初等函數(shù) .,可表為,故為初等函數(shù).,又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .,非初等函數(shù)舉例:,符號函數(shù),當 x 0,當 x = 0,當 x 0,取整函數(shù),當,*例5. 求,的反函數(shù)及其定義域.,解:,當,時,則,當,時,則,當,時,則,反函數(shù),定義域為,內(nèi)容小結,1. 集合概念,定義域 對應規(guī)律,3. 函數(shù)的特性,有界性, 單調(diào)性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函數(shù)的結構,2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素,且,備用題,證明,證: 令,則,由,消去,得,時,其中,a, b, c 為常數(shù),且,為奇函數(shù) .,為奇函數(shù) .,1. 設,2 . 設函數(shù),的圖形與,均對稱, 求證,是周期函數(shù).,證:,由,的對稱性知,于是,故,是周期函數(shù) ,周期為,5經(jīng)濟學中的常用函數(shù),1)需求函數(shù),若把該商品的價格 p 看作自變量,需求量D看作因變量,則有需求函數(shù),記做,需求函數(shù)的圖形稱為需求曲線,需求一般是價格的遞減,函數(shù).,注: 例外:古畫,文物的需求,最常用的需求函數(shù):,線性函數(shù),D = f(p),其中a,b為正的常數(shù),a 為價格為零時的最大需求量,為最大銷售價格(這時需求量為零).,2) 供給函數(shù),在其他因素不變的條件下,供應商品的價格 p 看作自,變量而把相應的供給量Q作為因變量,則有供給函數(shù),供給函數(shù)的圖形稱為供給曲線,它與需求相反一般 是增的.,最簡單的供給函數(shù)為:,Q = -c + dp,其中c,d為正的常數(shù).,使一種商品的需求量與供給量相等的價格,稱為均衡價格.,例:已知雞蛋收購價每公斤3元,每月收購5000公斤.,若收購價每公斤提高0.1元,則收購量可增加500公斤. 求雞蛋,的線性供給函數(shù).,解: 設雞蛋供給學院的函數(shù)為,Q = - c + dp,其中Q為收購量,P為收購價格.由題意有,解得d =5000, c=10000,從而所求供給函數(shù)為,Q = -10000 + 5000p,例: 已知某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為,Q = 14 1.5p Q = -5 + 4p,求該商品的均衡價格,解: 由供需均衡條件, 有,141.5p=-5 + 4p,故:,1)一般, 總成本由固定成本和可變成本組成.,2)若產(chǎn)品的價格為p,相應的銷售量為D,則銷售產(chǎn)品的總,最簡單的成本函數(shù)為線性函數(shù):,c(x) = a + bx,其中x為產(chǎn)量,a,b 為正的常數(shù),a 為固定成本.,它是單增的.,3* 總成本函數(shù),總收入函數(shù).總利潤函數(shù),收入函數(shù)為:,R(x)=pD,解: 設 此時的價格為p ,則應有,3) 總利潤等于總收入減去總成本,故總利潤函數(shù): L(x) = R(x) c (x),例:設某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為c(x) =2.5x+300,(單位為元).假若每天至少能賣出150件產(chǎn)品,為了不虧本,