世紀(jì)金榜二輪專題輔導(dǎo)與練習(xí)專題五第三講.ppt

第三講 用空間向量的方法 解立體幾何問題,一、主干知識(shí) 空間直線、平面間的平行、垂直的向量表示: 設(shè)直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面 ,的法向量分別為 =(a3,b3,c3), =(a4,b4,c4). (1)線線平行: lmaba=kb_.,a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,(2)線線垂直: lmabab=_. (3)線面平行: la a =_. (4)線面垂直: la a=k _. (5)面面平行: =k _. (6)面面垂直: =_.,a1a2+b1b2+c1c2=0,0,a1a3+b1b3+c1c3=0,a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3,a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4,0,a3a4+b3b4+c3c4=0,0,二、必記公式 1.異面直線所成的角: 設(shè)a,b分別為異面直線a,b的方向向量,則兩異面直線所成的角 滿足cos=_. 2.線面角: 設(shè)l是斜線l的方向向量,n是平面的法向量,則斜線l與平面 所成的角滿足sin=_.,3.二面角: (1)如圖,AB,CD是二面角-l-的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的 直線,則二面角的大小=_.,(2)如圖,n1,n2分別是二面角-l-的兩個(gè)半平面, 的法向量,則二面角的大小滿足cos= _. 提醒:求二面角時(shí),兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角,解答時(shí)要結(jié)合圖形分析.,-cos或cos,1.(2013金華模擬)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面 邊長相等,求AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值. 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱的棱長 為2,A(0,-1,0),B1( 0,2), 則 O(0,0,0), B( 0,0), 則 為側(cè)面ACC1A1的法向量,2.(2013臨沂模擬)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,引PA平面ABCD.若PA=BA,求平面ABP和平面CDP所成的二面角.,【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角(銳角)的余弦值為 故所求的二面角的大小是45.,3.(2013常州模擬)直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90, BAC=30,BC=1,AA1= M是CC1的中點(diǎn),求異面直線AB1 與A1M所成的角. 【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 易得 所以 所以 所以 即AB1與A1M所成的角為90.,4.(2013宿遷模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩 形，平面ABEF平面ABCD， EFAB，BAF=90， AD=2， AB=AF=2EF=1，點(diǎn)P在棱DF上 (1)若P是DF的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值. (2)若二面角D-AP-C的余弦值為 求PF的長度,【解析】(1)因?yàn)锽AF=90，所以AFAB， 因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCD=AB， 所以AF平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形， 所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AF分別為x，y，z軸， 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 所以B(1,0,0)， 所以 所以 即異面直線BE與CP所成角的余弦值為,(2)因?yàn)锳B平面ADP，所以平面DAP的一個(gè)法向量為n1= (1,0,0)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,22t,t)，在平面APC中， (0,2-2t,t)， (1,2,0)， 所以平面APC的一個(gè)法向量為 所以 解得t= 或t=2(舍)所以PF=,熱點(diǎn)考向 1 利用向量證明空間的平行、垂直關(guān)系 【典例1】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB于點(diǎn)F,求證: (1)PA平面EDB. (2)PB平面EFD.,【解題探究】 (1)用空間向量怎樣證明線面平行? 提示:可證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一條直線的方向向量 共線或證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. (2)用空間向量怎樣證明線面垂直? 提示:只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向 向量垂直或證明直線的方向向量與平面的法向量平行即可.,【證明】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=a. (1)連結(jié)AC交BD于G,連結(jié)EG. 依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E 因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形, 所以G是此正方形的中心, 故點(diǎn)G的坐標(biāo)為 所以 則PAEG. 而EG平面EDB且PA平面EDB, 所以PA平面EDB.,(2)依題意得B(a,a,0), =(a,a,-a), 又 故 所以PBDE. 由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD.,【方法總結(jié)】 1.用向量法證明空間的線線、線面、面面平行關(guān)系的思路 (1)設(shè)a,b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a,b,那么abab. (2)平面與平面平行可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行. (3)直線與平面平行可以轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可以通過證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量共面來證明直線與平面平行.,2.空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量垂直 問題的思路 (1)設(shè)a,b分別為直線a,b的一個(gè)方向向量，那么ab abab=0; (2)設(shè)a,b分別為平面,的一個(gè)法向量，那么 abab=0; (3)設(shè)直線l的方向向量為a,平面的法向量為b，那么l ab，此外，也可證明l的方向向量與平面內(nèi)兩條相交 直線所對(duì)應(yīng)的方向向量垂直.,【變式訓(xùn)練】如圖，已知ABCD是邊長為2的正方形，DE平面ABCD，BF平面ABCD，且FB=2DE=2. 求證：平面AEC平面AFC.,【證明】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 所以D(0，0，0)，E(0，0，1)，A(2，0，0)， C(0，2，0)，F(xiàn)(2，2，2)， 所以 =(-2，0，1)， =(0，2，-1)， =(0，2，2)， =(-2，0，-2). 設(shè)m為平面AEC的一個(gè)法向量，m=(x1,y1,z1)，,設(shè)n為平面AFC的一個(gè)法向量，n=(x2,y2,z2), cosm，n= 所以mn. 所以平面AEC平面AFC.,熱點(diǎn)考向 2 利用空間向量求線線角、線面角 【典例2】(2013鄭州模擬)如圖,已知點(diǎn)P在正方體ABCD-ABCD的對(duì)角線BD上,PDA=60. (1)求DP與CC所成角的大小. (2)求DP與平面AADD所成角的大小.,【解題探究】 (1)解答本題直接求 的坐標(biāo)不易求，應(yīng)如何轉(zhuǎn)化？ 提示：延長DP交BD于H，轉(zhuǎn)化為求DH與CC所成的角. (2)直線CC的方向向量與平面AADD的法向量能直接確定 坐標(biāo)嗎? 提示：能直接確定,以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸建立空間直 角坐標(biāo)系后，設(shè)正方體棱長為1，直線CC的方向向量為 =(0,0,1),平面AADD的一個(gè)法向量是 =(0，1，0).,【解析】如圖，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，建立空間直角 坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1，則 =(1,0,0), =(0，0，1).連 結(jié)BD,BD，在平面BBDD中，延長DP交BD于H. 設(shè) =(m,m,1)(m0), 由已知 由 可得,(1)因?yàn)?所以 即DP與CC所成的角為45. (2)平面AADD的一個(gè)法向量是 =(0,1,0) 因?yàn)?所以 可得DP與平面AADD所成的角為30,【方法總結(jié)】 1.利用空間向量求空間角的一般步驟 (1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系. (2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),寫出相關(guān)向量的坐標(biāo). (3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算. (4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論. 2.利用空間向量求線線角、線面角的思路 (1)異面直線所成的角,可以通過兩直線的方向向量的夾角 求得，即cos =cos . (2)直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的 法向量的夾角求得，即sin =cos .,【變式訓(xùn)練】(2013新課標(biāo)全國卷)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60. (1)證明ABA1C. (2)若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C 所成角的正弦值.,【解析】(1)取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)OC,OA1,A1B. 因?yàn)镃A=CB, 所以O(shè)CAB. 由于AB=AA1,BAA1=60, 故AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1AB. 因?yàn)镺COA1=O,所以AB平面OA1C. 又A1C平面OA1C,故ABA1C.,(2)由(1)知,OCAB,OA1AB, 又平面ABC平面AA1B1B,交線為AB,所以O(shè)C平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩相互垂直. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的 空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)| |=1. 由題設(shè)知A(1,0,0),A1(0, ,0), C(0,0, ),B(-1,0,0).則 =(1,0, ), = =(-1, ,0), =(0,- , ).,設(shè)平面BB1C1C的法向量為n=(x,y,z)， 則有 可取n=( 1,-1). 故 所以直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為,熱點(diǎn)考向 3 利用空間向量求二面角 【典例3】(2013江蘇高考)如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,A1A=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn). (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值. (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.,【解題探究】 (1)結(jié)合題設(shè)條件,如何建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系? 提示:由題意知AB,AC,AA1兩兩互相垂直,故以A為原點(diǎn),AB, AC,AA1分別為x軸,y軸,z軸建立坐標(biāo)系較適當(dāng). (2)如何應(yīng)用空間向量求兩個(gè)平面所成二面角的正弦值? 提示:用兩個(gè)平面的法向量來求.,【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo) 系, 則A(0,0,0),B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,0), A1(0,0,4),C1(0, 2, 4),所以 =(2,0,-4), = (1,-1,-4). 因?yàn)?所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為,(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1=(x,y,z), 因?yàn)?=(1,1,0), =(0,2,4), 所以n1 =0, n1 =0，即 x+y=0且y+2z=0, 取z=1, 得x=2,y=-2, 所以n1=(2, -2, 1)是 平面ADC1的一個(gè)法向量.取平面ABA1的一個(gè)法向量為n2= (0, 1, 0),設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為. 由 因此,平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為,【方法總結(jié)】 1.向量法求二面角的思路 二面角的大小可以利用分別在兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)或通過二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角. 2.求平面的法向量的方法 (1)待定系數(shù)法：設(shè)出法向量坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程求解. (2)先確定平面的垂線，然后取該垂線對(duì)應(yīng)的向量，即確定了平面的法向量.,【變式訓(xùn)練】如圖， 在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB， AD上，AE=EB=AF= FD=4.沿直線EF將AEF翻折成AEF， 使平面AEF平面BEF. (1)求二面角A-FD-C的余弦值. (2)點(diǎn)M，N分別在線段FD，BC上， 若沿直線MN將四邊形MNCD 向上翻折，使C與A重合，求線 段FM的長.,【解析】(1)取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，因?yàn)锳E=AF及 H是EF的中點(diǎn)，所以AHEF,又因?yàn)槠矫鍭EF平面BEF， 所以AH平面BEF. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，2， )， C(10，8，0)，F(xiàn)(4，0，0)，D(10，0，0). 故 設(shè)n=(x,y,z)為平面AFD的一個(gè)法向量， 所以,取 又平面BEF的一個(gè)法向量m=(0,0,1)， 故cosn,m= 所以二面角的余弦值為 (2)設(shè)FM=x,BN=a， 則M(4+x,0,0)，N(a,8,0)， 因?yàn)榉酆?，C與A重合， 所以CM=AM，CN=AN，,熱點(diǎn)考向 4 利用空間向量解決探索性問題 【典例4】(2013長沙模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn). (1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值. (2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F平面A1BE？證明你的 結(jié)論.,【解題探究】 (1)平面ABB1A1的法向量能直接確定嗎? 提示:可直接確定,向量 是平面ABB1A1的一個(gè)法向量. (2)假設(shè)在棱C1D1上存在一點(diǎn)F,使B1F平面A1BE,則可得到什么等量關(guān)系? 提示:直線B1F的方向向量與平面A1BE的法向量的數(shù)量積為零.,【解析】設(shè)正方體的棱長為1.如圖所示， 建立空間直角坐標(biāo)系. (1)依題意，得B(1,0,0), A(0,0,0),D(0,1,0)， 所以 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锳D平面ABB1A1, 所以 是平面ABB1A1的一個(gè)法向量， 設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為， 則sin = 即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為,(2)依題意，得A1(0,0,1), =(-1,0,1), 設(shè)n=(x,y,z)是平面A1BE的一個(gè)法向量， 則由 得 所以x=z,y= z.取z=2,得n=(2,1,2). 設(shè)F是棱C1D1上的點(diǎn)，則F(t,1,1)(0t1). 又B1(1,0,1)， 所以 =(t-1,1,0).而B1F平面A1BE， 于是B1F平面A1BE n=0(t-1,1,0)(2,1,2)=0，得 2(t1)+1=0，解得 所以F為C1D1的中點(diǎn)，這說明在棱 C1D1上存在點(diǎn)F(C1D1的中點(diǎn))，使B1F平面A1BE.,【方法總結(jié)】利用空間向量巧解探索性問題 (1)空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷. (2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.,【變式訓(xùn)練】(2013北京高考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3， BC=5. (1)求證：AA1平面ABC. (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值. (3)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B，并求 的值.,【解析】(1)因?yàn)锳1ACC1是正方形,所以AA1AC. 又因?yàn)槠矫鍭BC平面A1ACC1,交線為AC,所以AA1平面ABC. (2)因?yàn)锳C=4,BC=5,AB=3,所以AC2+AB2=BC2,所以ACAB. 分別以AC,AB,AA1所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的 空間直角坐標(biāo)系. 則A1(0,0,4),B(0,3,0), C1(4,0,4),B1(0,3,4), =(4,0,0), =(0,3,-4), =(4,-3,0), =(0,0,4),設(shè)平面A1BC1的法向量為n1=(x1,y1,z1)，平面B1BC1的法向量為 n2=(x2,y2,z2)， 所以 由圖可知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以其余弦值為,(3)設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t(0t4)，在平面BCC1B1中作DEBC于E, 根據(jù)比例關(guān)系可知D(t, (4t),t)(0t4)，所以 (t, (4t),t), =(0,3,4)， 又因?yàn)?所以 (4t)4t=0,所以 所以,轉(zhuǎn)化與化歸思想 利用空間向量解決空間位置關(guān)系及求角問題 【思想詮釋】 1.主要類型:(1)空間中平行或垂直關(guān)系的證明.(2)求空間角,如求二面角的大小.(3)判斷點(diǎn)的存在性問題. 2.解題思路:利用空間向量解決立體幾何問題的方法,把所求問題轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積問題. 3.注意事項(xiàng):(1)利用空間向量求異面直線所成的角時(shí),應(yīng)注意角的取值范圍. (2)利用空間向量求二面角時(shí),應(yīng)注意觀察二面角是銳角還是鈍角.,【典例】 (14分)(2013黃岡模擬)如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在平 面互相垂直,ADCD,ABCD,AB=AD= CD=2,點(diǎn)M在線段EC上且 不與E,C重合. (1)當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí),求證:BM平面ADEF. (2)當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為 時(shí),求三棱 錐M-BDE的體積.,【審題】分析信息，形成思路 (1)切入點(diǎn)：利用 與平面ADEF的法向量垂直求