可測函數(shù)的收斂性(3).ppt

第二節(jié) 可測函數(shù)的收斂性,第四章 可測函數(shù),函數(shù)列的幾種收斂定義,一致收斂:,注：近似地說一致收斂是函數(shù)列 收斂慢的程度能有個(gè)控制 近似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖 象陡的程度能有個(gè)控制,點(diǎn)點(diǎn)收斂: 記作,例：函數(shù)列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上處處收斂到 f(x)=0,但不一致收斂， 但去掉一小測度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收斂,fn(x)=xn,幾乎處處收斂: 記作 (almost everywhere）,即：去掉某個(gè)零測度集，在留下的集合上處處收斂,即：去掉某個(gè)小（任意?。y度集，在留下的集合上一致收斂,幾乎一致收斂:記作 (almost uniformly),依測度收斂: 記作,注：從定義可看出， 幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點(diǎn)上函數(shù)值的收斂（除一零測度集外） 依測度收斂并不 指出函數(shù)列在哪個(gè)點(diǎn)上的收斂，其要點(diǎn)在于誤差超過的點(diǎn)所成的集的測度應(yīng)隨n趨于無窮而趨于零，而不論點(diǎn)集的位置狀態(tài)如何,不依測度收斂,依測度收斂,幾種收斂的區(qū)別,說明：當(dāng)n越大，取1的點(diǎn)越多，故fn(x)在R+上處處收斂于1,（1）處處收斂但不依測度收斂,在R+上處處收斂于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依測度收斂于1，另外fn不幾乎一致收斂于1,fn不幾乎一致收斂于f,幾乎一致收斂:記作 (almost uniformly),即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y度集，在留下的集合上一致收斂,即：去掉 測度集，在留下的集合上仍不一致收斂,任意 （ ）,適當(dāng)小,小,fn不幾乎一致收斂于f,即：去掉任意小（適當(dāng)?。y度集，在留下的集合上仍不一致收斂,（2）依測度收斂但處處不收斂,依測度收斂但處處不收斂, 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,說明：對任何x(0,1 , fn(x)有兩個(gè)子列，一個(gè)恒為1， 一個(gè)恒為0，所以fn(x)在(0,1上處處不收斂；,例：函數(shù)列fn(x)=xn 在(0,1)上處處收斂到 f(x)=0,但不一致收斂， 但去掉一小測度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收斂,收斂的聯(lián)系（葉果洛夫定理的引入）,三種收斂的聯(lián)系,即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y度集，在留下的集合上一致收斂,幾乎處處收斂與幾乎一致收斂（葉果洛夫定理） 設(shè)mE+，fn ，f在E上幾乎處處有限且可測，,（即：可測函數(shù)列的收斂 “基本上”是一致收斂）,引理：設(shè)mE+，fn ，f在E上幾乎處處有限且可測，,證明：由于 為零測度集， 故不妨令 fn ，f在E上處處有限