函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)(4).ppt

7/6/2019 5:01 PM,2.7 一元函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),1. 函數(shù)的連續(xù)性,2. 函數(shù)的間斷點(diǎn),3. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則,4. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),7/6/2019 5:01 PM,1. 函數(shù)的連續(xù)性,【定義 2.8】設(shè)變量 從初值 改變到終,說明 改變量可以是正的，也可是負(fù)的。,例如,從0變到1，,從1變到0，,第2章 極限與連續(xù),值 ，,變量，,終值與初值之差 稱為變量 的改,記作 。,則,則,7/6/2019 5:01 PM,如圖所示,設(shè)函數(shù) ，,第2章 極限與連續(xù),時(shí)，,當(dāng)自變量 從 改變到,函數(shù) 相應(yīng)的改變量為 。,7/6/2019 5:01 PM,例 設(shè)正方形的邊長 有一個(gè)改變量,如圖所示，,面積的改變量,面積 改變了多少？,第2章 極限與連續(xù),7/6/2019 5:01 PM,簡單地說，,。,如圖所示,處不連續(xù),處連續(xù),第2章 極限與連續(xù),函數(shù)也有一個(gè)很小的變化。,當(dāng)自變量有一個(gè)很小的變化時(shí)，,即 時(shí)，,7/6/2019 5:01 PM,或,則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)。,函數(shù)連續(xù)定義的等價(jià)形式,【定義 2.9】設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某,即,【定義 2.10】設(shè)函數(shù) 在 的某個(gè),在點(diǎn) 處連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),鄰域內(nèi)有定義，,若,則稱函數(shù),個(gè)鄰域內(nèi)有定義，,得的改變量 時(shí)，,如果當(dāng)自變量 在點(diǎn) 處取,函數(shù)的改變量 ，,7/6/2019 5:01 PM,事實(shí)上，,（1）函數(shù) 在 處有定義；,（2）極限 存在；,（3）極限值等于函數(shù)值 。,若有一條不滿足，函數(shù)在 處不連續(xù),第2章 極限與連續(xù),具備下列三個(gè)條件：,函數(shù) 在 處連續(xù)要同時(shí),7/6/2019 5:01 PM,例1 證明函數(shù) 在給定點(diǎn) 處連續(xù)。,證 當(dāng) 在 處有一個(gè)改變量 時(shí)，,函數(shù) 有改變量,所以，函數(shù) 在 處連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),證畢。,7/6/2019 5:01 PM,【定義 2.11】設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上,說明 在左端點(diǎn) 處和右端點(diǎn) 處連,如上例中，,在 內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),每一點(diǎn)都連續(xù)，,是 的連續(xù)區(qū)間。,則稱 在 上連續(xù)，,并稱,續(xù)是指,而點(diǎn) 可以是 內(nèi)的任意一點(diǎn)，,函數(shù) 在給定點(diǎn) 處連續(xù)，,因此,7/6/2019 5:01 PM,例2 證明函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)。,證 設(shè) 為 內(nèi)任意一點(diǎn)，,因?yàn)?所以,即,第2章 極限與連續(xù),處有改變量 ，,函數(shù)的改變量,在,7/6/2019 5:01 PM,因而,所以函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)。,再由 的任意性知，,證畢。,同理可證 在 內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),內(nèi)連續(xù)。,函數(shù) 在,7/6/2019 5:01 PM,說明 由函數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù)的定義及,連續(xù)函數(shù)的極限符號與函數(shù)符號可以交換,例如 求,解,第2章 極限與連續(xù),有,7/6/2019 5:01 PM,2. 函數(shù)的間斷點(diǎn),【定義 2.12】若函數(shù) 在點(diǎn) 處不滿足,定義等價(jià)于,第2章 極限與連續(xù),連續(xù)條件，,稱函數(shù) 在點(diǎn) 處間斷，,斷點(diǎn)。,則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處不連續(xù)，,或,點(diǎn) 稱為 的間,7/6/2019 5:01 PM,若函數(shù) 在 的去心鄰域內(nèi)有定義，,（1）函數(shù) 在 處無定義；,（2） 不存在；,（3）,第2章 極限與連續(xù),則下列情形之一，,稱函數(shù) 在 處間斷,7/6/2019 5:01 PM,例3 討論函數(shù) 在點(diǎn) 處的連續(xù),如圖所示,解 由于函數(shù),在點(diǎn) 處無定義，,函數(shù) 在,處間斷。,第2章 極限與連續(xù),性。,故,7/6/2019 5:01 PM,例4 設(shè)函數(shù) ，,函數(shù) 在點(diǎn) 處的連續(xù)性。,解 由于,則 不存在，,在 處間斷。,如圖所示,第2章 極限與連續(xù),故,討論,7/6/2019 5:01 PM,例5 設(shè)函數(shù) ，,數(shù) 在點(diǎn) 處的連續(xù)性。,解 由于,故函數(shù) 在 處,如圖所示,第2章 極限與連續(xù),間斷。,討論函,7/6/2019 5:01 PM,間斷點(diǎn)的類型,【定義2.13】,設(shè) 是函數(shù)的間斷點(diǎn),均存在,若 ，稱 為可去間斷點(diǎn)。,若 ，稱 為跳躍間斷點(diǎn)。,例4中， 是跳躍間斷點(diǎn)。,例5中， 是可去間斷點(diǎn)；,第2章 極限與連續(xù),第一類間斷點(diǎn),7/6/2019 5:01 PM,第二類間斷點(diǎn),至少有一個(gè)不存在,若其中至少有一個(gè)振蕩，,例3中， 是無窮間斷點(diǎn)；,若其中至少有一個(gè)為 ，,如圖,是函數(shù),的振蕩間斷點(diǎn)。,第2章 極限與連續(xù),稱 為無窮間斷點(diǎn)；,稱 為振蕩間斷點(diǎn)。,7/6/2019 5:01 PM,3. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則,【定理】若函數(shù) 與 在點(diǎn) 處,在 處也連續(xù)。,例,因?yàn)?在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，,所以 在其定義域內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),連續(xù)，,則,7/6/2019 5:01 PM,【定理】若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào),例 由于函數(shù) 在閉區(qū)間,上單調(diào)增加且連續(xù)，,在閉區(qū)間 上也是單調(diào)增加且連續(xù)。,所以其反函數(shù),第2章 極限與連續(xù),增加（減少）且連續(xù)，,也在對應(yīng)的區(qū)間 上，,調(diào)增加（減少）且連續(xù)。（證略）,則其反函數(shù),單,7/6/2019 5:01 PM,【定理】設(shè)函數(shù) 由函數(shù),例 求,即,解,第2章 極限與連續(xù),與函數(shù) 復(fù)合而成，,而函數(shù) 在 連續(xù)，,若,則,（證略）,7/6/2019 5:01 PM,例 討論函數(shù) 的連續(xù)性。,【定理】設(shè)函數(shù) 由函數(shù),解 由于函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù),而 在 內(nèi)連續(xù)，,在 內(nèi)連續(xù)。,第2章 極限與連續(xù),與函數(shù) 復(fù)合而成，,連續(xù)，且 ，,連續(xù)，,也連續(xù)。（證略）,若函數(shù) 在,而函數(shù) 在,則復(fù)合函數(shù) 在,則函數(shù),7/6/2019 5:01 PM,初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的,基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的,初等函數(shù)的連續(xù)性,第2章 極限與連續(xù),包含在定義域內(nèi)的區(qū)間,7/6/2019 5:01 PM,4. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),【定理】（有界性定理）若函數(shù),【定理】（最大值與最小值定理）,第2章 極限與連續(xù),嚴(yán)格的理論證明省略。,下面定理只從幾何直觀上加以說明，,在閉區(qū)間 上連續(xù)，,區(qū)間上有界。,則 在此,若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，,在此區(qū)間上一定有最大值和最小值。,則,將,7/6/2019 5:01 PM,如圖所示,在閉區(qū)間 上連續(xù)，,得最小值；,在 處取得最大值。,函數(shù)在此區(qū)間上有界。,第2章 極限與連續(xù),在 處取,因此，,7/6/2019 5:01 PM,【定理】（介值定理）若函數(shù) 在,推論（零點(diǎn)存在定理）若函數(shù) 在閉區(qū),第2章 極限與連續(xù),閉區(qū)間 上連續(xù)，,上的最大值和最小值，,任一個(gè)實(shí)數(shù),使得 。,和 分別為 在,則對介于 和 之間的,至少存在一點(diǎn),間 上連續(xù)，,點(diǎn) ，,且 ，,則至少存在一,使得 。,7/6/2019 5:01 PM,如圖所示,介值定理,零點(diǎn)存在定理,第2章 極限與連續(xù),7/6/2019 5:01 PM,例6 利用介值定理證明方程,在區(qū)間 內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根。,證 設(shè),由介值定理知，存在,使得,即 為給定方程的實(shí)根。,又由于三次,方程最多有三個(gè)根，,第2章 極限與連續(xù),所以各區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)。,7/6/2019 5:01 PM,例7 求,解,例8 求,解,第2章 極限與連續(xù),7/6/2019 5:01 PM,例9 證明 當(dāng) 時(shí)，,證,所以,證畢。,第2章 極限與連續(xù),7/6/2019 5:01 PM,內(nèi)容小結(jié),1.函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義,2. 間斷點(diǎn),函數(shù)在 點(diǎn)連續(xù),第一類間斷點(diǎn),（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)）,第二類間斷點(diǎn),（無窮間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)）,第2章 極限與連續(xù),存在,左右極限至少有一個(gè)不,左右極限都存在,充分必要條件,7/6/2019 5:01 PM,3.初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),4.分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，,5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定,第2章 極限與連續(xù),定義或充要條件討論。,需要用,理，零點(diǎn)存在定理）,7/6/2019 5:01 PM,備用題,1.若函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，,解 因?yàn)?所以,即 在 處連續(xù)。,反之不成立，,處處間斷，,第2章 極限與連續(xù),是否在 處連續(xù)？,問,反之是否成立？,而 處處連續(xù)。,如,7/6/2019 5:01 PM,2.討論函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型,解,是其