函數(shù)展開成冪級數(shù)(22).ppt

第四節(jié),兩類問題:,在收斂域內(nèi),和函數(shù),本節(jié)內(nèi)容:,一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù),二、函數(shù)展開成冪級數(shù),函數(shù)展開成冪級數(shù),第十章,一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù),其中,( 在 x 與 x0 之間),稱為拉格朗日余項 .,則在,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導數(shù),此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :,為f (x) 的泰勒級數(shù) .,則稱,當x0 = 0 時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù) .,1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么 ？,2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?,待解決的問題 :,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有任意階導數(shù),定理1 .,各階導數(shù),則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要,條件是,f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:,證明:,令,設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某一鄰域,內(nèi)具有,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是,唯一的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同.,證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級數(shù)為,則,顯然結(jié)論成立 .,二、函數(shù)展開成冪級數(shù),1. 直接展開法,由泰勒級數(shù)理論可知,第一步 求函數(shù)及其各階導數(shù)在 x = 0 處的值 ;,第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;,第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi),是否為,驟如下 :,展開方法,直接展開法, 利用泰勒公式,間接展開法, 利用已知其級數(shù)展開式,0.,的函數(shù)展開,例1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù).,解:,其收斂半徑為,對任何有限數(shù) x , 其余項滿足,故,( 在0與x 之間),故得級數(shù),例2. 將,展開成 x 的冪級數(shù).,解:,得級數(shù):,其收斂半徑為,對任何有限數(shù) x , 其余項滿足,類似可推出:,例3. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù), 其中m,為任意常數(shù) .,解: 易求出,于是得 級數(shù),由于,級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂.,因此對任意常數(shù) m,推導,則,為避免研究余項 , 設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為,稱為二項展開式 .,說明：,(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .,(2) 當 m 為正整數(shù)時, 級數(shù)為 x 的 m 次多項式, 上式 就是代數(shù)學中的二項式定理.,由此得,對應(yīng),的二項展開式分別為,2. 間接展開法,利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),例4. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù).,解: 因為,把 x 換成, 得,將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù).,例5. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù).,解:,從 0 到 x 積分, 得,定義且連續(xù),區(qū)間為,利用此題可得,上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂,例6. 將,展成,解:,的冪級數(shù).,例7. 將,展成 x1 的冪級數(shù).,解:,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法,(1) 直接展開法, 利用泰勒公式 ;,(2) 間接展開法, 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開,2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式,式的函數(shù) .