2018年高中數(shù)學(xué) 數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案新人教A版.docx

第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用(重點(diǎn)).2.會(huì)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和(重點(diǎn)).3.能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式思考：類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次型函數(shù)，如何從函數(shù)的角度理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn?提示可把等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn理解為關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)2錯(cuò)位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法一般地，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和可寫為：Sna1a1qa1q2a1qn1， 用公比q乘的兩邊，可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn， 由，得(1q)Sna1a1qn，整理得Sn(q1)(2)我們把上述方法叫錯(cuò)位相減法，一般適用于數(shù)列anbn前n項(xiàng)和的求解，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且q1.思考：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)還有其他的方法嗎？提示根據(jù)等比數(shù)列的定義，有：q，再由合比定理，則得q，即q，進(jìn)而可求Sn.基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)求等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和時(shí)可直接套用公式Sn來求()(2)若首項(xiàng)為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和為Snna.()(3)若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Snaqna(a0，q0且q1，nN*)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列()答案(1)(2)(3)提示：(1)錯(cuò)誤在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先應(yīng)看公比q是否為1，若q1，可直接套用，否則應(yīng)討論求和(2)正確若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是非零常數(shù)列，所以前n項(xiàng)和為Snna.(3)正確根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn(q0且q1)變形為Snqn(q0且q1)，若令a，則和式可變形為Snaaqn.2等比數(shù)列an中，a11，q2，則S5_.31S531.3數(shù)列，的前10項(xiàng)的和S10_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432215】S10，則S10.兩式相減得，S10，所以S10.4某廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年的產(chǎn)值增長(zhǎng)10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為_11(1.151)a去年產(chǎn)值為a，從今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a1.12a1.13a1.14a1.15aa11(1.151)a.合 作 探 究攻 重 難等比數(shù)列基本量的運(yùn)算在等比數(shù)列an中，(1)S230，S3155，求Sn；(2)a1a310，a4a6，求S5；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432216】解(1)由題意知解得或從而Sn5n1或Sn.(2)法一由題意知解得從而S5.法二由(a1a3)q3a4a6，得q3，從而q.又a1a3a1(1q2)10，所以a18，從而S5.(3)因?yàn)閍2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的兩根從而或又Sn126，所以q為2或.規(guī)律方法1在等比數(shù)列an的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個(gè)量，通過列方程組，就能求出另外兩個(gè)量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用2在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí)，首先要對(duì)公比q1或q1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論跟蹤訓(xùn)練1在等比數(shù)列an中，(1)若a1，an16，Sn11，求n和q；(2)已知S41，S817，求an.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432217】解(1)由Sn得11，q2，又由ana1qn1得16(2)n1，n5.(2)若q1，則S82S4，不合題意，q1，S41，S817，兩式相除得171q4，q2或q2，a1或a1，an2n1或(2)n1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用借貸10 000元，以月利率為1%，每月以復(fù)利計(jì)息借貸，王老師從借貸后第二個(gè)月開始等額還貸，分6個(gè)月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)思路探究：解決等額還貸問題關(guān)鍵要明白以下兩點(diǎn)：(1)所謂復(fù)利計(jì)息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和(2)從還貸之月起，每月還貸金額是構(gòu)成等比數(shù)列還是等差數(shù)列，首項(xiàng)是什么，公比或公差是多少解法一：設(shè)每個(gè)月還貸a元，第1個(gè)月后欠款為a0元，以后第n個(gè)月還貸a元后，還剩下欠款an元(1n6)，則a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由題意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.1.0161.061，a1 739.故每月應(yīng)支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，將此借款以相同的條件存儲(chǔ)6個(gè)月，則它的本利和為S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，設(shè)每個(gè)月還貸a元，分6個(gè)月還清，到貸款還清時(shí)，其本利和為S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a.以下解法同法一，得a1 739，故每月應(yīng)支付1 739元規(guī)律方法解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟：(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題？是求an，還是求Sn？特別要注意準(zhǔn)確弄清項(xiàng)數(shù)是多少.弄清題目中主要的已知事項(xiàng).(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).(3)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 跟蹤訓(xùn)練2一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%. 這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432218】解用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得an1an，因此，數(shù)列an是首項(xiàng)a125，公比q的等比數(shù)列熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為Sna1a2an125125.故這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過125 m.錯(cuò)位相減法求和探究問題1對(duì)于S641248262263，用2乘以等式的兩邊可得2S64248262263264，對(duì)這兩個(gè)式子作怎樣的運(yùn)算能解出S64?提示：比較兩式易知，兩式相減能消去同類項(xiàng)，解出S64，即S642641.2由項(xiàng)數(shù)相等的等差數(shù)列n與等比數(shù)列2n相應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成新的數(shù)列n2n是等比數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式是什么？提示：由等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義可知數(shù)列n2n既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式為Sn121222323n2n.3在等式 Sn121222323n2n兩邊同乘以數(shù)列2n的公比后，該等式的變形形式是什么？認(rèn)真觀察兩式的結(jié)構(gòu)特征，你能將求Sn的問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題嗎？提示：在等式Sn121222323n2n兩邊同乘以2n的公比可變形為2Sn122223324(n1)2nn2n1得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此時(shí)可把求Sn的問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列2n的前n項(xiàng)和問題我們把這種求由一個(gè)等差數(shù)列an和一個(gè)等比數(shù)列bn相應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列anbn前n項(xiàng)和的方法叫錯(cuò)位相減法已知等比數(shù)列an滿足：a1，a1，a2，a3成等差數(shù)列，公比q(0,1)，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.思路探究：(1)根據(jù)a1，a2，a3成等差數(shù)列求得公比q，寫出通項(xiàng)公式；(2)由bnnan可知利用錯(cuò)位相減法求和解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1，因?yàn)閍1，a2，a3成等差數(shù)列，所以2a2a1a3，即得4q28q30，解得q或q，又因?yàn)閝(0,1)，所以q，所以ann1.(2)根據(jù)題意得bnnan，Sn，Sn，作差得Sn，Sn2(n2)n.母題探究：1.本題中設(shè)cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解由題意知cnn2n所以Sn121222323(n2)2n2(n1)2n1n2n2Sn122223324(n2)2n1(n1)2nn2n1兩式相減得：Sn1212223242n12nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Sn(n1)2n12.2本題中設(shè)dn(2n1)an，求數(shù)列dn的前n項(xiàng)和Tn.解由題意可得：Tn13(2n1)，Tn13(2n3)(2n1)，兩式相減得Tn122(2n1)(2n1)所以Tn33.規(guī)律方法錯(cuò)位相減法的適用題目及注意事項(xiàng)：（1）適用范圍：它主要適用于an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和.（2）注意事項(xiàng)：利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)， 應(yīng)注意使兩式錯(cuò)對(duì)齊，以便于作差，正確寫出(1q)Sn的表達(dá)式.利用此法時(shí)要注意討論公比q是否等于1的情況. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a13，公比q2，則S5等于()A93B93C45D45AS593.2在等比數(shù)列an中，已知a1a2a36，a2a3a43，則a3a4a5a6a7等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432219】A. B. C. D.Aq，由a1a2a36，且q，得a18，可得a2a1q84，a3a4a5a6a7S7a1a2a1a28(4).3在公比為整數(shù)的等比數(shù)列an中，如果a1a418，a2a312，則這個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)之和S8_.510a1a4a1(1q3)18，a2a3a1(qq2)12，兩式聯(lián)立解得q2或，而q為整數(shù)