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唐山市 2016年度高三年級(jí)第一次模擬考試 文科數(shù)學(xué) 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求 1. 若復(fù)數(shù) 滿足 ,則 的實(shí)部為() A. 3 B. C. 4 D. 【答案】 D 2. 已知集合 , ,則 () A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 。故選 C。 點(diǎn)睛: 1、用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含義,再看元素元素的限制條件,明確集合的類型,是數(shù)集,是點(diǎn)集還是其它集合。 2、求集合的交、交、補(bǔ)時(shí),一般先化簡(jiǎn),再由交、并、補(bǔ)的定義求解。 3、在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助 和數(shù)軸使抽象問題直觀化,一般地, 集合元素離散時(shí)用 ;集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示,用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍。 3. 若函數(shù) ,則 () A. 1 B. 4 C. 0 D. 【答案】 A 【解析】 。故選 A。 4. 甲、乙等 4 人在微信群中每人搶到一個(gè)紅包,金額為三個(gè) 1 元,一個(gè) 5 元,則甲、乙的紅包金額不相等的概率為() A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 甲乙等四人在微信中每人搶到一個(gè)紅包金額為三個(gè)一元,一個(gè)五元,基本事件總數(shù)為 ,甲乙的紅包金額不相等包含的基本事件有:甲乙的紅包金額分別為。所以甲乙的紅包金額不相等的概率為 。故選 C。 5. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為() A. B. C. D. 【答案】 A 點(diǎn)睛:由三視圖求解幾何體體積的解題策略 (1)以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后在直觀圖中求解 (2)求幾何體的體積時(shí),若所給定幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺(tái)體,可直接利用公式求解,若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出,常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法求解 6. 設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,若 , ,則 () A. 1 B. 0 C. D. 4 【答案】 B 7. 一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法可以設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的結(jié)果 () A. 4 B. C. D. 【答案】 C 【解析】 。滿足 ,第一次循環(huán): ;滿足 ,第二次循環(huán): ;滿足 ,結(jié)束循環(huán)。故選 C。 8. 已知雙曲線 的右頂點(diǎn)為 ,過右焦點(diǎn) 的直線 與 的一條漸近線平行,交另一條漸近線于點(diǎn) ,則 () A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 漸近線為 與 的一條漸近線平行,不妨用,即 的縱坐標(biāo) 。選 B。 9. 下列命題正確的是() A. 若兩條直線和同一個(gè)平面平行,則這兩條直線平行 B. 若一直線與兩個(gè)平面所成的角相等,則這兩個(gè)平面平行 C. 若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行 D. 若兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行 【答案】 C 10. 已知 為銳角,且 ,則 () A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 為銳角, 。故選 A。 11. 已知 為單位向量,則 的最大值為() A. B. C. 3 D. 【答案】 D 【解析】 由向量加法的平行四邊形法則可知,設(shè),最大值為 。故選 D。 12. 已知函數(shù) ,若 , , ,則() A. B. C. D. 【答案】 A 點(diǎn)睛:數(shù)的大小比較主要考查了函數(shù)的單調(diào)性,尤其在給定函數(shù)的解析式的前提下。本題中函數(shù)的解析中含有對(duì)數(shù)式,一次式,分式,對(duì)其單調(diào)性的判斷主要利用導(dǎo)數(shù)的方法來判斷。利用導(dǎo)數(shù)來判斷單調(diào)性時(shí)要注意函數(shù)的定義域。本題的另一個(gè)難點(diǎn)是利用函數(shù)的解析式將轉(zhuǎn)化為 。 二、填空題:本大題共 4 小 題,每小題 5 分,共 20 分,把答案填寫在題中橫線上 13. 若變量 滿足約束條件 ,則 的最小值是 【答案】 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,當(dāng) 過點(diǎn) 時(shí) 有最小值,為 。 點(diǎn)睛:線性規(guī)劃求解中注意的事項(xiàng): (1)線性規(guī)劃問題中,正確畫出不等式組表示的平面區(qū)域是解題的基礎(chǔ)。 (2)目標(biāo)函數(shù)的意義,有的 可以用直線在 軸上的截距來表示,還有的可以用兩點(diǎn)連線的斜率、兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的距離來表示。 14. 設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,且 ,若 ,則 【答案】 【解析】 。 15. 將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù) 的圖象,則正數(shù) 的最小值等于 【答案】 16. 已知拋物線 的焦點(diǎn)為 , ,拋物線 上的點(diǎn) 滿足,且 ,則 【答案】 2 或 6 【解析】 由已知 由 或 。 點(diǎn)睛:利用拋物線的定義解決此 類問題,應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化?!翱吹綔?zhǔn)線想到焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的有效途徑。 三、解答題:本大題共 70 分,其中 17為必考題, 22、 23 題為選考題,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟 17. 已知 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 , ( 1)若 ,求 ; ( 2)若 , ,求 【答案】( 1) ;( 2) . 【解析】 試題分析:( 1)正弦定理,將 整理成關(guān)于 的一元二次方程,可得 的值,即得 的值,由三角形內(nèi)角和可得角 的大小;( 2)由余弦定理及可解得 的值,代入面積公式求解即可。 試題解析: ( 1)由已知 , 結(jié)合正弦定理得: ,于是 或 (舍) 因?yàn)?, 所以, , 點(diǎn)睛:解三角形的三種方法 (1)已知兩角和一邊 (如 ),由 求 ,由正弦定理求 。 (2)已知兩邊和夾角 (如 ),應(yīng)用余弦定理求 邊;再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用 ,求另一角。 (3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 (如 ),應(yīng)用正弦定理求 ,由 求 ,再由正弦定理或余弦定理求 邊,要注意解可能有多種情況。 18. 某市春節(jié)期間 7 家超市的廣告費(fèi)支出 (萬元)和銷售額 (萬元)數(shù)據(jù)如下: 超市 A B C D E F G 廣告費(fèi)支出 1 2 4 6 11 13 19 銷售額 19 32 40 44 52 53 54 ( 1)若用線性回歸模型擬合 與 的關(guān)系,求 關(guān)于 的線性回歸方程; ( 2)用二次函數(shù)回歸模型擬合 與 的關(guān)系,可得回歸方程: , 經(jīng)計(jì)算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模 型的 分別約為 和 ,請(qǐng)用 說明選擇哪個(gè)回歸模型更合適,并用此模型預(yù)測(cè) 超市廣告費(fèi)支出為 3 萬元時(shí)的銷售額 參數(shù)數(shù)據(jù)及公式: , , 【答案】( 1) ;( 2)二次函數(shù)回歸模型更好,預(yù)測(cè)值為 萬元 . 19. 如圖,三棱柱 中, 平面 , , 是 的中點(diǎn) ( 1)求證:平面 平面 ; ( 2)求點(diǎn) 到平面 的距離 【答案】( 1)詳見解析;( 2) . 【解析】 試題分析:( 1)由 平面 得 ,由 得 ,由線面垂直的判定定理得 平面 ,故平面 平面 ;( 2)很容易得 的值,由 可得 到平面 的距離。 試題解析: ( 1)由 平面 , 平面 ,則 由 , 是 的中點(diǎn),則 又 ,則 平面 , 又 平面 ,所以平面 平面 點(diǎn)睛:證明垂直問題時(shí)的注意事項(xiàng) (1)解題時(shí)一定要嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫過程,如用判定定理證明線面垂直時(shí),一定要體現(xiàn)出“平面中的兩條相交直線”這一條件 (2)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),應(yīng)用時(shí)常添加的輔助線是在一平面內(nèi)作兩平面交線的垂線 20. 已知橢圓 的離心率 ,左頂點(diǎn)為 ( 1)求橢圓 的方程; ( 2)已知 為坐標(biāo)原點(diǎn), 是橢圓 上的兩點(diǎn),連接 的直線平行 交 軸于點(diǎn) ,證明: 成等比數(shù)列 【答案】( 1) ;( 2)詳見解析 . ( 2)設(shè) , , ,則 , 將 代入 ,整理得 ,得 , , , 將 代入 ,整理得 ,得, 故 ,所以,成等比數(shù)列 21. 已知函數(shù) ( 1)若曲線 與 軸相切于原點(diǎn),求 的值; ( 2)若 時(shí), 成立,求 的取值范圍 【答案】( 1) ;( 2) . 【解析】 試題分析:( 1)由 可解得 的值;( 2)令 ,則,通過討論 的范圍求出函數(shù) 的單調(diào)性,從而進(jìn)一步確定 的范圍即可。 試題解析: ( 1) , 由 得 請(qǐng)考生在 22、 23 兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分 . 22. 已知直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù), ),以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線 的極坐標(biāo)方程為 , 與 交于不同的兩點(diǎn) ( 1)求 的取值范圍; ( 2)以 為參數(shù),求線 段 中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程 【答案】( 1) ;( 2) ( 為參數(shù), ). 【解析】 試題分析:( 1)求解曲線 的直角坐標(biāo)方程,將直線 的參數(shù)方程代入,得到關(guān)于 的一元二次方程,由題意差別式大小于零,可得 的取值范圍;( 2)利用參數(shù)的幾何意義即可求線段 中點(diǎn)軌跡的參數(shù) 方程。 試題解析: ( 1)曲線
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