2.8 函數(shù)的零點與方程的根 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項復(fù)習(xí)

2.8函數(shù)的零點與方程的根考點函數(shù)的零點1.零點的定義:對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.2.零點的幾個等價關(guān)系:方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點?函數(shù)y=f(x)的圖象與x

軸有公共點.易錯警示

函數(shù)的零點不是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸的交點,而是y=f(x)圖象與x軸交點的

橫坐標(biāo),也就是說函數(shù)的零點不是一個點,而是一個實數(shù).3.函數(shù)零點存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有

f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這

個c也就是方程f(x)=0的解.4.二分法對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在

區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做

二分法.知識拓展

1.由函數(shù)y=f(x)(其圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a,b]上有零點不一定能推出

f(a)·f(b)<0(如圖所示),

所以“f(a)·f(b)<0”是“y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點”的充分不必要條件.2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,y=f(x)在

(a,b)上單調(diào),那么f(x)=0在區(qū)間(a,b)上有且僅有一個實數(shù)根.3.函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有零點?方程F(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有交點.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.(

)(2)函數(shù)f(x)=x2+x+1有零點.

(

)(3)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.

(

)(4)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,若f(-1)·f(3)<0,則方程f(x)=0至少有一

個實數(shù)解.

(

)2.(易錯題)函數(shù)f(x)=lnx-1的零點為

.3.用二分法求函數(shù)f(x)=x3+5的零點可以取的初始區(qū)間是(n,n+1)(n∈Z),則n=

.4.若函數(shù)f(x)=2x-

-a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是

.×××√e-2(0,3)題型一判斷函數(shù)零點所在區(qū)間典例1

(2025屆廣東肇慶一中開學(xué)考,7)已知函數(shù)f(x)=(m-2)xm為冪函數(shù),若函數(shù)g(x)=lgx

+x-m,則g(x)的零點所在區(qū)間為

(

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)C解析

由f(x)=(m-2)xm為冪函數(shù),得m-2=1,得m=3,所以g(x)=lgx+x-3,顯然,g(x)=lgx+x-3是(0,+∞)

上的增函數(shù).選項A,當(dāng)x→0時,g(x)→-∞,g(1)=-2,因此A錯誤;選項B,g(1)=-2,g(2)=lg2-1<0,因此B錯誤;選項C,g(2)=lg2-1<0,g(3)=lg3>0,所以g(2)g(3)<0,因此C正確;選項D,g(3)=lg3>0,g(4)=lg4+1>0,因此D錯誤.故選C.歸納總結(jié)

判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法1.利用函數(shù)零點存在定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有

f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.2.數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.變式訓(xùn)練1-1用二分法求方程log4x-

=0的近似解時,所取的第一個區(qū)間可以是

(

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)B解析

令f(x)=log4x-

,因為函數(shù)y=log4x與y=-

在(0,+∞)上都單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)=log4x-

在(0,+∞)上是增函數(shù),又f(1)=-

<0,f(2)=log42-

=

-

=

>0,所以函數(shù)f(x)=log4x-

在區(qū)間(1,2)上有唯一的零點,所以用二分法求方程log4x-

=0的近似解時,所取的第一個區(qū)間可以是(1,2).故選B.題型二判斷零點個數(shù)典例2函數(shù)f(x)=4x-4x2的零點個數(shù)為

(

)A.0

B.1

C.2

D.3D解析

令f(x)=0,得4x-1=x2.在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y=4x-1,y=x2的大致圖象如圖所示,觀

察可知,兩個函數(shù)的圖象有3個交點,故函數(shù)f(x)=4x-4x2的零點個數(shù)為3,故選D.

歸納總結(jié)

判斷零點個數(shù)的方法1.解方程法:若對應(yīng)方程f(x)=0可解,通過解方程,則方程有幾個不同解就對應(yīng)有幾個零

點.2.函數(shù)零點存在定理法:利用函數(shù)零點存在定理不僅要求函數(shù)圖象在區(qū)間[a,b]上連續(xù),

且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才

能確定函數(shù)的零點個數(shù).3.數(shù)形結(jié)合法:合理轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點個數(shù)問題.兩個函數(shù)圖

象交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).變式訓(xùn)練2-1

(關(guān)鍵元素變式)(2019課標(biāo)Ⅲ,5,5分)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點

個數(shù)為

(

)A.2

B.3

C.4

D.5B解析

由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,得sinx=0或cosx=1.∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零點有3個,故選B.題型三已知函數(shù)零點求參數(shù)典例3

(2025屆重慶南開中學(xué)質(zhì)檢,8)已知函數(shù)f(x)=

在R上單調(diào)遞減(其中a>0,a≠1),且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解,則a的取值范圍是

(

)A.

∪

B.

C.

D.

∪

A解析

由y=loga(x+1)+1在[0,+∞)上單調(diào)遞減,得0<a<1,又f(x)=

在R上單調(diào)遞減,所以02+4a≥f(0)=1,解得a≥

,因此

≤a<1,(由單調(diào)性確定參數(shù)a的范圍)作出函數(shù)f(x)=

的大致圖象,如圖,

由圖象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-x有且僅有一個解,因此在(-∞,0)上,|f(x)|=2-x同樣有且僅有一個解,當(dāng)4a>2,即a>

時,令|x2+4a|=2-x,即x2+x+4a-2=0有且僅有一個解,所以Δ=1-4(4a-2)=0,解得a=

;當(dāng)1≤4a≤2,即

≤a≤

時,由圖象可知,符合題意.綜上,a∈

∪

.故選A.歸納總結(jié)

已知函數(shù)零點求參數(shù)的方法1.直接法:直接利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組),再通過解不等式(組)

確定參數(shù)范圍.2.分離參數(shù)法:先將參數(shù)與自變量分離開來,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題.3.數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,將所求函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題,

同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合求解.變式訓(xùn)練3-1已知函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0]

時,f(x)=x2,若在區(qū)間[-1,3]內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-logax有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是

.[3,+∞)解析

函數(shù)g(x)有2個零點,即函數(shù)y=f(x)與y=logax的圖象在區(qū)間[-1,3]內(nèi)有2個不同的交點.由f(x)=f(x+2)知f(x)的最小正周期為2.由題意知a>1.畫出兩函數(shù)圖象如圖,要使y=f(x)與y=

logax的圖象有2個交點,則loga3≤1,即loga3≤logaa,a≥3.變式訓(xùn)練3-2

(逆反條件變式)(2025屆四川成都七中入學(xué)考,6)已知定義在正實數(shù)集上

的函數(shù)f(x)=

設(shè)a、b、c是互不相同的實數(shù),滿足f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍為

(

)A.(16,25)

B.(256,400)C.(64,100)

D.(64,256)B解析

設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=