專題 全等三角形壓軸題訓(xùn)練（30題）（原卷版）

（蘇科版）八年級上冊數(shù)學(xué)《第1章全等三角形》專題全等三角形壓軸題訓(xùn)練（30題）1．如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC邊上一點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，且CD＝BE，DE與BC相交于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝EF．（2）過點(diǎn)F作FG⊥DE，交線段CE于點(diǎn)G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG＝5，求EG的長．2．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F，連接DE．（1）求證：△ABE≌△BCD；（2）判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；3．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)P為BC邊上的一個動點(diǎn)，連接AP，以AP為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AP右側(cè)作等腰直角三角形PAD，連接CD．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時（不與點(diǎn)B重合），求證：△BAP≌△CAD；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時（如圖2），試猜想線段BP和CD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請給予證明．4．（2023春?市南區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE與AD交于點(diǎn)F，G為△ABC外一點(diǎn)，滿足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，連接EG．（1）求證：△ABF≌△ACG；（2）求證：BE＝CG+EG．5．（2022秋?新賓縣期中）如圖（1）所示，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE＝CF，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求證：EG＝FG．（2）若將△DEC的邊EC沿AC方向移動，變?yōu)閳D（2）時，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？請說明理由．6．（2023春?市南區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE與AD交于點(diǎn)F，G為△ABC外一點(diǎn)，滿足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，連接EG．（1）求證：△ABF≌△ACG；（2）求證：BE＝CG+EG．7．（2022秋?忠縣期末）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，設(shè)BE與CD相交于點(diǎn)F．（1）如圖①，設(shè)∠A＝60°，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，證明：DF＝EF．（2）如圖②，設(shè)BE⊥AC，CD⊥AB，點(diǎn)G在CD的延長線上，連接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，證明：GD＝DF．8．（2023春?宣漢縣校級期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分別為D，E，（1）如圖1，把下面的解答過程補(bǔ)充完整，并在括號內(nèi)注明理由．①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是：CD＝BE；②請寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明．解：①結(jié)論：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝在△ACD和△CBE中，（）∴△ACD≌△CBE，（）∴CD＝BE．②結(jié)論：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）如圖2，上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．9．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD，求證：DF＝EF﹣10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求證：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段FB延長線上一點(diǎn)，連接DG，點(diǎn)H是線段DG上一點(diǎn)，連接AH交BD于點(diǎn)K，連接KG．當(dāng)KB平分∠AKG時，求證：AK＝DG+KG．11．（2023春?余江區(qū)期末）如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，AC＝BC，DC＝EC，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；（2）當(dāng)AD＝AB＝4cm，則AE的長度為cm．（3）猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．12．如圖①點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）證明：EF平分線段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到圖②時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時①請說明△ADC≌△CEB的理由；②請說明DE＝AD+BE的理由；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接在橫線上寫出這個等量關(guān)系：．（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接在橫線上寫出這個等量關(guān)系：．14．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如圖①，若∠AOB＝∠COD＝60°．①求證：AC＝BD．②求∠APB的度數(shù)．（2）如圖②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小為（直接寫出結(jié)果，不證明）．15．（1）已知，如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E，求證：DE＝BD+CE．（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意鈍角，請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．16．已知：如圖AC∥BD，AE和BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點(diǎn)E．求證：（1）AE⊥BE；（2）AB＝AC+BD．17．問題情境：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D．可知：∠BAD＝∠C（不需要證明）；（1）特例探究：如圖②，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點(diǎn)F，BD⊥AE于點(diǎn)D．證明：△ABD≌△CAF；（2）歸納證明：如圖③，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD＝2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為24，則△ACF與△BDE的面積之和為．（直接寫出結(jié)果）18．在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接DE，CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動時，求證：BD＝CE．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②當(dāng)點(diǎn)D分別在線段BC上、線段BC的反向延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.19．（2023春?新市區(qū)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．20．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說明理由．21．（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）當(dāng)∠A＝80°時，求∠EDC的度數(shù)；（2）求證：CF＝FG+CE．22．（2022秋?大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1．當(dāng)α＝90°時．求證：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如圖2．當(dāng)α＝60°時，直接寫出∠AFB的度數(shù)為；（3）如圖3，直接寫出∠AFD的度數(shù)為（用含α的式子表示）．23．將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．（1）求證：AF+EF＝DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③．你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．24．（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時，CB＝10，AE＝4，則S四邊形ABDE＝；（2）如圖2，當(dāng)B、C、E三點(diǎn)共線時，D在AC上，連接BD、AE，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG∥BD，交BF的延長線于點(diǎn)G，求證：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如圖3，B、C、E三點(diǎn)共線，且∠DBE＝15°，將線段AE繞點(diǎn)A以每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時線段BE繞點(diǎn)E以每秒20°的速度順時針旋轉(zhuǎn)180°后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為t秒，當(dāng)BE回到出發(fā)時的位置時同時停止旋轉(zhuǎn)，則在轉(zhuǎn)動過程中．當(dāng)BE和AE互相平行或者垂直時，請直接寫出此時t的值．25．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AC⊥AB，過點(diǎn)C作AB的平行線m，取直線BC上一點(diǎn)P，連接AP，過P作AP的垂線，交直線m于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作BC的垂線，交直線AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段CA的延長線上時，求證：CF﹣CE＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)F在線段CA的上時，AC、CE、CF三條線段的數(shù)量關(guān)系為；（3）如圖3，點(diǎn)F在線段AC的延長線上時，AC、CE、CF三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明．26．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；（1）延長MP交CN于點(diǎn)E（如圖2），①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM＝PN；（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時PM＝PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．27．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．28．（1）閱讀理解：課外興趣小組活動時，彭老師提出了如下問題：在△ABC中，AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）．①延長AD到Q，使得DQ＝AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4＜AQ＜16，則AD的取值范圍是．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．（2）請你寫出圖1中AC與BQ的數(shù)量和位置關(guān)系并證明．（3）思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明．29．探究問題：（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證DE+BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：證明：延長CB到G，使BG＝DE，連接AG，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABG＝∠D＝90°，∴△ADE≌△ABG．∴AG＝AE，∠1＝∠2；∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°．即∠GAF＝∠．又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌．∴FG＝EF，∵FG＝FB+BG，又BG＝DE，∴DE+BF＝EF．變化：在圖①中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；（2）方法