2025屆河北省邢臺市高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省邢臺市2025屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，其中是圓周率，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】或，或.故選：C.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則公差（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，，解得，而，所以公差.故選：A3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以.可得.由可得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.逐一分析選項(xiàng)，對于A選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對于B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對于C選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對于D選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)正確.故選：D.4已知向量，當(dāng)時(shí)，有最小值，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由已知，即，解得.故選：C．5.定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則，且，又，則，，，又是上的奇函數(shù)，所以.故選：D6.在中，的對邊分別為，且滿足，則的面積（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦定理，即，，.故選：C.7.已知與在函數(shù)的同一個(gè)周期區(qū)間內(nèi)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以①或②；由得所以③或④；由①③得由①④得由②③得由②④得又因?yàn)?，所以時(shí)，.故選：A.8.已知離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)，且，，線段交橢圓于，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，如下圖所示：因?yàn)椋瑒t，所以，，設(shè)，由橢圓的定義可得，且，由余弦定理可得，由余弦定理可得，即，解得，即，，因?yàn)?，?故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.時(shí)，曲線的切線斜率最小值為B.時(shí)，有最大值C.時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)D.時(shí)，有最小值【答案】AD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，時(shí)，曲線的切線斜率最小值為，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則無最大值，B錯(cuò)；對于CD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)無零點(diǎn)，C錯(cuò)D對.故選：AD.10.已知，圓與直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.時(shí)， B.過點(diǎn)向圓所引的切線長為C.時(shí)，中點(diǎn)的軌跡長度為 D.【答案】BCD【解析】圓的圓心，半徑，對于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，則，A錯(cuò)誤；對于B，切線長為，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，令弦中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的半圓（不含端點(diǎn)），軌跡長度為，C正確；對于D，由消去得，設(shè)，則，，D正確.故選：BCD11.如圖，在正三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則與平面成角 B.若，則平面平面C.若，則 D.若，則三棱柱有內(nèi)切球【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)檎庵衅矫?，所以就是與平面所成的角.已知，則，.當(dāng)時(shí)，，所以，選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時(shí)，，，，，.可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得.又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得.計(jì)算，所以平面與平面不垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C，，.已知，，，，，.當(dāng)時(shí)，，故，選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，若正三棱柱有內(nèi)切球，則內(nèi)切球的半徑等于底面正三角形的內(nèi)切圓半徑且等于側(cè)棱長的一半，即，此時(shí)，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則______．【答案】或【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，拋物線的焦點(diǎn)為，則，由題意可得，解得或，因此，或.故答案為：或.13.已知角，滿足，，則______．【答案】【解析】注意到，，展開整理得：，，解得．故答案為：.14.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】6【解析】正實(shí)數(shù)，，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以時(shí)，取得最小值6.故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），與交于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)平面，，求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，又因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，因此，平?（2）解：因?yàn)槠矫?，，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.16.已知函數(shù)．（1）時(shí)，曲線在處的切線與處的切線平行，求的值；（2）若函數(shù)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，由，即，即，解得或，由題意可知，，所以，.（2）因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故對任意的，，可得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）當(dāng)時(shí)，，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為.17.將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入標(biāo)號為的四個(gè)小盒中，使每個(gè)小盒都不空．（1）求盒子中放入小球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在1號小球放入盒子的前提下，求2號小球不放入盒子的概率．解：（1）的所有可能值為1，2，3，當(dāng)時(shí)，放入盒子中一個(gè)小球的放法總數(shù)，當(dāng)時(shí)，放入盒子中兩個(gè)小球的放法總數(shù)，當(dāng)時(shí)，放入盒子中三個(gè)小球的放法總數(shù)，因此，，所以的分布列為123數(shù)學(xué)期望.（2）在1號小球放入盒子的前提下，盒子中小球個(gè)數(shù)是時(shí)放法數(shù)為，，在1號小球放入盒子的前提下，2號小球沒放入盒子，盒子中小球個(gè)數(shù)是時(shí)放法數(shù)為，，所以2號小球不放入盒子的概率為.18.已知圓與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)，且是圓的直徑，過向圓引切線，切點(diǎn)為，，．（1）求的值；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．解：（1）設(shè)，則，，即，，又，.（2）由（1）可得，設(shè)，則，，又，，，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程整理得：，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，且在雙曲線右支內(nèi)，所以當(dāng)時(shí)，，則，，，，代入整理得，即，，，解得，所以直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.19.定義集合，.（1）求與；（2）設(shè)集合中元素的個(gè)數(shù)為，是否存在，使得成立？若存在，求出一組，，的值；若不存在，說明理由；（3）記表示不超過的最大整數(shù)，且，求的值．解：（1）對于，，，在不大于16的所有正整數(shù)中，即不能被3整除又不能被4整除的數(shù)有，；同理，在中，，，在不大于27的所有正整數(shù)中，即不能被3整除又不能被4整除的數(shù)有，.（2）因?yàn)樵诓淮笥诘乃姓麛?shù)中，能被3整除的有個(gè)，被4整除的有個(gè)，被12整除的有個(gè)，所以，若，則，即，，，等式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾，故不存在，，使得成立.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，.河北省邢臺市2025屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，其中是圓周率，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】或，或.故選：C.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則公差（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，，解得，而，所以公差.故選：A3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以.可得.由可得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.逐一分析選項(xiàng)，對于A選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對于B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對于C選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對于D選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)正確.故選：D.4已知向量，當(dāng)時(shí)，有最小值，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由已知，即，解得.故選：C．5.定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則，且，又，則，，，又是上的奇函數(shù)，所以.故選：D6.在中，的對邊分別為，且滿足，則的面積（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦定理，即，，.故選：C.7.已知與在函數(shù)的同一個(gè)周期區(qū)間內(nèi)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以①或②；由得所以③或④；由①③得由①④得由②③得由②④得又因?yàn)椋詴r(shí)，.故選：A.8.已知離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)，且，，線段交橢圓于，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，如下圖所示：因?yàn)?，則，所以，，設(shè)，由橢圓的定義可得，且，由余弦定理可得，由余弦定理可得，即，解得，即，，因?yàn)?，?故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.時(shí)，曲線的切線斜率最小值為B.時(shí)，有最大值C.時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)D.時(shí)，有最小值【答案】AD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，時(shí)，曲線的切線斜率最小值為，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則無最大值，B錯(cuò)；對于CD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)無零點(diǎn)，C錯(cuò)D對.故選：AD.10.已知，圓與直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.時(shí)， B.過點(diǎn)向圓所引的切線長為C.時(shí)，中點(diǎn)的軌跡長度為 D.【答案】BCD【解析】圓的圓心，半徑，對于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，則，A錯(cuò)誤；對于B，切線長為，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，令弦中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的半圓（不含端點(diǎn)），軌跡長度為，C正確；對于D，由消去得，設(shè)，則，，D正確.故選：BCD11.如圖，在正三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則與平面成角 B.若，則平面平面C.若，則 D.若，則三棱柱有內(nèi)切球【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)檎庵衅矫?，所以就是與平面所成的角.已知，則，.當(dāng)時(shí)，，所以，選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時(shí)，，，，，.可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得.又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得.計(jì)算，所以平面與平面不垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C，，.已知，，，，，.當(dāng)時(shí)，，故，選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，若正三棱柱有內(nèi)切球，則內(nèi)切球的半徑等于底面正三角形的內(nèi)切圓半徑且等于側(cè)棱長的一半，即，此時(shí)，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則______．【答案】或【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，拋物線的焦點(diǎn)為，則，由題意可得，解得或，因此，或.故答案為：或.13.已知角，滿足，，則______．【答案】【解析】注意到，，展開整理得：，，解得．故答案為：.14.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】6【解析】正實(shí)數(shù)，，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以時(shí)，取得最小值6.故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），與交于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)平面，，求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，又因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?（2）解：因?yàn)槠矫?，，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.16.已知函數(shù)．（1）時(shí)，曲線在處的切線與處的切線平行，求的值；（2）若函數(shù)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，由，即，即，解得或，由題意可知，，所以，.（2）因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故對任意的，，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）當(dāng)時(shí)，，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為.17.將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入標(biāo)號為的四個(gè)小盒中，使每個(gè)小盒都不空．（1）求盒子中放入小球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在1號小球放入盒子的前提下，求2號小球不放入盒子的概率