高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語練習(xí)含解析新人教A版選修1-1

PAGEPAGE9第一章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列語句中，命題的個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624316)(C)①|(zhì)x＋2|；②－5∈Z；③π?R；④{0}∈N.A．1 B．2C．3 D．4[解析]①不能推斷真假，故不是命題，其他都是命題．2．命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624317)(D)A．若x2≥1，則x≥1，或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1[解析]“－1<x<1”的否定為“x≤－1或x≥1”，故原命題的逆否命題為：“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”．3．有下列四個(gè)命題①“若b＝3，則b2＝9”的逆命題；②“全等三角形的面積相等”的否命題；③“若c≤1，則x2＋2x＋c＝0有實(shí)根”；④“若A∪B＝A，則A?B”的逆否命題．其中真命題的個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624318)(A)A．1 B．2C．3 D．4[解析]“若b＝3，則b2＝9”的逆命題：“若b2＝9，則b＝3”，假；“全等三角形的面積相等”的否命題是：“不全等的三角形，面積不相等”，假；若c≤1，則方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c“若A∪B＝A，則A?B”為假，故其逆否命題為假．4．(2024·北京文，7)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624319)(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]方法1：由題意知|m|≠0，|n|≠0.設(shè)m與n的夾角為θ.若存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn，則m與n反向共線，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.當(dāng)90°<θ<180°時(shí)，m·n<0，此時(shí)不存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn.故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．故選A．方法2：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴當(dāng)λ<0，n≠0時(shí)，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈(eq\f(π,2)，π]，當(dāng)〈m，n〉∈(eq\f(π,2)，π)時(shí)，m，n不共線．故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．故選A．5．(2024·天津文，2)設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624320)(B)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.∵當(dāng)x≤2時(shí)，不肯定有x≥0，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，肯定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件．故選B．6．(2024·江西撫州高二檢測(cè))以下說法正確的個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624321)(C)(1)“b2＝ac”是“b為a，c的等比中項(xiàng)”的充分不必要條件；(2)“|a|>|b|”是“a2>b2”(3)“A＝B”是“tanA＝tanB”的充分不必要條件．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)[解析](1)中，a＝b＝0時(shí)，b2＝ac，但b不是a，c的等比中項(xiàng)，若b為a，c的等比中項(xiàng)，則b2＝ac，故“b2＝ac”是“b為a，c的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件；(2)中，|a|>|b|?a2>b2，故“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件；(3)中，A＝B＝eq\f(π,2)時(shí)，tanA、tanB無意義，當(dāng)A＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(4π,3)時(shí)，tanA＝tanB，而A≠B，故“A＝B”是“tanA＝tanB”的既不充分也不必要條件，故選C．7．已知命題p：?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，則?p是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624322)(C)A．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0[解析]依據(jù)全稱命題的否定是存在性命題求解．?p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.8．(2024·重慶巴蜀中學(xué)高二檢測(cè))設(shè)a、b∈R，那么“eq\f(a,b)>1”是“a>b>0”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624323)(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由eq\f(a,b)>1?eq\f(a,b)－1>0?eq\f(a－b,b)>0?b(a－b)>0?a>b>0或a<b<0.故“eq\f(a,b)>1”是“a>b>0”的必要不充分條件．9．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624324)(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)a<0時(shí)，Δ＝4－4a∴方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)兩根分別為x1、x2.則x1＋x2＝－eq\f(2,a)>0，x1x2＝eq\f(1,a)<0，故方程ax2＋2x＋1＝0有一正根一負(fù)根.當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0有一負(fù)根為－eq\f(1,2)，∴a<0?方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根eq\o(?,/)a<0，故選A．10．下列命題中是假命題的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624325)(D)A．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4mB．?a>0，函數(shù)f(x)＝ln2x＋lnx－a有零點(diǎn)C．?α、β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù)[解析]∵f(x)為冪函數(shù)，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上遞減，故A真；∵y＝ln2x＋lnx的值域?yàn)閇－eq\f(1,4)，＋∞)，∴對(duì)?a>0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，即f(x)有零點(diǎn)，故B真；當(dāng)α＝eq\f(π,6)，β＝2π時(shí)，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x為偶函數(shù)，故D為假命題．11．下列命題中的真命題是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624326)(D)A．?x∈[0，eq\f(π,2)]，sinx＋cosx≥2B．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tanx>sinxC．?x∈R，x2＋x＝－1D．?x∈R，x2＋2x>4x－3[解析]∵對(duì)隨意x∈R，有sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)，∴A假；∵x∈(eq\f(π,2)，π)時(shí)，tanx<0，sinx>0，∴B假；∵x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴方程x2＋x＝－1無解，∴C假；∵x2＋2x－(4x－3)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴對(duì)隨意x∈R，x2＋2x－(4x－3)>0恒成立，故D真．12．命題p：關(guān)于x的方程x2＋ax＋2＝0無實(shí)根，命題q：函數(shù)f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，若“p∧q”為假命題，“p∨q”真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624327)(A)A．(－2eq\r(2)，1]∪[2eq\r(2)，＋∞)B．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))C．(－2eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，2eq\r(2))[解析]∵方程x2＋ax＋2＝0無實(shí)根，∴△＝a2－8<0，∴－2eq\r(2)<a<2eq\r(2)，∴p：－2eq\r(2)<a<2eq\r(2).∵函數(shù)f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴a>1.∴q：a>1.∵p∧q為假，p∨q為真，∴p與q一真一假．當(dāng)p真q假時(shí)，－2eq\r(2)<a≤1，當(dāng)p假q真時(shí)，a≥2eq\r(2).綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－2eq\r(2)，1]∪[2eq\r(2)，＋∞)．二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)13．(2024·北京昌平區(qū)高二檢測(cè))若命題p：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≤0，則?p：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)>0.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624328)[解析]依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，故?p：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)>0.14．給出命題：“若函數(shù)y＝f(x)是指數(shù)函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限”．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是__1__.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624329)[解析]因?yàn)槊}：“若函數(shù)y＝f(x)是指數(shù)函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限”是真命題，其逆命題“若函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是指數(shù)函數(shù)”是假命題，如函數(shù)y＝x＋1.再由互為逆否命題真假性相同知，在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是1.15．已知命題“?x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a>0”的否定為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，＋∞)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624330)[解析]由題意可知，命題“?x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a>0”為真命題，∴(－5)2－4×eq\f(15,2)a<0，即a>eq\f(5,6).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，＋∞)).16．(2024·貴州安順高二檢測(cè))已知命題p：?x0∈R，使tanx0＝1，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(?q)”是假命題；③命題“(?p)∨q”是真命題；④命題“(?p)∨(?q)”是假命題．其中正確的是__①②③④__.(填全部正確命題的序號(hào))eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624331)[解析]命題p：?x0∈R，使tanx0＝1正確，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也正確，所以①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(?q)”是假命題；③命題“(?p)∨q”是真命題；④命題“(?p)∨(?q)”是假命題．三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分)推斷下列語句是否為命題，若是命題，再推斷是全稱命題還是特稱命題，并推斷真假.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624332)(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)α，tanα無意義；(2)任何一條直線都有斜率嗎？(3)圓的圓心到其切線的距離等于該圓的半徑；(4)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(5)對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)．[解析](1)特稱命題．α＝eq\f(π,2)時(shí)，tanα不存在，所以，特稱命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)α，tanα無意義”是真命題．(2)不是命題．(3)雖然不含有全稱量詞，但該命題是全稱命題．它的含義是任何一個(gè)圓的圓心到切線的距離都等于圓的半徑，所以，全稱命題“圓的圓心到其切線的距離等于該圓的半徑”是真命題．(4)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的實(shí)質(zhì)是“全部的圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角都互補(bǔ)”，所以該命題是全稱命題且為真命題．(5)雖然不含全稱量詞，但“對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”中省略了“全部的”，所以該命題是全稱命題且為真命題．18．(本題滿分12分)寫出命題“若x2＋7x－8＝0，則x＝－8或x＝1的逆命題、否命題、逆否命題，并分別推斷它們的真假．”eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624333)[解析]逆命題：若x＝－8或x＝1，則x2＋7x－8＝0.逆命題為真．否命題：若x2＋7x－8≠0，則x≠－8且x≠1.否命題為真．逆否命題：若x≠－8且x≠1，則x2＋7x－8≠0.逆否命題為真．19．(本題滿分12分)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624334)[解析]P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}．∵x∈P是x∈Q的必要條件，∴x∈Q?x∈P，即Q?P.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5,a≥－1))，∴－1≤a≤5.20．(本題滿分12分)寫出下列命題的否定，并推斷真假．(1)p：隨意m∈R，關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根；(2)q：存在x∈R，使得x2＋x＋1≤0.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624335)[解析](1)?p：存在m∈R，使方程x2＋x－m＝0無實(shí)數(shù)根．若方程x2＋x－m＝0無實(shí)數(shù)根，則Δ＝1＋4m<0，則m<－eq\f(1,4)，所以?p為真．(2)?q：全部x∈R，x2＋x＋1>0.因?yàn)閤2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，所以?q為真．21．(本題滿分12分)(2024·廣東汕頭高二檢測(cè))已知命題p：函數(shù)y＝x2－2x＋a在區(qū)間(1,2)上有1個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù)y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．假如p∧q是假命題，p∨q是真命題，求a的取值范圍.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03624336)[解析]p真：(1－2＋a)(4