安徽省合肥市某中學(xué)2025屆高三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷（四）

安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷

（四）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={鄧心為<2},B={-1,1,3,5},則AB=（）

A.{1}B,{3}C.{1,3}D.{1,3,5}

2.已知平面向量滿足同=1,|2〃+4=2,且（a+0）_La,則忖=（）

A.2B.6C.72D.1

y=—―尤>0）

3.四參數(shù)方程的擬合函數(shù)表達(dá)式為1+^JI,常用于競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)和免疫檢測(cè)，

它的圖象是一個(gè)遞增（或遞減）的類似指數(shù)或?qū)?shù)曲線，或雙曲線（如y=x-）,還可以是

一條S形曲線，當(dāng)。=4,b=-\,c=l,d=l時(shí)，該擬合函數(shù)圖象是（）

A.類似遞增的雙曲線B.類似遞增的對(duì)數(shù)曲線

C.類似遞減的指數(shù)曲線D.是一條S形曲線

11

4.已知sin（a一夕）=-一,且sintzcos/7=—,則cos（2a+20=（）

5.在棱長(zhǎng)為。的正方體.，中，尸為A8上任意一點(diǎn)，E,歹為C。上兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且EE的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)P到平面4成7的距離（）

A.和點(diǎn)E,尸的位置有關(guān)B.和跖的長(zhǎng)度有關(guān)

C.和點(diǎn)P的位置有關(guān)D.等于受〃

2

6.建設(shè)“書香校園”成為越來越多學(xué)校的辦學(xué)追求.在對(duì)某高中1000名高一年級(jí)學(xué)生的圖書

館借閱量的調(diào)查中，已知這1000名高一年級(jí)學(xué)生中男生有600人，采用分層隨機(jī)抽樣的方

法抽取100人，抽取的樣本中男生借閱量的平均數(shù)和方差分別為5和6,女生借閱量的平均

數(shù)和方差分別為10和6,則估計(jì)該校學(xué)生借閱量的總體方差是（）

A.7B.8C.12D.13

7.已知直線/:如+〃y+，=O（w?+/。0）與圓C：%2+（y+3）2=8交于AB兩點(diǎn)，若根,〃/成

等差數(shù)列，則一ACB的最小值為（）

71712兀57r

A.—B.-C.—D.—

3236

8.設(shè)實(shí)數(shù)丸>0,若對(duì)任意工￡。,也），不等式e%—（4+l）%+lnxN0恒成立，則丸的取值范

圍是（）

A.0<XWeB.22eC.0<A—D.42一

ee

二、多選題

9.下列說法中，正確的命題是（）

A.在兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)關(guān)系中，若相關(guān)系數(shù)「越大，則樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)

B.在具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程》=4+意中，

b——2,=1,y=3>貝！1a=5

C.在回歸分析中，決定系數(shù)居的值越大，說明殘差平方和越小

D.以模型y=ce"去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,將其變換后得

到線性方程z=0.3x+4,則c,左的值分別是「和。.3

10.已知拋物線C:V=8尤的焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)下的直線/與C交于48兩點(diǎn)，。是C的準(zhǔn)線

與無軸的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.若忸。=4,司，則直線/的斜率為士?

B.|AF|+4|BF|>18

C.o<^AOB<90（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）

A尸

D.當(dāng)不取最小值時(shí)，|質(zhì)|=4

AD11

11.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如2024=2.1（）3+0.IO2+2.101+4.10。，計(jì)算機(jī)用的是二進(jìn)制

數(shù)，只需兩個(gè)數(shù)碼。,1.如二進(jìn)制數(shù)：noi⑵=1"+1.22+02+12°=13.將十進(jìn)制正整數(shù)〃表

kk

示為二進(jìn)制數(shù)，其各位數(shù)字之和記為%,即：n=bk-2+bk_l-2-'++%.2°,其中

試卷第2頁，共4頁

4e{0,1},。=0,1,2,k),且±2=機(jī)，貝1]%=加，如陽=1+1+。+1=3.則以下關(guān)于數(shù)列也}

i=0

的結(jié)論正確的有()

A.若a“=m(=eN*),則〃的最大值為2'"-1B.a2n=an

C.*=%TD.%用=%+1

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z=F」，則之的虛部為________.

2+1

22

13.已知產(chǎn)是雙曲線C:工-二=1的右焦點(diǎn)，尸是C左支上一點(diǎn)，M是圓

24

D:x2+(y-273)2=2上一點(diǎn)，則|"P|+1尸產(chǎn)|的最小值為.

7T

14.從球0外一點(diǎn)P作球。表面的三條不同的切線，切點(diǎn)分別為A,氏C,ZAPB=p

7TTT

ZBPC=~,ZCPA=-,若申=2,則球。的表面積為

32

四、解答題

15.在一個(gè)不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個(gè)小球，其中有根個(gè)白球，m

個(gè)黑球，2個(gè)黑白相間的球，且從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到黑白相間的球的概率為

(1)從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概

率；

(2)從盒子中1次隨機(jī)取出1個(gè)球，取出后不放回，共取2次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為X,求X

的分布列與期望.

16.已知在VABC中，ccos3-bcosC-a=0.

(1)判斷VABC的形狀，并說明理由；

1T

⑵若==，點(diǎn)。在邊上，且應(yīng))=2AD.若CD=2,求，ACD的面積.

6

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，上4,底面ABC。，PA=AB,E為線段網(wǎng)的中點(diǎn)，F(xiàn)為

線段3c上的動(dòng)點(diǎn).

p

(1)若BC_LAB,平面AEb與平面P3C是否互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)

說明理由.

(2)若底面ABCZ)為正方形，當(dāng)平面AE尸與平面PCD夾角為2時(shí)，求空的值.

6nC

18.設(shè)函數(shù)/(x)=e"M-爐-區(qū).

⑴當(dāng)左=0時(shí)，求曲線y=〃月在點(diǎn)(-1"(-1))處的切線方程;

⑵若在區(qū)間［-1,內(nèi))上單調(diào)遞增，求人的取值范圍；

(3)當(dāng)x2-1時(shí),/(%)>/(-1),求上的取值范圍.

19.已知橢圓耳：\+4=1(。">0)的離心率為3，點(diǎn)P(0,l)在片上.

ab2

⑴求用的方程；

⑵設(shè)橢圓E?⑺>1).若過P的直線/交后于另一點(diǎn)。，/交生于兩點(diǎn)，且A

在無軸上方.

(i)證明：|AP|=|Be|.

(ii)0為坐標(biāo)原點(diǎn).C為反右頂點(diǎn).設(shè)A在第一象限內(nèi)，BP=2PA，是否存在實(shí)數(shù)機(jī)使

得.O射的面積與一的面積相等？若存在，求機(jī)的值；若不存在，說明理由.

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《安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷(四)》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CAACDCCDBCDABD

題號(hào)11

答案BD

1.C

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性可求得集合A,再結(jié)合交集的概念即可得答案.

【詳解】因?yàn)?={無隧2*<2}=(0,4),所以AB={1,3}.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及垂直關(guān)系的向量表示列式計(jì)算即可.

【詳解】由(〃+/?)_!_〃，得(a+b)?a=a?+a?b=0,貝U〃./?=—/=—1,

由12。+Z?|=2,得4/+〃+4Q./?=4，因止匕Z/=4,

所以網(wǎng)=2.

故選：A

3.A

【分析】依題意可得y=2i+l,(x>0),整理得了=?+4,(x>0),再根據(jù)函數(shù)的

變換規(guī)則判斷可得；

【詳解】解：依題意可得擬合函數(shù)為>土+1,(x>0),

日n3(x+1)—3—3/\

即y=-------F1=---------------F1=------F4,(x>0n),

1+xx+1x+1

由y=3(x>l)向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=g+4,(x>0),

因?yàn)閥=上在(1,+s)上單調(diào)遞增，

X

所以擬合函數(shù)圖象是類似遞增的雙曲線；

故選：A

4.C

【分析】應(yīng)用兩角和差正弦公式計(jì)算，再結(jié)合二倍角余弦公式計(jì)算即可.

【詳解】已知sin(a-p)=sinacosA-costzsin6=——,且sintzcos/?=—,

答案第1頁，共16頁

12

則coscsin6=—,所以sin((z+/)=sinccos/+cosasin4=,,

則cos(2a+2￡)=l-2sin2(?+4)=1-=1-^=

故選：C.

5.D

【分析】利用線面平行的判定性質(zhì)、點(diǎn)到平面距離的定義推理計(jì)算即可.

【詳解】在棱長(zhǎng)為。的正方體ABCD-A與GR中，由及產(chǎn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，得平面AEP

即平面A^c。,

由48〃。。,430平面4與。＞,CDu平面4耳。）,得AB〃平面

而P為AB上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面\BXCD的距離即點(diǎn)8到平面\B}CD的距離,

由CD,平面BCC4,BGu平面BCG4，得COLBG，又與

耳CcCO=C，耳C,CDu平面ABC。，因此BQ_L平面4用8,

所以點(diǎn)尸到平面AE尸的距離為:BG=￥a,ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D

【分析】先根據(jù)分層抽樣計(jì)算出抽取100人中男生、女生的比例，然后根據(jù)總體方差的計(jì)算

公式求得正確答案.

【詳解】1000名高一學(xué)生，男生600人，則女生400人，

所以抽取的100人中，男生60人，女生40人，

總體平均數(shù)為%x5+1xlO=7,

100100

所以總體方差為喘［6+（5-7）〔+喘［6+00-7）2］=12.

答案第2頁，共16頁

故選：c

7.C

【分析】設(shè)數(shù)列相，"J公差為d,結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式分析可知直線過定點(diǎn)。(1,-2),再根

據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)CDLAB時(shí)，弦長(zhǎng)1ABi最小，此時(shí)ZACB最小，進(jìn)而運(yùn)算求解.

【詳解】

由題意可知：圓C：r+(y+3)2=8的圓心為C(0,-3),半徑，=2夜,

因?yàn)楦?，?成等差數(shù)列，所以設(shè)M==〃+

則++1=0可化為(n-d)x+幾y+〃+d=0,

即(l-x)d+(x+y+l)〃=0,

fl—x=0fx=1

令Ly+l=0'4-2'可知直線過定點(diǎn)加z,一2、)，

且伊+(-2+3)2<8,所以。(1,一2)在圓C內(nèi)部,

當(dāng)CD，A3時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)ZACB最小,

又|CD|=J(l-0卜+(-3+2)2=亞，所以14卻=2^r2-|C￡>|2=2^2=2屈,

所以c-32"產(chǎn)產(chǎn)8一(2扃」,

2r22x82

97r

又/ACBe(O,7i),所以44。2=三，

故選:C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做

到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維.使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確

的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的

答案第3頁，共16頁

相關(guān)結(jié)論求解

8.D

【分析】依題意可得對(duì)任意x?l,+8),不等式e-T尤zes-lnx恒成立,令/(x)=e，-x,

xe(O,+x),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到；IxNlnx對(duì)任意xw(l,+8)恒成立，參變分離可得

%2"土對(duì)任意xe(l,+“)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出［皿］,即可得解.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意xe(L+x),不等式(X+l)x+lnx20恒成立

即對(duì)任意xe+8),不等式e疝一〃1一In尤恒成立，

即對(duì)任意xe(l,+8),不等式e&TxZeM*-Inx恒成立，

因?yàn)橛葁(l,+oo),所以lnx>0,X2>0,所以Ax>0,

令/'(x)=e"—x,xe(0,+8),貝ijr(x)=e，—l>。,

所以/(x)在(。，+力)上單調(diào)遞增，

由f(Ax)2/(Inx)對(duì)xe(1,+8)恒成立，得到Ax>］nx對(duì)任意xe(1,+力)恒成立，

所以22—對(duì)任意xe(1,+“)恒成立，

令g(尤)=F，xe(l,+oo),則g'(x)=^^,

所以當(dāng)l<x<e時(shí)，g'(x)>0,即g(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x>e時(shí)，g<x)<。，即g(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(x)ma*=g(e)=：，

故得22工，即2的取值范圍是22L

ee

故選：D

9.BCD

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)相關(guān)系數(shù)「的性質(zhì)即可判斷；對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)回歸直線方程》=&+%

過點(diǎn)(元，刃，計(jì)算可得°,即可判斷；對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)代的性質(zhì)即可判斷；對(duì)選項(xiàng)D,兩邊

取對(duì)數(shù)，可得z=lny=lnkeh)=lnc+hr,又z=0.3x+4,求出c,左的值，即可判斷.

答案第4頁，共16頁

【詳解】對(duì)于A,相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值越大，樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,回歸直線方程'=&+%中，a=y-fe-x=3-（-2）xl=5,故B正確；

對(duì)于C,在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2越大，殘差平方和越小，回歸效果就越好，故C正確；

對(duì)于D,y=cokx,兩邊取對(duì)數(shù)，可得Iny=ln（ce"）=Inc+lne"=lnc+Ax,貝|z=lnc+Ax,

Qz=0.3x+4,，lnc=4,k=0.3,所以c=e。攵=0.3,故D正確.

故選：BCD.

10.ABD

【分析】設(shè)出直線/：x=my+2,A（xl,yl）,B（x2,y2）,根據(jù)題意求出?：-2）8（8,8）,得到

斜率判定A；運(yùn)用拋物線定義轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)度，結(jié)合基本不等式計(jì)算判定B；借助向量法計(jì)算

判定C；運(yùn)用拋物線定義轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度，結(jié)合基本不等式計(jì)算判定D.

【詳解】依題意得“2,0）,設(shè)直線/：x=my+2,A（xl,y1）,B（x2,y2）,

\x=my+2.

聯(lián)立、=8x得，一8b16=。，則X+%=8“M=T6,

AFyy=2M=-2

貝ll----二解得L8或,則

BF%%=8

3（8,-8）或（8,8）,則直線/的斜率-g,故A項(xiàng)正確.

22q,2

|AF|+4|BF|=X+4X+10&+基+10=斗+&+10218

1282￡2

當(dāng)且僅當(dāng)為=8時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確.

22

因?yàn)椤??。百二石%2+X%=+X%=—12<0,所以NAO3>90，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

64

D（-2,0）,F（2,0）,則y；=8%,%>0,由拋物線的定義可得

答案第5頁，共16頁

|A司=石+2JAZ)|=+2)+(%-0)=Jx；+4%]+4+8%=Jx；+12「+4，

??AFx+2/x?+4x+418x

t因?yàn)閠占＞。，所以而=荷+%+4=Jx；+郎+4寸飛+期+4

=—=顯

{"+12d2/?22，

當(dāng)且僅當(dāng)玉=2時(shí)取等號(hào)，止匕時(shí)|AF|=4,故D項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.BD

【分析】舉反例由數(shù)列新定義可得A錯(cuò)誤；設(shè)4="?,由二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換規(guī)則可得B正確；

當(dāng)〃=1時(shí)可得4與B矛盾可判斷C錯(cuò)誤；由數(shù)列新定義表示出2n+l和2〃可得D正確.

【詳解】對(duì)于A,如?！?1,則，7=1⑵=1,或〃=1。⑵=2或”=10。⑵=4…無最大值，故A

錯(cuò)誤；

k

對(duì)于B,設(shè)加，〃=4"+磯"一、+Z?0-2°,且￡4=機(jī)

z=0

1

則2w=4+bj?2*++Z>0-2+0-2°,a2n=bk+bk_t++b0+0=an,B正確；

對(duì)于C,當(dāng)〃=1時(shí)，由C得4=%-1,而由B,%=%,矛盾，故C錯(cuò)誤；

1

對(duì)于D,設(shè)2“+1=4?2、初/21++/?1-2+1-2°

ki1Akl1

2n=(bk-2+bk_l-^~++^-2+1?2°)-1=?2+bk_x-2~+-2+0.2°,

故%"+1=。2”+1，故D正確.

故選：BD

12.-1

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念即可求解;

-3+i(-3+i)(2_i)

【詳解】z-)=-l+i,

(2+i)(2-i)

所以z=-1—i，

所以z的虛部為-1，

故答案為：—1

答案第6頁，共16頁

13.472

【分析】利用雙曲線定義，將IMPI+IP刊轉(zhuǎn)化為尸團(tuán)+2a,結(jié)合圓的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為巴，連接尸乙，PD.

由題知，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2應(yīng)，田-n,0）,￡＞（0,2班），

由雙曲線定義知,\PF\=2a+\PFl\=2y/2+\PFl\,

則尸可可如|+|尸可-夜=|PD|-3+2夜+|尸片|=|PD|+|P耳|+0,

當(dāng)P,D,耳三點(diǎn)共線時(shí)，IMPI+I尸產(chǎn)I取得最小值，

故答案為：4點(diǎn)

14.16TI

【分析】據(jù)題意分析可知VABC為直角三角形，進(jìn)而可知點(diǎn)尸在平面45c內(nèi)的投影為VABC

的外心，則。必在PD的延長(zhǎng)線上，結(jié)合切線性質(zhì)可得球的半徑，進(jìn)而可得表面積.

【詳解】由圓的切線長(zhǎng)定理得，PB=PC=PA=2,

因?yàn)?ZBPC=1,ZCPA=p則AS=3C=2,AC=2應(yīng),

BPAB2+BC2=AC2,可知AB1AC,

所以VABC為直角三角形，其外心。為C4的中點(diǎn)，

答案第7頁，共16頁

又因?yàn)镻fi=PC=R4,可知點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的投影為VA3C的外心，

即尸￡>_L平面ABC,所以。必在PD的延長(zhǎng)線上，

且A為切點(diǎn)，則由射影定理得D4?=以>0。，

S.DA=PD=42,,即2=忘0￡),可得0￡>=0，

則OA=yjAD2+OD2=2，所以球。的表面積為4TTX22=16;t.

故答案為：16兀.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)切線性質(zhì)分析可知VABC為直角三角形，進(jìn)而可知點(diǎn)尸在平面

ABC內(nèi)的投影為VA3C的外心，進(jìn)而確定球心。的位置，即可運(yùn)算求解.

15.⑴g；

4

(2)分布列見解析，j.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法求出條件概率.

(2)求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率值，列出分布列并求出期望.

【詳解】(1)由從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到黑白相間的球的概率為J,得——=』，

5m+m+25

解得〃z=4,

盒子中帶有黑色的球有6個(gè)，其中黑白相間的球有2個(gè)，

21

所以在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率P=：=：.

63

(2)依題意，X的可能值為。,1,2,

則P(X=O)=冬=Q(X=1)=里"=2，P(X=2)=與二,

A】。3A】。15A1。15

所以X的分布列為:

16.(1)直角三角形，理由見解析

【分析】(1)由已知根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)求解即可;

答案第8頁，共16頁

(2)由(1)可得B=g,設(shè)AS=2x,在ACD中，由余弦定理可得無？=為，再由面積公

式求解即可.

【詳解】(1)VABC為直角三角形，理由如下：

因?yàn)閏cosB—bcosC—Q=0,

由正弦定理可得sinCeosB-sinBcosC-sinA=0,

又sinA=sin(5+C),

所以sinCcosB-sinBcosC-sinBcosC-cosBsinC=0,

所以2sinBcosC=0,

因?yàn)?￡(0,兀)，所以sinB>0,所以cosC=0,所以。=；,

所以VABC為直角三角形；

(2)因?yàn)橐?=弓，VA3C為以C為直角的直角三角形，所以8=弓，

12Y

設(shè)AB=2無，則AC二gx,BC=x,所以A。=彳A3=?，

33

所以在,,ACD中，由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2AD.ACcosA,

即4=[gj+(&y_2xgx氐x等,解得f=1|,

2

所以SACD=—AD-AC-sinA--x—x-j3xx—=^-x

ACD2232613

17.(1)垂直，證明見解析.

*

【分析】(1)由上4,底面得E4L3C,進(jìn)而由3CLAB得平面PLB,進(jìn)而得

BC1AE,又鉆工尸臺(tái)，可得AE_L平面P3C,進(jìn)而可證；

(2)BC=2,BF=t,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法根據(jù)面面角可得f=l,進(jìn)而

可得.

【詳解】(1)平面A￡F_L平面P2C,證明如下：

因PA_L平面ABC。，3Cu平面A3C￡>,故PA_L3C,

又3C_LAB,ABPA=A,AB,PAu平面pR,故2C_L平面

因AEu平面BIB,所以BC_LAE,

因R4=AB,E為線段尸8的中點(diǎn)，故AE_LPB,

答案第9頁，共16頁

因3cPB=B,8C,P8u平面尸BC,

故AE_L平面尸3C,又AEu平面A￡F,故平面AEF_L平面P3C.

（2）

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=2,BF=t,則fe[0,2],

則A（0,0,0）,磯1,0,1）,P（2J,0）,尸（0,0,2）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,

則AE=（1,0,1）,AF=（2,r,0）,PC=（2,2,-2）,PD=（0,2,-2）,

設(shè)平面A￡F的一個(gè)法向量為，=（%,%,zj,

AE-z=x,+z,=0/、

則《，令玉=，，則％=-2,Z]=T,則，=?,—2,一方）,

AF-i=2%+=0

s設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為j=（X2，%，Z2），

PC-j-2X+2必-2z=0./、

則9?,令%=1，貝”2=1，%=0,則/=0,1,1）,

PDJ=2y2-2z2=0

解得r=le[0,2],故

nC2

18.（l）y=3x+3

⑵左V4-21n2

（3）^<e

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；

（2）由條件轉(zhuǎn)化為了€[-1,+。）,/'（力20恒成立.再轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的最小值大于等于0,即

可求解；

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x+1_2

(3)方法一：首先將不等式整理為e'+i-x22Mx+1),再參變分離為Nk,轉(zhuǎn)化為

求函數(shù)G(x)=\^L,xe(-l,+8)的最小值；方法二：根據(jù)(2)的結(jié)果，由/'(%)的值,

討論女的取值，判斷不等式是否成立，即可求解；方法三：從命題成立的必要條件入手，再

證明命題成立的充分條件，即可求解％的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)左=0時(shí)，/(x)=ex+1-x2,則/(x)=e"i-2無，

則曲線>=/(力在點(diǎn)(TJ(-功處的切線斜率為1)=3,

又/(-1)=0，

所以曲線y=在點(diǎn)㈠"(-1))處的切線方程為y=3x+3.

(2)/f(x)=ex+1-2x-k,

由題意得，彳目-1,+力),/'(耳20恒成立.

令-x)=7'(x),則F(x)=e>i-2,且「(x)在卜1,包)單調(diào)遞增，

令F(x)=0,解得x=ln2—1>一1,

所以當(dāng)xe(-l,ln2T)時(shí)，尸故/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(ln2-l,+8)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,故尸(x)單調(diào)遞增；

所以外》篇=Wln2-1)=4一21n2-3

又廣。)20,當(dāng)且僅當(dāng)尸⑶刀日。,故左V4—21n2.

(3)解法一：因?yàn)椤?1)=左，所以題意等價(jià)于當(dāng)x>-L時(shí)，f(x)>k.

gpVxe(-l,+oo),ex+1-x2-kx>k,

整理,得eN—x22Mx+i),

因?yàn)?>-l,所以％+l>。，故題意等價(jià)于4.

X+1

產(chǎn)1-X2

設(shè)G(x)=——(-1,4-05),

G(x)的導(dǎo)函數(shù)G，⑺=(小’一2尤);二;J一/),

答案第11頁，共16頁

化簡(jiǎn)得G，(x)=肅尸(e-0x-2),

考察函數(shù)g(x)=e￡-x-l,xe(-e,+e),其導(dǎo)函數(shù)為g'(x)=e*-l,

當(dāng)x<0,g，(x)<0,g(%)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0,g'⑺>0,g(x)單調(diào)遞增；

故在x=0時(shí)，g(x)取到最小值，即g(x)2g(O)=O,

即e*2x+1,

所以尸2x+2oeH-x-2N0,

所以當(dāng)xe(—l,0),G(x)<0,G⑺單調(diào)遞減;

當(dāng)尤e(0,+8),G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞增；

所以G(x)的最小值為G(0)=e,

故左Ve.

解法二：先考察/'("=產(chǎn)-2x,由(2)分析可得/'(X)疝n=r(x0)，

情況1：當(dāng)祝(x)向々0,即左44—21n2,

此時(shí)/(x)在區(qū)間［-1,母)單調(diào)遞增，

故/。焉=/(一1)，即/(x)N符合題意；

情況2：若左>4—21n2,則/'(x)1111n=/'(%)<0,

注意到2<4-21n2<3,且/'(-1)=3-左，故對(duì)人進(jìn)一步討論.

①當(dāng)Q3時(shí)，即/'(-1)=3-％<0

且由(2)分析知：當(dāng)xe(-Uo)J'⑺單調(diào)遞減，

故當(dāng)xe(—1,毛),/'(毛)</'(一1卜0,即/(x)單調(diào)遞減，

故恒有/(X)</(-1)=3不符合題意，舍去；

②當(dāng)4—21n2<4<3時(shí)，

注意到在區(qū)間(T%)"'㈤單調(diào)遞減,且意(-1)=3-左>0,又意(為)<0,

故在區(qū)間(-1,1)存在唯一的占滿足/'6)=0；

答案第12頁，共16頁

同理在區(qū)間優(yōu),+8),r(x)單調(diào)遞增，且/'伉){0,廣⑴=/-2_修0,

故在區(qū)間(5,+“)存在唯一的馬滿足/'(w)=°;故可得

X(TxJ(%,與)%(x2,+oo)

/'(X)+0-0+

“X)極大值極小值/

所以當(dāng)x?-l,石)f(x)>/(-!),符合題意;

故題意等價(jià)于/(無2)文](-1)，即機(jī)

又因?yàn)閞(N)=O,即十+1-2%-左=0,化簡(jiǎn)，得e"=2%+上

所以,(尤2)2ko2x1+k—x^-kx2>k,整理得x?匡-(2-左)]40.

注意至Ij2<4—21n2〈左，所以2—左<0,

故解得々42-%,0],

f'(2-k)<0,^-k>4-k,

由之前分析得<即

((0)20,k<e,

考察函數(shù)g(x)=e￡-x—Lxe(-w,+8),其導(dǎo)函數(shù)為g'(x)=e￡-l,

當(dāng)x<0,g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0,g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

故在x=0時(shí)，g(x)取到最小值，即g(x)2g(0)=0,

BPex>x+l,所以e3*24-4恒成立，

[e">4-k

故一'=k&e,又注意到情況(2)討論范圍為4-21n2<Jt<3,

[ZWe,

所以4-21n2(人Ve也符合題意.

綜上①②本題所求人的取值范圍為(y,e].

方法三：先探究必要性，由題意知當(dāng)X2-1時(shí)，/(-1)是“X)的最小值,

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則必要地/（T）</（0）,即得到必要條件為k￡e；

下證ZWe的充分性，即證：當(dāng)上We時(shí)，e［-1,+?）,/（%）

證明：由（2）可知當(dāng)左V4-21n2時(shí)，f（x）在［-1,舟）單調(diào)遞增，

故了⑺的最小值為/（T）J（x）,符合題意；

故只需要證明4-21n2〈心e時(shí)，f（x）>/（-l）.

由（2）分析知—>4-21n2時(shí),

X(T,xJA(3)%(x2,+<?)

?。?0-0+

“X)極大值、極小值/

其中飛=—l+ln2e（—l,0）,%G（-1,^）,X,e（^,+oo）.

注意至ljr（0）=e-%20,據(jù)此可得馬更精確的范圍是（不，。］；

所以等價(jià)于證明/（々”/（T）=鼠

又因?yàn)?'（々）=0，即-左=0,可得小包=2尤2+%，

只需證明于（x、）Nk<=>2x?+左一巷一kx12k,

等價(jià)于證明Wg-（2-左）］VO,

注意到々€（%,。］，即一l+ln2</<。，

故若①當(dāng)％=0，此時(shí)左=e,9［9-（2-左）］<。顯然成立；