北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

北京市廣渠門中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期試卷

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

時(shí)間：120分鐘滿分：150分2025.3

一.選擇題（共48分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.(ln2)f=1B.Wj=3e

C.(優(yōu))'=.4D.(cosx)=-siru

2.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是S=LJ4#+16產(chǎn)（/表示時(shí)間，S表示位移），則瞬時(shí)速度為。的時(shí)刻是

4

A.0秒、2秒或4秒B.0秒、2秒或16秒

C2秒、8秒或16秒D.0秒、4秒或8秒

3.己知函數(shù)/(%)=/+工，則lim、(1+&)-川)=()

xAxfo2Ax

A.1B.1C.2D.4

4.右(2x—I?=<7g+a/++%彳3,則a、—()

A.6B.-6C.12D.-12

5.某社區(qū)計(jì)劃在端午節(jié)前夕按如下規(guī)則設(shè)計(jì)香囊:在基礎(chǔ)配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味

中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（）

A13種B.14種C.15種D.16種

6.設(shè)awO,若。為函數(shù)〃x)=a(x—a)1了—"的極大值點(diǎn)，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

7.現(xiàn)要從6名學(xué)生中選4名代表班級(jí)參加學(xué)校4x100m接力賽，其中已確定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙

2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合適選擇方法種數(shù)為（）

A.56B.60C.84D.120

8.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

y=f'^)

八-2-101x

A.-3是/（力的一個(gè)零點(diǎn)B.-1和-2都是“力的極大值點(diǎn)

C./（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（—3,+8）D./（尤）的單調(diào)遞減區(qū)間是（—2,—1）

171n2In4

9.已知。=隸，人=三方，。=丁，其中e=2.71828?為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，貝。（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

10.已知aeH,則“aW2”是“/（x）=lnx+d—㈤；在（o,y）內(nèi)單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.已知aeH,設(shè)函數(shù)=F-2ax+2a^%，L若關(guān)于x的不等式/（九）..0在R上恒成立，貝心

x-a]nx,x>l,

的取值范圍為

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D,\l,e]

12.在同一平面直角坐標(biāo)系xQy內(nèi)，函數(shù)/（九）及其導(dǎo)函數(shù)/'（X）的圖象如圖所示.已知這兩個(gè)函數(shù)圖象恰

有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0,1）,則（）

B.函數(shù)y=立的最小值為1

ex

C.函數(shù)y=e*/（x）的最大值為1D.函數(shù)y=e"（x）的最小值為1

二.填空題（共34分）

13⑴若/(力=2%3-3f+5,則/'(x)=

(2)若/(尤)=，2%+1,則/'(%)=

(3)若/(x)=2"-3cosx,則/'(%)=.

14.(2x+J7『的展開式有7項(xiàng)，則〃=；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.

15.已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量y(單位：mm)與時(shí)間(單位：mm)的函數(shù)關(guān)系可近似表示為

y=則在f=40min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度(某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率)為mm/min.

16.兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起去公園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸

爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為.

4

17.已知點(diǎn)P在曲線y=---上，a為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是.

e+1

sinx

18.對(duì)于偶函數(shù)/(%)二——，下列結(jié)論中正確的是

x+a

①函數(shù)/(%)在x=?處的切線斜率為。；

②kC(0,+oo),使得〃%0)〉1；

③若0<%1<々<兀，則/(玉)</($)；

④若都有相</(%)成立，則機(jī)的最大值為|.

三.解答題(共68分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程)

19.己知函數(shù)/(x)=—43+3/+9%+”，neR

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(可在區(qū)間［-2,2］上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

20.已知無(wú)=1是/(%)=2%+烏+111%的一個(gè)極值點(diǎn).

X

(1)求。的值；

3

(2)設(shè)g(x)=/6)--，試問(wèn)過(guò)點(diǎn)(2,5)可作多少條直線與曲線y=g(x)相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.

X2

21.已知橢圓C：彳+y=l(〃〉b>0)的離心率為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)廠的直線/與橢圓交于

ab2

A,B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)直線/與x軸不垂直時(shí)，在x軸上是否存在一點(diǎn)P(異于點(diǎn)尸)，使x軸上任意點(diǎn)到直線Q4,PB

的距離均相等？若存在，求尸點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)/(x)=l—彳，aeR

e

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"(功處的切線平行于直線V=x,求該切線方程；

(2)若a=l,求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；

(3)若〃龍)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

23.給定正奇數(shù)"("25),數(shù)列｛4｝：%,%,?一可是1,2,…，”的一個(gè)排列，定義

￡(%,%，，%)=|%-1|+|4-2|++|%-〃|為數(shù)列｛。"｝：a^a,,-,an的位差和.

(1)當(dāng)〃=5時(shí)，求數(shù)列｛a“｝：1,3,4,2,5的位差和；

(2)若位差和￡(%,。2，-，。“)=4,求滿足條件的數(shù)列｛4｝：%,。2，的個(gè)數(shù)；

(3)若位差和后(1,出，，。“)=2P，求滿足條件的數(shù)列｛4｝：。1，%，，4的個(gè)數(shù).

北京市廣渠門中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期試卷

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

時(shí)間：120分鐘滿分：150分2025.3

一.選擇題(共48分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng))

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

3

A.(ln2)，=gB.(ey=3e

C.(優(yōu))=x-ax~xD.(cosx)'=-sinx

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算可得.

【詳解】對(duì)于A：(In2)=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：卜3)'=0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：(優(yōu))故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：(cosx)=-sinx,故D正確；

故選：D.

2.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是3=工〃-4/+16產(chǎn)a表示時(shí)間，S表示位移)，則瞬時(shí)速度為。的時(shí)刻是

4

A.0秒、2秒或4秒B.0秒、2秒或16秒

C.2秒、8秒或16秒D.0秒、4秒或8秒

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)為瞬時(shí)速度，令其為0得瞬時(shí)速度為0米每秒的時(shí)刻.

【詳解】因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)方程為5=工/—4戶+16/，則可知S'=r—12〃+32/，

4

令S'=戶_12產(chǎn)+32。=0得t=0或t=4或t=8,

故選：D

3.已知函數(shù)/(x)=/+L,則lim+()

x—02Ax

A.1B-IC.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由題意，根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則可得/⑴=1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】由題意知，f\x)=2x--,貝=L

X

/(1+Ax)-/(1)1,?/(1+Ax)-/(1)

所以lim-iiin---------------------------------

2Ax2-5)Ax

故選：B

4.右(2x—1)3=6Zg+qX+Cl[X~+火爐,則d]—C)

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】D

【解析】

【分析】由題意的為(2x-l)3展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，寫出(2x-l)3展開式的通項(xiàng)公式

r3r3r

Tr+I^(-l)x2-C；x-，令3—廠=2,從而可得答案.

【詳解】由題意內(nèi)為(2x-l)3展開式中含/項(xiàng)的系數(shù).

3rrr3r3r

(2x-疔展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+l=C；(2x)~x(-l)=(-l)x2-C；x-

令3—r=2,得〃=1,

所以w=(_l)'x23Tc；=^x3=-12

故選：D

5.某社區(qū)計(jì)劃在端午節(jié)前夕按如下規(guī)則設(shè)計(jì)香囊：在基礎(chǔ)配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味

中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有()

A.13種B.14種C.15種D.16種

【答案】C

【解析】

【分析】分四種情況，利用分類計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.

【詳解】從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選一種，有C；=4種，

從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選二種，有C；=6種,

從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選三種，有C；=4種，

從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥全選，有C；=l種，

所以從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一種，共有4+6+4+1=15種，

故選：C.

6.設(shè)awO,若。為函數(shù)=—(x—匕)的極大值點(diǎn)，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D-ab>a2

【答案】D

【解析】

【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)a進(jìn)行分

類討論，畫出/(r)圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】若a=b,則/(x)=a(x—。丫為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故awb.

.?./(力有。和6兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在x=。左右附近是不變號(hào)，在x=b左右附近是變號(hào)的.依題意，a為

函數(shù)/(i\的極大值點(diǎn)，二在x=a左右附近都是小于零的.

當(dāng)a<0時(shí)，由尤>b,/(x)W。，畫出/(X)的圖象如下圖所示：

由圖可知a<0,故而>/.

當(dāng)a>0時(shí)，由x>Z?時(shí)，/(%)>0,畫出/(%)的圖象如下圖所示:

由圖可知Z?>a,a>0,故a/?〉

綜上所述，a匕＞/成立.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.

7.現(xiàn)要從6名學(xué)生中選4名代表班級(jí)參加學(xué)校4x100m接力賽，其中已確定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙

2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合適的選擇方法種數(shù)為()

A.56B.60C.84D.120

【答案】B

【解析】

【分析】特殊位置優(yōu)先排，甲很特殊，所以分當(dāng)甲排第1棒時(shí)和當(dāng)甲排第4棒時(shí)兩類進(jìn)行討論求解可得.

【詳解】由題設(shè)六人中確定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2,3棒，丁不能跑第1棒

當(dāng)甲排第1棒時(shí)，乙、丙均不參與則有A；=6種，乙、丙至少有一人參與則有

A；A；+2A；A；=6+24=30種；

當(dāng)甲排第4棒時(shí)，乙、丙均不參與則有A；A；=4種，乙、丙至少有一人參與則有

A；A；+2A；A；A；=4+16=2C^.

故合適的選擇方法種數(shù)為6+30+4+20=60種.

故選：B.

8.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，貝U()

A.—3是/(力的一個(gè)零點(diǎn)B.-1和-2都是/(尤)的極大值點(diǎn)

C./(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(—3,+“)D.“X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(―2,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(尤)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】當(dāng)］<-3時(shí)，/，(%)<0,函數(shù)“力的單調(diào)遞減區(qū)間為(》,-3),

當(dāng)x>—3時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時(shí)，等號(hào)成立，

所以，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—3,+8),則—3是函數(shù)/(尤)的極小值點(diǎn)，

函數(shù)/(%)無(wú)極大值點(diǎn)，無(wú)法判斷-3是函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)B錯(cuò)C對(duì)D錯(cuò).

故選：C.

171n2In4

9.已知〃=束，匕=江，。二丁，其中e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，貝1J()

Ab<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】首先將”,仇?；山y(tǒng)一形式，構(gòu)造函數(shù)/(犬)=皿(％>0),研究單調(diào)性進(jìn)而比較大小即可.

X

‘、斗耳"、上日而*/01InVe,In2lnV2In42In2In2

【詳解】由題意得。=—==—^,b=—i==^^,c=—=-----=—；

2VeVe2V2V2442

設(shè)/(x)=叱，則/(x)=^^,

XX

當(dāng)0<x<e時(shí)，/，(%)>0,所以/(x)單調(diào)遞增，又0<0(血<2<e，

所以/(JI)</(&)</(2),即電唱<生在<2，所以匕<a<c.

V2Je2

故選：A.

10.己知aeH,貝VaW2”是“/(x)=lnx+f—依在((),+<?)內(nèi)單調(diào)遞增”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)=lnx+%2—雙在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增求出實(shí)數(shù)。的取值范圍，再利用集合的包含

關(guān)系判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?(x)=InX+f—依在(o,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

則/'(X)=』+2x—a?0對(duì)任意的%>0恒成立，即aW2x+：,

當(dāng)x>0時(shí)，由基本不等式可得2x+工22<〃口=2加,當(dāng)且僅當(dāng)x=Y2時(shí)，等號(hào)成立，

xVx2

所以，a<2s/2.

因?yàn)閧a|a<2}卜,三20},因此，“aW2”是“Wnx+f一必在電+⑹內(nèi)單調(diào)遞增”的

充分不必要條件.

故選：A.

x2—lax+2a,x,1,

11.已知〃￡尺，設(shè)函數(shù)/(%)=(若關(guān)于X的不等式/(元)?.0在R上恒成立，則〃

x-a]nx,x>l,

的取值范圍為

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D,[l,e]

【答案】C

【解析】

【分析】

先判斷a20時(shí)，％2_2公+2420在(一8,1]上恒成立；若x—alnx?0在(1,+<>。)上恒成立，轉(zhuǎn)化為

X

a<——在(1,口)上恒成立.

Inx

【詳解】V/(0)>0,即

(1)當(dāng)0WQ<1時(shí)，/(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2>2a-a2=a(2-a)>0,

當(dāng)〃>1時(shí)，/(1)=1>0,

故當(dāng)0時(shí)，X2—2ax+2a>0在(y0」]上恒成立；

Y

若x—alnxNO在(L+⑹上恒成立，即。<-—在(L+8)上恒成立，

Inx

x“、lnx-1

令g(%)=■,則8(%)二~,

Inx(Inx)

當(dāng)x>e,函數(shù)單增，當(dāng)0<xve,函數(shù)單減,

)

故g(x),"i"=g(e)=e，所以aWe.當(dāng)aNO時(shí)，為2一2公+2420在(7/］上恒成立;

綜上可知，。的取值范圍是［0,e］,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析.

12.在同一平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，函數(shù)〃尤)及其導(dǎo)函數(shù)/'(%)的圖象如圖所示.已知這兩個(gè)函數(shù)圖象恰

有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,1),則()

B.函數(shù)y=的最小值為1

ex

C.函數(shù)y=e"(x)的最大值為1D.函數(shù)y=e"(x)的最小值為1

【答案】A

【解析】

【分析】先由圖求出了'(尤)-/(九)的正負(fù)情況，接著研究函數(shù)y=/學(xué)的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)情況即可得解判斷

AB,研究函數(shù)丁=6"(可的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)情況即可得解判斷CD.

【詳解】由圖可知/'(力恒成立，且不存在導(dǎo)數(shù)連續(xù)為0情況，

所以函數(shù)/(九)單調(diào)遞增，

所以實(shí)線表示函數(shù)/(%)圖象的，虛線表示導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象，

所以xe(—oo,0)時(shí)/'(%)-/(%)>0,/'(%)-/(%)<0,

對(duì)于AB'函數(shù)y=竽的導(dǎo)函數(shù)為"“(”門⑴一生一,

則xc(f,0)時(shí)y'>0,xe(0,+oo)時(shí)y'<0,

所以函數(shù)丁=/學(xué)在(—,0)上單調(diào)遞增，在(0,+")上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)丁=/區(qū)有最大值為/目=1,故A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于CD,函數(shù)y=e"(x)的導(dǎo)函數(shù)為y'=e"(x)+e"'(x)>0恒成立，

所以函數(shù)y=e、/(x)在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)丁=0"(可無(wú)最值，故CD錯(cuò)誤；

故選：A

二.填空題(共34分)

13.⑴若〃x)=2x3—3k+5,則；

(2)若〃x)=j2x+l,則/(￡)=；

(3)若/(%)=2*-3cosx,則/'(X)=.

【答案】①.6x2-6x②?(2x+l，5③.2Tln2+3sinv

【解析】

【分析】應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算律結(jié)合基本初等函數(shù)計(jì)算(1)及(3)；應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算(2).

【詳解】(1)若/(x)=2X3—3f+5,則/'(x)=6寸—6%；

(2)若/(x)=j2x+l,則/'(%)=5(2x+l)/x2=(2x+l)一萬(wàn)；

(3)若/(x)=2'-3cosx,則/'(x)=2%ln2+3sinx.

故答案為：6x2-6x:(2X+1)5；2xln2+3sinx.

14.倒1+?)〃的展開式有7項(xiàng)，則”；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.

9

【答案】①.6②.160?

【解析】

【分析】由二項(xiàng)展開式的性質(zhì)求解.

【詳解】因?yàn)?2x+?)”的展開式有7項(xiàng)，所以〃=6；

則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)，

32

所以7；=亡(2x)16)=160/,

9

故答案為：6,160小

15.已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量〉（單位：mm）與時(shí)間（單位：mm）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為

y=則在t=40min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為mm/min.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】將函數(shù)y=而關(guān)于f求導(dǎo)，再將/=40代入上式的導(dǎo)函數(shù)，即可求解.

【詳解】解：因?yàn)閥=/（/）=VibF

故在t=40min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為』mm/min.

4

故答案為：—

4

16.兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起去公園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸

爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為.

【答案】24

【解析】

【分析】先將兩位爸爸排在兩端，然后將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽排在中間三個(gè)位置，進(jìn)而得到答案.

【詳解】第一步：將兩位爸爸排在兩端有2種排法；第二步：將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中

間的三個(gè)位置上有2A；種排法，故總的排法有2x2x制=24=24（種）.

故答案為：24.

4

17.已知點(diǎn)尸在曲線丁=二一上，a為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是.

e+1

3兀

【答案】—<?<71

4

【解析】

【分析】求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式可得y'e[-1,0）,即可根據(jù)tana€[-1,0）求解.

,-4ex-4,______

【詳解】由于丫=（丁+1>=e'+e—+2'ex+ex>2-Jex-ex=2>

el+e_-T+2>4>>,./e[-1,0),即tanae[-1,0),

37r

,**0<。<兀，*,?—V。<兀，

4

3兀

故答案為：V67<兀

4

18.對(duì)于偶函數(shù)y(x)=里吧，下列結(jié)論中正確的是

x+a

①函數(shù)f(x)在X=g處的切線斜率為。；

②3x0G(0,d^o),使得/(x0)>1；

③若0<為<%2〈兀，貝!1/&)</(%2)；

④若\/x]o，S，都有相</(x)成立，則機(jī)的最大值為:

【答案】①④

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性得出a的值，再求導(dǎo)即可判斷①；構(gòu)造或久)=sin%-久,x>0,研究其最值即可判斷②;

構(gòu)造//(%)=xcosx-sin%,%?0,兀),判斷在(0,兀)上的單調(diào)性即可判斷③④.

sinx

【詳解】因丁=$指]為奇函數(shù)，f(x)=-——為偶函數(shù)，則y=%+a為奇函數(shù)，

x+a

，口八人3、遼r(\sinxr,/、xcosx-sinx

得1=0,經(jīng)檢驗(yàn)成立，故/(%)=----，/(%)=-------2--------------，

XX

(4

得尸Hr=F,故①正確；

127971

令g(x)=sin%-x,x>0,則g'(x)=cosx-l<0,則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則g(x)vg(°)=。，即sin%v%,%>。，即包U<l,jr>0,故②錯(cuò)誤；

令/2(x)=xcosx-sinx,xe(0,7i),貝!|/z,(x)=-xsinx<0,

則人(左)在(0,兀)上單調(diào)遞減,則九(%)<力(。)=0,/f(x)<0,

即/(x)在(0,兀)上單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；

因/(%)在10看]上單調(diào)遞減，則/⑺>/￡)=3

因都有相</(%)成立，則機(jī)<2,故④正確.

故答案為：①④

三.解答題(共68分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程)

19.己知函數(shù)/'(x)=—+3%2+%：+〃，neR.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

【答案】⑴/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(―1,3)；單調(diào)遞減區(qū)間為(…，―1),(3,+8).

(2)-7

【解析】

【分析】⑴由已知得/'(x)=—3f+6x+9,由此即能求出〃龍)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由/'(%)=—3f+6x+9=0,得x=—1或1=3(舍)，由此結(jié)合函數(shù)〃尤)的單調(diào)性可知當(dāng)尤=2時(shí),

/(%)取到最大值，從而求得〃的值，即可求得在區(qū)間［-2,2］上的最小值.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?'(x)=—d+3x2+9x+n,

所以/f(%)=-3x2+6x+9,

由廣(x)>0,得-l<x<3,

所以〃龍)的單調(diào)遞增區(qū)間為(T3)；

由得x<-l或x>3,

所以〃龍)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,—1),(3,+8).

【小問(wèn)2詳解】

由/1X)=-3d+6x+9=0,得％=-1或%=3(舍)，

由⑴可知，/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間(—1,2］上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=—1時(shí)，/(九)取到最小值，

由因?yàn)?(—2)=8+3*4+9*(一2)+〃=2+〃，

/(2)=—8+3*4+9*2+〃=22+〃,

所以當(dāng)x=2時(shí)，”力取到最大值，

所以22+〃=20,所以〃=—2,

所以/(-1)=1+3-9-2=-7,

所以"％)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為-7.

20.已知％=1是/(x)=2x+@+lnx一個(gè)極值點(diǎn).

(1)求。的值；

3

(2)設(shè)g(x)=/(%)--,試問(wèn)過(guò)點(diǎn)(2,5)可作多少條直線與曲線y=g(x)相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)。=3；

(2)2條，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)由題意可得出了'。)=0,求出。值，再結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義驗(yàn)證即可；

(2)設(shè)切點(diǎn)為+利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點(diǎn)(2,5)的坐標(biāo)代入切線方程，可得出

2?

ln?+--2=0,令/zQ)=ln/+7—2,其中.〉0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)〃(/)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定

理可得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?'(x)=2x+@+lnx,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+動(dòng)，則/(%)=2—■L

由題意可得了'(1)=3—a=0,解得a=3,

則/'(耳=2+,_之=2犬+2工3=(2%+3!(*1),

XXXX

因?yàn)閤>0時(shí)，由/'(x)=0可得x=l,列表如下：

X(0,1)1(1,+8)

/’(%)—0+

“X)減極小值增

所以，函數(shù)/（X）在％=1處取得極小值，合乎題意，故a=3.

【小問(wèn)2詳解】

33

由(1)得/(x)=2x+lnx+—,則g(x)=/(x)--=2x+lnx,其中無(wú)>0,

設(shè)切點(diǎn)為02+lnr),則g'(x)=2+L切線斜率為g'⑺=2+L

Xt

所以，曲線了=8（%）在％=.處的切線方程為y—2%—ln[=[2+；）（x—",

將點(diǎn)(2,5)的坐標(biāo)代入切線方程可得5—2%—ln%=(2+；[(2—[)=3—2%+一,

整理可得ln/H-----2=0,

t

919t—2

令/z?)=lnt+7—2,其中f>0,且/z(l)=0,則/")=；—3=y

由"(。=0可得/=2,列表如下：

t（0,2）2(2,-H?)

—0+

如）減極小值增

所以，函數(shù)丸⑺的減區(qū)間為（0,2）,增區(qū)間為（2,+8）,極小值為五（2）=ln2—1<0,

且九（1）=0,則函數(shù)人（。在區(qū)間（0,2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=l,

因?yàn)?z（e2）=W>0,且函數(shù)力⑺在（2,+8）上單調(diào)遞增，/?（2）./?（e2）<0,

由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的使得/i（/o）=O，

所以，函數(shù)丸（。在區(qū)間（2,內(nèi)）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),

所以，函數(shù)人（。有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，過(guò)點(diǎn)（2,5）可作兩條直線與曲線y=g（x）相切.

X2

21.已知橢圓C：j+y=1（。〉6〉0）的離心率為:，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)產(chǎn)的直線/與橢圓交于

a

A,B兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線/與*軸不垂直時(shí)，在x軸上是否存在一點(diǎn)尸（異于點(diǎn)口），使x軸上任意點(diǎn)到直線PB

的距離均相等？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】(1)—+^=1

43

（2）存在，P（4,0）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率以及長(zhǎng)軸長(zhǎng)求出a,/,即可求得答案；

（2）假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)P,使x軸上任意點(diǎn)到直線巴4，尸3的距離均相等，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方

程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合假設(shè)得益A+即8=0,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)，即可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

22

由題意知橢圓C：J匕=l（a〉6〉0）的離心率為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,

Yb2

「1

設(shè)橢圓焦距為2c,故一=—,。=2,二。=1,廿=1一。2=3,

a2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為c：三+匕=1；

43

【小問(wèn)2詳解】

由題意可得下（1,0）,假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)p（異于點(diǎn)尸），使x軸上任意點(diǎn)到直線依的距離均相

由題意可設(shè)直線/：y=左(％-1),設(shè)人(%,%),3(%,%)，尸(私。)("2/1),

y=^（x-1）

聯(lián)立/2,整理得(4左2+3)尤2—8左2^+4左2—12=0,

—+—=1

[43

由于直線/過(guò)橢圓焦點(diǎn)，必有A>0,

8k24k2-12

則%+9=

4左2+31-4左2+3

由x軸上任意點(diǎn)到直線PB的距離均相等，可知直線Q4,PB關(guān)于x軸對(duì)稱,

即原A+即B=」^+^^=0,即：（——1）+:（々—1）=0,

xx-mx2-mXy—mx2—m

（x_1）（x_n

當(dāng)上W0時(shí)，-----1-----=0,即（石-1）（42-加）+（%—加）（％2—1）=0，

\-YYlx2-m

整理得2%x,—（機(jī)+1）（%+/）+2機(jī)=0,即2（-T2）—8H（〃2+1）+2m=Q>

一4左2+34k~+3

解得機(jī)=4,即此時(shí)在x軸上存在一點(diǎn)P(4,0),使x軸上任意點(diǎn)到直線pg的距離均相等;

當(dāng)kW0時(shí)，此時(shí)/即為無(wú)軸，A,8為橢圓長(zhǎng)軸上的兩端點(diǎn)，此時(shí)尸(4,0)也滿足題意，

綜合知尤軸存在一點(diǎn)P(異于點(diǎn)尸)，使x軸上任意點(diǎn)到直線B4,總的距離均相等，且P(4,0).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓位置關(guān)系中的探究性問(wèn)題，解答的關(guān)鍵

在于第二問(wèn)探究形問(wèn)題，解答時(shí)要假設(shè)存在，進(jìn)而明確問(wèn)題的含義，即為直線B4,PB關(guān)于x軸對(duì)稱，即

kPA+kPB=O,由此結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)求值，即可解決問(wèn)題.

22.已知函數(shù)〃x)=l—4，aeR

⑴若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"(功處切線平行于直線丁=%，求該切線方程；

(2)若a=l,求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；

⑶若“X)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

【答案】(1)%一9+1=0；

2

(2)證明見解析；(3)a=—e.

4

【解析】

【分析】(1)求出了'(X),根據(jù)/'(1)=1求出。，再求出/。)，從而可求切線方程.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)1mli，根據(jù)/(xL>0可得不等式成立.

(3)就aW0和a>0分類討論，后者可根據(jù)極小值/(2)的符號(hào)來(lái)討論.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(力=以(：一2),所以尸⑴=一：=i,故。=一e.

所以==

所求切線方程為y—2=x—1,即x—y+l=0.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=l-^-r(x)=M”「).

ee

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，當(dāng)xe(2,+co)時(shí)，/f(x)>0.

所以在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+“)上單調(diào)遞增.

所以〃龍)的最小值為/⑵=1-4>0.

e

故x>0時(shí)，/(%)>0.

【小問(wèn)3詳解】

對(duì)于函數(shù)〃x)=l—呼，aeR.

e

(i)當(dāng)aWO時(shí)，"x)>0,/(%)沒有零點(diǎn)；

/、?ci，/、ax(x-2]

(ii)當(dāng)〃>0時(shí)，f(x)=—二——--

e

當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，/'(X)>0,所以“力在區(qū)間(—8,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x?0,2)時(shí),r(x)<0,所以/(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x?2,+”)時(shí)，/'(x)>0,所以/(%)在區(qū)間(2,+“)上單調(diào)遞增.

所以"0)=1是/(%)的極大值，"2)=1—當(dāng)是"力的極小值.

e

/、a—廣i

因?yàn)閊|=11率）=]3—=l-e^＜0'

JI11

'7a）e京晨訪

所以/（九）在（-8,0）上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

由于"2）=1-營(yíng)，

2

①若〃2）＞0,即"?，"X）在區(qū)間（0,+“）上沒有零點(diǎn)；

2

②若"2）=0,即。=,，"X）在區(qū)間（0,+“）上只有一個(gè)零點(diǎn);

2

③若〃2）＜0,即a〉,，由于"0）=1,所以“力在區(qū)間（0,2）上有一個(gè)零點(diǎn).

由（2）知，當(dāng)尤＞0時(shí)，所以/（4a）=l—噌=1—黑〉1—?jiǎng)C=1一，＞0.

etgJyaja

故在區(qū)間（2,4a）上有一個(gè)零點(diǎn).

2

因此a〉.時(shí)，/（%）在區(qū)間（0,+“）上有兩個(gè)零點(diǎn).

2

綜上，當(dāng)/（九）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=^.

23.給定正奇數(shù)”（"25）,數(shù)列｛a“｝：是1,2,.的一個(gè)排列，定義

￡（49，，?！埃?|%-1|+|出一2|++|4-"為數(shù)列｛a,J：?1，?.,,??的位差和.

（1）當(dāng)〃=5時(shí)，求數(shù)列｛2J：1,3,4,2,5的位差和；

（2）若位差和E?,%，-，?！ǎ?4,求滿足條件的數(shù)列｛4