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文檔簡介
專題01.雙中點(diǎn)(線段)模型與雙角平分線(角)模型
線段與角度是初中幾何的入門知識(shí),雖然難度不高,但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出
發(fā),先由線段(角度)和差確定解題方向,然后輔以線段中點(diǎn)(角平分線)來解決。但是,對(duì)于有公共部
分的線段雙中點(diǎn)模型和雙角平分線模型,可以寫出的線段(角度)和差種類較多,這就增加了思考的難度。
模型1.線段的雙中點(diǎn)模型
圖1圖2
1)雙中點(diǎn)模型(兩線段無公共部分)
1
條件:如圖1,已知A、B、C三點(diǎn)共線,D、E分別為AB、BC中點(diǎn),結(jié)論:DEAC.
2
2)雙中點(diǎn)模型(兩線段有公共部分)
1
條件:如圖2,已知A、B、C三點(diǎn)共線,D、E分別為AB、BC中點(diǎn),結(jié)論:DEAC.
2
例1.(2023·廣東七年級(jí)期中)如圖,D是AB的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),若AD6,BC8,則下列說法
中錯(cuò).誤.的是()
A.AC20B.DC16C.DE10D.BE4
例2.(2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)??计谀┤鐖D,線段AD16,長度為2的線段BC在線段AD上運(yùn)動(dòng),
分別取線段AC、BD的中點(diǎn)M、N,則MN.
例3.(2022秋·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),現(xiàn)給出下列等式:
1
①CDACDB,②CDAB,③CDADBC,④BD2ADAB.其中正確的等式序號(hào)
4
是.
例4.(2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末)線段AB1,C1是AB的中點(diǎn),C2是C1B的中點(diǎn),C3是C2B的中
點(diǎn),C4是C3B的中點(diǎn),依此類推……,線段的AC2023長為.
例5.(2022秋·山東青島·七年級(jí)校考期末)直線l上有三點(diǎn)A、B、C,其中AB8cm,BC=6cm,M、N
分別是AB、BC的中點(diǎn)則MN的長是cm.
例6.(2023·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)C在線段AB上,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是BC的中點(diǎn).
(1)若AB20cm,求MN的長;(2)若AC8cm,BC4cm,求MN的長;(3)若ABbcm,求MN的長.
例7.(2022秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)C在線段AB上,AC14cm,CB8cm,點(diǎn)M、N分
別是AC、BC的中點(diǎn).
(1)求線段MN的長;(2)若點(diǎn)C在線段AB的延長線上,且滿足ACBCkcm,其它條件不變,你能猜想MN
的長度嗎?請(qǐng)畫出圖形,寫出你的結(jié)論,并說明理由.
AC
例8.(2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末)材料閱讀:當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上,且n時(shí),我們稱n為點(diǎn)C
AB
AC111
在線段AB上的點(diǎn)值,記作kCABn.如點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí),則,記作k;反過來,當(dāng)k
AB2CAB2CAB2
AC1AC
時(shí),則有.因此,我們可以這樣理解:kCABn與n具有相同的含義.
AB2AB
初步感知:
2AC
(1)如圖1,點(diǎn)C在線段AB上,若k,則__________;若AC3BC,則kCAB____________;
CAB3AB
(2)如圖2,已知線段AB20cm,點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),相向而行,運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s,
當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí),點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,請(qǐng)用含有的式子表示k和,并判斷
PBPQtPABkQAB
它們的數(shù)量關(guān)系.
拓展運(yùn)用:(3)已知線段AB20cm,點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),相向而行,若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速
度分別為2cm/s和4cm/s,點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速返回,點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),
3
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.則當(dāng)t為何值時(shí),等式kk成立.
PABQAB5
例9.(2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末)如圖1,已知點(diǎn)C在線段AB上,線段AC=10厘米,BC=6厘米,點(diǎn)
M,N分別是AC,BC的中點(diǎn).(1)求線段MN的長度.(2)根據(jù)第(1)題的計(jì)算過程和結(jié)果,設(shè)AC=a,
BC=b,其他條件不變,求MN的長度.(3)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB
向右運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為B,點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為A,當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一個(gè)點(diǎn)也隨
之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中,有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的
中點(diǎn)時(shí),直接寫出時(shí)間t.
模型2.雙角平分線模型
圖1圖2圖3
1)雙角平分線模型(兩個(gè)角無公共部分)
1
條件:如圖1,已知:OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC;結(jié)論:DOEAOC.
2
2)雙角平分線模型(兩個(gè)角有公共部分)
1
條件:如圖1,已知:OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC;結(jié)論:DOEAOC.
2
3)拓展模型:雙角平分線模型(三個(gè)角圍成一個(gè)周角)
條件:如圖3,已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC;
1
結(jié)論:POP180AOB.
122
例1.(2022秋·陜西西安·七年級(jí)校考期末)如圖,OC是AOB內(nèi)部的一條射線,OD、OE分別是AOB、
AOC的角平分線.若DOC20,AOE25,則BOD的度數(shù)為()
A.70B.100C.80D.75
例2.(2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知射線OC在AOB內(nèi)部,OD平分AOC,OE平分
1
BOC,OF平分AOB,以下四個(gè)結(jié)論:①DOEAOB;②2DOFAOFCOF;
2
1
③AODBOC;④EOFCOFBOF.其中正確的結(jié)論有(填序號(hào)).
2
、
例3.(2023·河南·七年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖,AOB,OA1OB1分別是AOM和MOB的平分線,
、、
OA2OB2分別是A1OM和MOB1的平分線,OA3OB3分別是A2OM和MOB2的平分線,…,OAn,OBn
分別是An1OM和MOBn1的平分線,則AnOBn的度數(shù)是.
例4.(2022秋·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末)圖,∠AOC=∠BOD=90°,OB在∠AOC的內(nèi)部,OC在∠BOD
的內(nèi)部,OE是∠AOB的一條三等分線.請(qǐng)從A,B兩題中任選一題作答.
A.當(dāng)∠BOC=30°時(shí),∠EOD的度數(shù)為.
B.當(dāng)∠BOC=α°時(shí),∠EOD的度數(shù)為(用含α的代數(shù)式表示).
例5.(2023·江蘇無錫·七年級(jí)校考期末)解答題:(1)如圖,若AOB120°,AOC40,OD、OE分
別平分AOB、AOC,求DOE的度數(shù);(2)若AOB,AOC是平面內(nèi)兩個(gè)角,AOBm°,AOCn°
n<m180°,OD、OE分別平分AOB、AOC,求DOE的度數(shù).(用含m、n的代數(shù)式表示)
例6.(2022秋·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與探究:如圖1,在AOB的內(nèi)部畫射線OC,射線OC把
AOB分成兩個(gè)角,分別為AOC和BOC,若這兩個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍,則稱射線OC
為AOB的“3等分線”.
(1)若AOB90,射線OC為AOB的“3等分線”,則AOC的度數(shù)為__________.
(2)如圖2,已知AOB60,過點(diǎn)O在AOB外部作射線OP.若OA,OP,OB三條射線中,一條射線恰好
是以另外兩條射線為角的“3等分線”,求AOP的度數(shù)(AOP180).
例9.(2022·四川·成都市七年級(jí)期末)如圖所示:點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn),∠CPD是直角,PE平分∠BPC.
(1)如圖1,若∠APC=40°,求∠DPE的度數(shù);
(2)如圖1,若∠APC=,直接寫出∠DPE的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示);
(3)保持題目條件不變,將圖1中的∠CPD按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置,探究∠APC和∠DPE
的度數(shù)之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并說明理由.
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1.(2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)在直線上任取一點(diǎn)A,截取AB6cm,再截取AC14cm,則AB
的中點(diǎn)D與AC的中點(diǎn)E之間的距離為()
A.4cmB.8cmC.4cm或10cmD.3cm或8cm
2.(2023秋·海南·七年級(jí)統(tǒng)考期末)已知線段AB10cm,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn),BC4cm,若M是AC
的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),則線段MN的長度是()
A.5cmB.7cmC.3cm或7cmD.5cm或7cm
3.(2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,C、D是線段AB上兩點(diǎn),M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn),
下列結(jié)論:①若ADBM,則AB3BD;②若ACBD,則AMBN;③ACBD2MCDN;
④2MNABCN.
其中正確的結(jié)論是()
A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④
4.(2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)??计谀┤鐖D,點(diǎn)M在線段AN的延長線上,且線段MN10,第一次操作:
分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1;第二次操作:分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2,N2;第三次操作:
分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3,N3;…連續(xù)這樣操作2023次,則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之
和M1N1M2N2M2023N2023()
5555
A.10B.10C.10D.10
22022220232202222023
5.(2023秋·廣西·七年級(jí)專題練習(xí))如圖,在數(shù)軸上,O是原點(diǎn),點(diǎn)A表示的數(shù)是4,線段BC(點(diǎn)B在點(diǎn)
C的左側(cè))在直線OA上運(yùn)動(dòng),且BC2.下列說法正確的是()
甲:當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí),AC3;
乙:當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),若P是線段BC延長線上的點(diǎn),則POPA2PB;
丙:在線段BC運(yùn)動(dòng)過程中,若M,N為線段OB,AC的中點(diǎn),則線段MN的長度不變
A.甲、乙B.只有乙C.只有丙D.乙、丙
6.(2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知AOB130,以點(diǎn)O為頂點(diǎn)作直角COB,以點(diǎn)O
為端點(diǎn)作一條射線OD.通過折疊的方法,使OD與OC重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)B處,OE所在的直線為折痕,
若COE15,則AOB().
A.30B.25C.20D.15
7.(2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末)在AOB的內(nèi)部作射線OC,射線OC把AOB分成兩個(gè)角,分
11
別為AOC和BOC,若AOCAOB或BOCAOB,則稱射線OC為AOB的三等分線.若
33
AOB60,射線OC為AOB的三等分線,則AOC的度數(shù)為()
A.20B.40C.20或40D.20或30
8.(2023秋·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,OC是AOB內(nèi)的一條射線,OD平分BOC,OE平分
AOC,DOE2940,則AOB的度數(shù)為().
A.58B.5920C.60D.5840
9.(2023吉林七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)如圖,射線OC、OD把平角∠AOB三等分,OE平分∠AOC,
OF平分∠BOD,下列說法正確的是()
A.圖中只有兩個(gè)120°的角B.圖中只有∠DOE是直角
C.圖中∠AOC的補(bǔ)角有3個(gè)D.圖中∠AOE的余角有2個(gè)
10.(2023秋·重慶開州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)一副三角板ABC、DBE,如圖1放置,(D30、BAC45),
將三角板DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖2所示,且0CBE90,有下列四個(gè)結(jié)論:
①在圖1的情況下,在DBC內(nèi)作DBFEBF,則BA平分DBF;
②在旋轉(zhuǎn)過程中,若BM平分DBA,BN平分EBC,MBN的角度恒為定值;
③在旋轉(zhuǎn)過程中,兩塊三角板的邊所在直線夾角成90的次數(shù)為3次;
④DBCABE的角度恒為105.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
11.(2022秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖:數(shù)軸上點(diǎn)A、B、D表示的數(shù)分別是9,1,1,且點(diǎn)C為
線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)E在數(shù)軸上,點(diǎn)F為線段DE的中點(diǎn).P、Q為數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從
點(diǎn)B向左運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長度,點(diǎn)Q從點(diǎn)D向左運(yùn)動(dòng),速度為每秒3個(gè)單位長度,P、Q同時(shí)
運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
7
有下列結(jié)論:①若點(diǎn)E表示的數(shù)是3,則CF7;②若DE3,則BF;③當(dāng)t2時(shí),PQ2;④當(dāng)
2
2
t時(shí),點(diǎn)P是線段DQ的中點(diǎn);其中正確的有.(填序號(hào))
5
12.(2023秋·安徽六安·七年級(jí)校考期末)如圖,已知OB、OC是AOD內(nèi)部的兩條射線,OM平分AOB,
ON平分COD,①若BOC40,MON80,則AOD的度數(shù)為度;②若AODx,
MON80,則BOC的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示).
13.(2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)??茧A段練習(xí))已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上,點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn),
D、E分別為線段AB、BC中點(diǎn),直線l上所有線段的長度之和為91,則AC.
14.(2023秋·福建福州·七年級(jí)??计谀┮阎€段AB和線段CD在同一直線上,線段AB(A在左,B在
右)的長為a,長度小于AB的線段CD(D在左,C在右)在直線AB上移動(dòng),M為AC的中點(diǎn),N為BD的
中點(diǎn),線段MN的長為b,則線段CD的長為(用a,b的式子表示).
15.(2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)C,D在線段AB上,P,Q分別是AD,BC的中點(diǎn),若
PC
AB3CD,則.
QD
2
16.(2023秋·福建福州·七年級(jí)校考期末)已知有理數(shù)a,b滿足:a2b2b0.如圖,在數(shù)軸上,
點(diǎn)O是原點(diǎn),點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a,線段BC在直線OA上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),BCb.
下列結(jié)論:①a4,b2;②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí),AC3;
③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn),則POPA2PB;
④在線段BC運(yùn)動(dòng)過程中,若M為線段OB的中點(diǎn),N為線段AC的中點(diǎn),則線段MN的長度不變.
所有結(jié)論正確的序號(hào)是.
2
17.(2023秋·福建福州·七年級(jí)??计谀┮阎欣頂?shù)a,b滿足:a2b2b0.如圖,在數(shù)軸上,
點(diǎn)O是原點(diǎn),點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a,線段BC在直線OA上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),BCb.
下列結(jié)論:①a4,b2;②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí),AC3;
③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn),則POPA2PB;
④在線段BC運(yùn)動(dòng)過程中,若M為線段OB的中點(diǎn),N為線段AC的中點(diǎn),則線段MN的長度不變.
所有結(jié)論正確的序號(hào)是.
18.(2023秋·湖南邵陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在直線AB上,線段AB20,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒2
個(gè)單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng),M為AP的中點(diǎn),N為BP的中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)MP7時(shí),NP;(2)若點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)MP2NP時(shí),
求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB、MP、NP有怎樣的數(shù)量
關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并說明你的理由.
19.(2023秋·福建泉州·七年級(jí)??计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】
AC
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上,ACnAB時(shí),我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”,記作dn.
AB
1AC1
例如,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí),即ACAB,則d;
2AB2
AC11
反之,當(dāng)d時(shí),則有ACAB.
AB22
AC
因此,我們可以這樣理解:“dn”與“ACnAB”具有相同的含義.
AB
(1)【理解與應(yīng)用】
ACAC2BC
如圖,點(diǎn)C在線段AB上.若AC3,AB4,則d________;若d,則________.
ABABmAB
(2)【拓展與延伸】已知線段AB10cm,點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).同時(shí),點(diǎn)Q以3cm/s
的速度從點(diǎn)B出發(fā),先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回.當(dāng)P,Q其中一點(diǎn)先到
達(dá)終點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s).
APAQ
①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí),dmd的值是個(gè)定值,求m的值;
ABAB
AQAP3
②t為何值時(shí),dd.
ABAB5
20.(2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末)小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣:
如圖1,點(diǎn)C在線段AB上,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn).若AB6,AC2,求MN的長.
(1)根據(jù)題意,小明求得MN______.(2)小明在求解(1)的過程中,發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個(gè)特殊性質(zhì),
于是他先將題中的條件一般化,并開始深入探究.
設(shè)AB=a,C是線段AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),小明提出了如下三個(gè)問題,請(qǐng)你幫助小明解答.
①如圖1,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則MN______.
11
②如圖2,M,N分別是AC,BC的三等分點(diǎn),即AMAC,BNBC,求MN的長.
33
11
③若M,N分別是AC,BC的nn2等分點(diǎn),即AMAC,BNBC,則MN______.
nn
21.(2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)??茧A段練習(xí))已知:射線OD在AOB內(nèi)部,OE平分AOD.
1
(1)如圖1,求證:AOBEOBDOE;(2)如圖2,作OF平分AOB,求證:EOFDOB;
2
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)AOD90時(shí),作射線OA的反向延長線OC,OH在OA的下方,且
AOHAOE,反向延長射線OE得到射線OQ,射線OP在HOQ內(nèi)部,OG是EOP的平分線,若
BOCDOF26,5GOH2POQEOF71,求BOP的度數(shù).
22.(2023秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)(1)如圖1,已知AOB內(nèi)部有三條射線,ON平分BOC,OM
平分AOC,若AOB60,求AOMBON的度數(shù);
13
(2)若將(1)中的條件“ON平分BOC,OM平分AOC”改為“NOBCOB,COMOCA”,
44
且AOB,求AOMBON的度數(shù);
(3)如圖2,若ON、OC在AOB的外部時(shí),ON平分BOC,OM平分AOC,當(dāng)AOB,BOC
時(shí),猜想:MON與的大小有關(guān)系嗎?如果沒有,指出結(jié)論并說明理由.
23.(2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校聯(lián)考期末)已知AOBCOD90,OE平分AOC,OF平分BOD.
(1)如圖1,當(dāng)OB,OC重合時(shí),求EOF的度數(shù);(2)如圖2,當(dāng)OC在ABC內(nèi)部時(shí),若BOC20,求
EOF的度數(shù);(3)當(dāng)AOB和COD的位置如圖3時(shí),求EOF的度數(shù).
24.(2023·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與探究
【背景知識(shí)】如圖甲,已知線段AB20cm,CD4cm
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