中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題01 雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型（原卷版）

專題01.雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型

線段與角度是初中幾何的入門知識(shí)，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出

發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)（角平分線）來解決。但是，對(duì)于有公共部

分的線段雙中點(diǎn)模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。

模型1.線段的雙中點(diǎn)模型

圖1圖2

1）雙中點(diǎn)模型（兩線段無公共部分）

1

條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：DEAC.

2

2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）

1

條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：DEAC.

2

例1．（2023·廣東七年級(jí)期中）如圖，D是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，若AD6，BC8，則下列說法

中錯(cuò)．誤．的是（）

A．AC20B．DC16C．DE10D．BE4

例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段AD16，長度為2的線段BC在線段AD上運(yùn)動(dòng)，

分別取線段AC、BD的中點(diǎn)M、N，則MN．

例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，現(xiàn)給出下列等式：

1

①CDACDB，②CDAB，③CDADBC，④BD2ADAB．其中正確的等式序號(hào)

4

是．

例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段AB1，C1是AB的中點(diǎn)，C2是C1B的中點(diǎn)，C3是C2B的中

點(diǎn)，C4是C3B的中點(diǎn)，依此類推……，線段的AC2023長為．

例5．（2022秋·山東青島·七年級(jí)校考期末）直線l上有三點(diǎn)A、B、C，其中AB8cm，BC=6cm，M、N

分別是AB、BC的中點(diǎn)則MN的長是cm．

例6．（2023·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)．

(1)若AB20cm，求MN的長；(2)若AC8cm，BC4cm，求MN的長；(3)若ABbcm，求MN的長．

例7．（2022秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC14cm，CB8cm，點(diǎn)M、N分

別是AC、BC的中點(diǎn)．

(1)求線段MN的長；(2)若點(diǎn)C在線段AB的延長線上，且滿足ACBCkcm，其它條件不變，你能猜想MN

的長度嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

AC

例8．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，且n時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C

AB

AC111

在線段AB上的點(diǎn)值，記作kCABn．如點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，則，記作k；反過來，當(dāng)k

AB2CAB2CAB2

AC1AC

時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：kCABn與n具有相同的含義．

AB2AB

初步感知：

2AC

(1)如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若k，則__________；若AC3BC，則kCAB____________；

CAB3AB

(2)如圖2，已知線段AB20cm，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s，

當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，請(qǐng)用含有的式子表示k和，并判斷

PBPQtPABkQAB

它們的數(shù)量關(guān)系．

拓展運(yùn)用：(3)已知線段AB20cm，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速

度分別為2cm/s和4cm/s，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速返回，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

3

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．則當(dāng)t為何值時(shí)，等式kk成立．

PABQAB5

例9．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)

M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，

BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB

向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨

之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的

中點(diǎn)時(shí)，直接寫出時(shí)間t．

模型2.雙角平分線模型

圖1圖2圖3

1）雙角平分線模型（兩個(gè)角無公共部分）

1

條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：DOEAOC.

2

2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）

1

條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：DOEAOC.

2

3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）

條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；

1

結(jié)論：POP180AOB.

122

例1．（2022秋·陜西西安·七年級(jí)校考期末）如圖，OC是AOB內(nèi)部的一條射線，OD、OE分別是AOB、

AOC的角平分線．若DOC20，AOE25，則BOD的度數(shù)為（）

A．70B．100C．80D．75

例2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線OC在AOB內(nèi)部，OD平分AOC,OE平分

1

BOC,OF平分AOB，以下四個(gè)結(jié)論：①DOEAOB；②2DOFAOFCOF；

2

1

③AODBOC；④EOFCOFBOF．其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．

2

、

例3．（2023·河南·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AOB,OA1OB1分別是AOM和MOB的平分線，

、、

OA2OB2分別是A1OM和MOB1的平分線，OA3OB3分別是A2OM和MOB2的平分線，…，OAn,OBn

分別是An1OM和MOBn1的平分線，則AnOBn的度數(shù)是．

例4．（2022秋·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD

的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．

A．當(dāng)∠BOC＝30°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為．

B．當(dāng)∠BOC＝α°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．

例5．（2023·江蘇無錫·七年級(jí)校考期末）解答題：(1)如圖，若AOB120°，AOC40，OD、OE分

別平分AOB、AOC，求DOE的度數(shù)；(2)若AOB，AOC是平面內(nèi)兩個(gè)角，AOBm°，AOCn°

n<m180°，OD、OE分別平分AOB、AOC，求DOE的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）

例6．（2022秋·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在AOB的內(nèi)部畫射線OC，射線OC把

AOB分成兩個(gè)角，分別為AOC和BOC，若這兩個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線OC

為AOB的“3等分線”．

(1)若AOB90，射線OC為AOB的“3等分線”，則AOC的度數(shù)為__________．

(2)如圖2，已知AOB60，過點(diǎn)O在AOB外部作射線OP．若OA,OP,OB三條射線中，一條射線恰好

是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求AOP的度數(shù)（AOP180）．

例9．（2022·四川·成都市七年級(jí)期末）如圖所示：點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．

（1）如圖1，若∠APC=40°，求∠DPE的度數(shù)；

（2）如圖1，若∠APC=，直接寫出∠DPE的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；

（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠CPD按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠APC和∠DPE

的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直線上任取一點(diǎn)A，截取AB6cm，再截取AC14cm，則AB

的中點(diǎn)D與AC的中點(diǎn)E之間的距離為（）

A．4cmB．8cmC．4cm或10cmD．3cm或8cm

2．（2023秋·海南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段AB10cm，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC4cm，若M是AC

的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長度是（）

A．5cmB．7cmC．3cm或7cmD．5cm或7cm

3．（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，

下列結(jié)論：①若ADBM，則AB3BD；②若ACBD，則AMBN；③ACBD2MCDN；

④2MNABCN．

其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④

4．（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長線上，且線段MN10，第一次操作：

分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：

分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3，N3；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之

和M1N1M2N2M2023N2023（）

5555

A．10B．10C．10D．10

22022220232202222023

5．（2023秋·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段BC（點(diǎn)B在點(diǎn)

C的左側(cè)）在直線OA上運(yùn)動(dòng)，且BC2．下列說法正確的是（）

甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，AC3；

乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段BC延長線上的點(diǎn)，則POPA2PB；

丙：在線段BC運(yùn)動(dòng)過程中，若M，N為線段OB,AC的中點(diǎn)，則線段MN的長度不變

A．甲、乙B．只有乙C．只有丙D．乙、丙

6．（2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AOB130，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)作直角COB，以點(diǎn)O

為端點(diǎn)作一條射線OD．通過折疊的方法，使OD與OC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，OE所在的直線為折痕，

若COE15，則AOB（）．

A．30B．25C．20D．15

7．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在AOB的內(nèi)部作射線OC，射線OC把AOB分成兩個(gè)角，分

11

別為AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，則稱射線OC為AOB的三等分線．若

33

AOB60，射線OC為AOB的三等分線，則AOC的度數(shù)為（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

8．（2023秋·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OC是AOB內(nèi)的一條射線，OD平分BOC，OE平分

AOC，DOE2940，則AOB的度數(shù)為（）．

A．58B．5920C．60D．5840

9．（2023吉林七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，

OF平分∠BOD，下列說法正確的是（）

A．圖中只有兩個(gè)120°的角B．圖中只有∠DOE是直角

C．圖中∠AOC的補(bǔ)角有3個(gè)D．圖中∠AOE的余角有2個(gè)

10．（2023秋·重慶開州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（D30、BAC45），

將三角板DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且0CBE90，有下列四個(gè)結(jié)論：

①在圖1的情況下，在DBC內(nèi)作DBFEBF，則BA平分DBF；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，若BM平分DBA，BN平分EBC，MBN的角度恒為定值；

③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成90的次數(shù)為3次；

④DBCABE的角度恒為105．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

11．（2022秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點(diǎn)A、B、D表示的數(shù)分別是9，1，1，且點(diǎn)C為

線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)E在數(shù)軸上，點(diǎn)F為線段DE的中點(diǎn)．P、Q為數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從

點(diǎn)B向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q從點(diǎn)D向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度，P、Q同時(shí)

運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．

7

有下列結(jié)論：①若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，則CF7；②若DE3，則BF；③當(dāng)t2時(shí)，PQ2；④當(dāng)

2

2

t時(shí)，點(diǎn)P是線段DQ的中點(diǎn)；其中正確的有．（填序號(hào)）

5

12．（2023秋·安徽六安·七年級(jí)校考期末）如圖，已知OB、OC是AOD內(nèi)部的兩條射線，OM平分AOB，

ON平分COD，①若BOC40，MON80，則AOD的度數(shù)為度；②若AODx，

MON80，則BOC的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．

13．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，

D、E分別為線段AB、BC中點(diǎn)，直線l上所有線段的長度之和為91，則AC．

14．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎€段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在

右）的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動(dòng)，M為AC的中點(diǎn)，N為BD的

中點(diǎn)，線段MN的長為b，則線段CD的長為（用a，b的式子表示）．

15．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，P，Q分別是AD，BC的中點(diǎn)，若

PC

AB3CD，則．

QD

2

16．（2023秋·福建福州·七年級(jí)校考期末）已知有理數(shù)a，b滿足：a2b2b0．如圖，在數(shù)軸上，

點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段BC在直線OA上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），BCb．

下列結(jié)論：①a4,b2；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，AC3；

③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn)，則POPA2PB；

④在線段BC運(yùn)動(dòng)過程中，若M為線段OB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，則線段MN的長度不變．

所有結(jié)論正確的序號(hào)是．

2

17．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：a2b2b0．如圖，在數(shù)軸上，

點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段BC在直線OA上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），BCb．

下列結(jié)論：①a4,b2；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，AC3；

③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn)，則POPA2PB；

④在線段BC運(yùn)動(dòng)過程中，若M為線段OB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，則線段MN的長度不變．

所有結(jié)論正確的序號(hào)是．

18．（2023秋·湖南邵陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直線AB上，線段AB20，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2

個(gè)單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)MP7時(shí)，NP；(2)若點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)MP2NP時(shí)，

求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、MP、NP有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．

19．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】

AC

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，ACnAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作dn．

AB

1AC1

例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即ACAB，則d；

2AB2

AC11

反之，當(dāng)d時(shí)，則有ACAB．

AB22

AC

因此，我們可以這樣理解：“dn”與“ACnAB”具有相同的含義．

AB

(1)【理解與應(yīng)用】

ACAC2BC

如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若AC3，AB4，則d________；若d，則________．

ABABmAB

(2)【拓展與延伸】已知線段AB10cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s

的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到

達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．

APAQ

①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，dmd的值是個(gè)定值，求m的值；

ABAB

AQAP3

②t為何值時(shí)，dd．

ABAB5

20．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：

如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB6，AC2，求MN的長．

(1)根據(jù)題意，小明求得MN______．(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，

于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．

設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助小明解答．

①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN______．

11

②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，求MN的長．

33

11

③若M，N分別是AC，BC的nn2等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，則MN______．

nn

21．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：射線OD在AOB內(nèi)部，OE平分AOD．

1

(1)如圖1，求證：AOBEOBDOE；(2)如圖2，作OF平分AOB，求證：EOFDOB；

2

(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)AOD90時(shí)，作射線OA的反向延長線OC，OH在OA的下方，且

AOHAOE，反向延長射線OE得到射線OQ，射線OP在HOQ內(nèi)部，OG是EOP的平分線，若

BOCDOF26，5GOH2POQEOF71，求BOP的度數(shù)．

22．（2023秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知AOB內(nèi)部有三條射線，ON平分BOC，OM

平分AOC，若AOB60，求AOMBON的度數(shù)；

13

（2）若將（1）中的條件“ON平分BOC，OM平分AOC”改為“NOBCOB，COMOCA”，

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且AOB，求AOMBON的度數(shù)；

（3）如圖2，若ON、OC在AOB的外部時(shí)，ON平分BOC，OM平分AOC，當(dāng)AOB，BOC

時(shí)，猜想：MON與的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說明理由．

23．（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知AOBCOD90，OE平分AOC，OF平分BOD．

(1)如圖1，當(dāng)OB，OC重合時(shí)，求EOF的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)OC在ABC內(nèi)部時(shí)，若BOC20，求

EOF的度數(shù)；(3)當(dāng)AOB和COD的位置如圖3時(shí)，求EOF的度數(shù)．

24．（2023·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究

【背景知識(shí)】如圖甲，已知線段AB20cm，CD4cm