數(shù)學(xué) 2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測數(shù)學(xué)創(chuàng)新融合7　立體幾何與導(dǎo)數(shù)含答案

數(shù)學(xué)2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測數(shù)學(xué)創(chuàng)新融合7立體幾何與導(dǎo)數(shù)創(chuàng)新融合7立體幾何與導(dǎo)數(shù)1.(2024·連云港模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,DA⊥平面ABP,CB⊥平面ABP,DA=1,AB=22,PA=PB=BC=2,平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l∥AD;(2)若E為l上一點,求直線PD與平面EAB所成角的正弦值的最大值.【解析】(1)因為DA⊥平面ABP,CB⊥平面ABP,所以DA∥BC,又AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC,又AD?平面PAD,且平面PAD與平面PBC的交線為l,所以l∥AD.(2)取AB的中點O,連接PO.因為PA=PB,所以PO⊥AB,因為DA⊥平面PAB,DA?平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,PO?平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(-2,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(-2,1,0),P(0,0,2),設(shè)E(0,t,2),則=(-2,1,-2),=(22,0,0),=(2,t,2),設(shè)平面EAB的一個法向量n=(x,y,z),因為令z=2,則x=0,y=-2t,即n=(0,-2t,2設(shè)直線PD與平面EAB所成角為θ,所以sinθ==-2-2t5·2+(-2t)

2則y'=2(t+1令y'>0,則t2-t-2<0,所以-1<t<2,所以函數(shù)y在(-1,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以當t=2時,ymax=32,即(sinθ)max=15故直線PD與平面EAB所成角的正弦值的最大值為1552.(2024·襄陽二模)如圖,在幾何體ABCDE中,底面ABC為以AC為斜邊的等腰直角三角形.已知平面ABC⊥平面ACD,平面ABC⊥平面BCE,DE∥平面ABC,AD⊥DE,DM⊥AC,M為垂足,EH⊥BC,H為垂足.(1)證明:DE⊥平面ACD;(2)若AC=2CD=2,設(shè)N為棱BE的中點,求當幾何體ABCDE的體積取最大值時,AN與CD所成角的正切值.【解析】(1)連接MH,因為平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DM?平面ACD,DM⊥AC,所以DM⊥平面ABC,同理EH⊥平面ABC,所以DM∥EH,故D,E,H,M四點共面.又DE∥平面ABC,DE?平面DEHM,平面DEHM∩平面ABC=MH,所以DE∥MH,又MH?平面ABC,則DM⊥MH,所以四邊形DEHM為矩形,所以DE⊥DM,又DE⊥AD,DM∩DA=D,DM,DA?平面ACD,所以DE⊥平面ACD.(2)因為MH∥DE,DE⊥平面ACD,所以MH⊥平面ACD,所以MH,MC,MD兩兩垂直,建立如圖空間直角坐標系:設(shè)MC=MH=t(0<t<1),則Rt△CDM中,DM=1-t2=EH,S△ACD=12·AC·DM=1-所以VABCDE=VE-ACD+VE-ABC=13DE·S△ACD+13EH·S△ABC=13(1+t設(shè)f(t)=13(1+t)(1-t2),0<t<1,則令f'(t)>0?0<t<12,f'(t)<0?12<所以函數(shù)f(t)在(0,12)上單調(diào)遞增,在(12,1所以f(t)max=f(12)=34,即當t=12時,此時E(12,0,32),B(1,-12,0),C(0,12,0),D(0,0,32),A(0,-32,0),N(3所以=(34,54,34),=(0,-12,32),則=137,得sin<,>=6所以=6,故AN和CD所成角的正切值為6.3.(2024·上海模擬)設(shè)一個簡單幾何體的表面積為S,體積為V,定義系數(shù)K=S3V2,已知球體對應(yīng)的系數(shù)為K0,定義f=(1)計算正方體和正四面體的“球形比例系數(shù)”;(2)求圓柱的“球形比例系數(shù)”范圍;(3)是否存在“球形比例系數(shù)”為0.75的簡單幾何體?若存在,請描述該幾何體的基本特征;若不存在,說明理由.【解析】(1)設(shè)球的半徑為r,正方體的棱長為a,正四面體的棱長為b,則K0=(4πr2)3(正四面體的表面積為S=4×12b×32b=3b如圖,設(shè)E為正三角形BCD的中心,連接AE,BE,設(shè)正四面體的棱長為b,則BE=12×bsinπ3故AE=b2-b則其體積為13AE·S△BCD=13×63b×34b2=則正四面體的系數(shù)為K2=(3b所以,正方體的“球形比例系數(shù)”f=36π216=π正四面體的“球形比例系數(shù)”f=36π2163=(2)設(shè)圓柱底面半徑為r,高為h,則全面積為S=2πr(r+h),體積為V=πr2h,于是K=S3V2=8π(設(shè)x=hr,f(x)=(則f'(x)=x(當x∈(0,2)時,f'(x)<0;當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0;即x∈(0,2)時,f(x)單調(diào)遞減;x∈(2,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增.即x=2,h=2r時,圓柱的系數(shù)最小為K=54π,所以,圓柱的球形比例系數(shù)的值域為0,(3)考慮圓柱和半球的組合體,底面重合,半徑為r,圓柱的高為h,x=hr,于是組合體的全面積S=3πr2+2πrh,體積V=23πr3+πr2h,K=S3V2=(3πr2+2πrh)3(23πr3+πr2h)

當x≈1.95時,f(1.95)≈0.75,故存在球形比例系數(shù)為0.75的幾何體,其由圓柱和一個半球組合而成,底面半徑相同,圓柱的高約為半徑的1.95倍.4.(2024·河南模擬)球面幾何在研究球體定位等問題有重要的基礎(chǔ)作用.球面上的線是彎曲的,不存在直線,連接球面上任意兩點有無數(shù)條曲線,它們長短不一,其中這兩點在球面上的最短路徑的長度稱為兩點間的球面距離.(1)緯度是指某點與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角,赤道為0°緯線,赤道以北叫做北緯.如圖1,將地球看作球體,假設(shè)地球半徑為R,球心為O,北緯30°的緯線所形成的圓設(shè)為圓O',且A'B'是圓O'的直徑,球面被經(jīng)過球心O和點A',B'的平面截得的圓設(shè)為圓O,求圓O中劣弧A'B'的長度,并判斷其是否是A',(2)如圖2,點A,B在球心為O1的球面上,且AB不是球的直徑,試問A,B兩點間的球面距離所在的圓弧AB是否與球心O1共面?若是,寫出證明過程,并求出當O1A=4,∠AO1B=π4時,A,B兩點間球面距離所在的圓弧AB與球心O1所形成的扇形AO1B的面積;若不是,請說明理由【解析】(1)連接OA',OB',OO'.由緯度的意義,可得∠OB'O'=30°,O'B'=R·cos∠OB'O'=R·cos30°=32所以A'B'=2O'B'=3R.又OA'=OB'=R,故cos∠A'OB'=R2+R又0<∠A'OB'<π,所以∠A'OB'=2π3,故劣弧A'B圓O中的劣弧A'B'的長度是A',(2)設(shè)已知經(jīng)過A,B兩點的劣弧分別為ASB,ATB,且其圓心分別為O1,O2,將它們畫在同一平面上,取線段AB的中點C,連接CO1,CO2,如圖所示,設(shè)O1A=r1,∠AO1C=x1(弧度),O2A=r2,∠AO2C=x2(弧度),AC=a,則sinx1=ar1,sinx2=又ASB=2x1r1,ATB=2x2r2,故ASB=2a·x1sinx1,ATB設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx,x∈(0,π則f'(x)=sinx令g(x)=sinx-xcosx,則g'(x)=xsinx>0,x∈(0,π2)所以g(x)在(0,π2)則g(x)>g(0)=0,x∈(0,π2)所以f'(x)=sinx所以f(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增因為x1<x2,所以x1sinx1<x故A,B兩點間的球面距離所在的圓弧AB與球心O1共面.當O1A=4,∠AO1B=π4時,扇形AO1B的面積S=12O1A2·∠AO1B=12×42×創(chuàng)新融合8解析幾何中的新定義問題1.(2024·綿陽模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和橢圓C2:y2b2+x2t2(1)已知“貓眼曲線”Γ滿足a,b,t成等比數(shù)列,公比為22,判斷此時曲線Γ是否為“優(yōu)美貓眼曲線”.若曲線Γ經(jīng)過點G(0,-2),求出組成這個曲線Γ的兩個橢圓的標準方程(2)對于(1)中所求的“貓眼曲線”Γ,作直線l(斜率為k,且k≠0).①若直線l不經(jīng)過原點O,且與組成Γ的兩個橢圓都相交,交橢圓C1所得弦的中點為M,交橢圓C2所得弦的中點為N,如圖1所示,kOMkON是否為與②若直線l的斜率k=2,l與橢圓C2相切,交橢圓C1于A,B兩點,Q為橢圓C1上與A,B不重合的任意一點,如圖2所示,求△ABQ面積的最大值.【解析】(1)由題意知,ba=tb=22.橢圓C1的離心率e1=1橢圓C2的離心率e2=1-(tb)

2=2所以此時曲線Γ是“優(yōu)美貓眼曲線”.由曲線Γ過點G(0,-2),得b=2,所以a=2,t=1,所以兩橢圓方程分別為C1:x24+y22=1,C2:y2(2)①設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C1于點C(x1,y1),D(x2,y2),線段CD的中點為M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22,k由x124+y因為k存在且k≠0,所以x1≠x2且x0≠0,所以y1-y2x1-x2·y0x0=-12,即k·kOM=-1②設(shè)直線l的方程為y=2x+m,由y2化簡得關(guān)于x的方程4x2+22mx+m2-2=0.由Δ1=(22m)2-16(m由圖象的對稱性,m=-2與m=2時結(jié)果一樣,不妨取m=2,則y=2x+2.由x24+y22=1y=2x設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4),則x3+x4=-825,x3x4=45,AB=3x3-x設(shè)Q(2cosθ,2sinθ),由點到直線l的距離公式得點Q到直線l的距離d=22cosθ-2所以dmax=10+2所以△ABQ面積的最大值為12AB·dmax=12×125×2.曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量,曲率越大,曲線的彎曲程度越大.曲線在點M處的曲率K=y″(1+y'2)32(其中y'表示函數(shù)y=f(x)在點M處的導(dǎo)數(shù),y″表示導(dǎo)函數(shù)f'(x)在點M處的導(dǎo)數(shù)).在曲線y=f(x)上點M處的法線(過該點且垂直于該點處的切線的直線為曲線在此處的法線)指向曲線凹的一側(cè)上取一點D,使得|MD|=1K(1)求出曲線C1:y2-x2=2在點M(0,2)處的曲率,并在曲線C2:xy=1的圖象上找一個點E,使曲線C2在點E處的曲率與曲線C1在點M(0,2)處的曲率相同;(2)若要在曲線C1:y2-x2=2上支凹側(cè)放置圓C3,使其能在M(0,2)處與曲線C1相切且半徑最大,求圓C3的方程;(3)在(2)的條件下,在圓C3上任取一點P,曲線C1上任取關(guān)于原點對稱的兩點A,B,求·的最大值.【解析】(1)曲線C1:y2-x2=2在點M(0,2)附近滿足y=x2+2,進一步有y'=y″=x2+2-故其曲率K=y″(1+y'在x=0處,K=2232=22,所以曲線C1:y2-x2=2在點M(0,考慮曲線C2:xy=1上的點E(1,1),曲線在該點附近滿足y=1x,進一步有y'=-1x2,y″故其曲率K=y″(1+y'在x=1處,K=2(1+11)

32=2232=2(2)設(shè)C3的方程為x2+(y-R-2)2=R2,R>0,由條件知,由x2+(y-R-2)2=R2將其聯(lián)立,得到y(tǒng)2-2+(y-R-2)