河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。4.考試時(shí)間：120分一、單選題（每小題5分，共計(jì)40分）1．是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．已知正方形的邊長(zhǎng)為1,則=A．2 B．3 C． D．3．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，（），若，則（）A．1 B．2 C． D．5．魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約等于，和相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破．若已知的近似值還可以表示成，則的值約為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若是直線與函數(shù)圖象的從左至右相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．7．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為，則其內(nèi)切球半徑是（

）A．1 B． C． D．8．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，則該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為（

）

A．B．C．D．二、多選題（每小題6分共計(jì)18分）9．已知復(fù)數(shù)，則下列命題一定成立的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．10．已知復(fù)數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．的實(shí)部是5B．C．D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限11．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的是(

).A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若，則為等腰三角形D．若，，這樣的三角形有兩解，則的取值范圍為填空題（每小題5分，共計(jì)15分）12．已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.13．已知冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是．14．鄭州二七塔是為了紀(jì)念二七大罷工而修建，是中國(guó)建筑獨(dú)特的仿古聯(lián)體雙塔，小米同學(xué)為了測(cè)量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋斑M(jìn)米后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，再前進(jìn)米后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高米.（參考數(shù)據(jù)：，最終結(jié)果保留整數(shù)，即結(jié)果精確到）四、解答題15．（13分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式，并求其圖象的對(duì)稱軸方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．（15分）已知復(fù)數(shù)（），是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位.(1)求的值；(2)若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17．（17分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作，交AD于，連PO.(1)求證：平面；(2)在線段PA上存在一點(diǎn)，使直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為，求PM的長(zhǎng).18．（15分）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)求；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，；求：①面積的最大值；②的最大值．19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中a，b，c，d為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由a，b，c，d組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫(xiě)英文字母A，B，…．表示．

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；(3)向量稱為行向量形式，也可以寫(xiě)成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標(biāo)公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，是平面上的任意單位向量，是平面上與不垂直的向量，且與夾角為，滿足；當(dāng)在方向上的投影向量模長(zhǎng)為1時(shí)，求矩陣A數(shù)學(xué)答案1．C【分析】利用象限角的定義直接求解．【詳解】∵∴是第三象限角，故選C本題考查角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．C正方形中根據(jù)向量的加法法則，即可得解.【詳解】由題正方形的邊長(zhǎng)為1,根據(jù)向量加法法則，.故選：C此題考查向量加法的平行四邊形法則，根據(jù)加法法則求出向量之和，再求模長(zhǎng).3．A【分析】利用正弦函數(shù)的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得；反之，取滿足，而，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A4．B【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量的基本定理求解即可【詳解】解：依題意設(shè)，則，即，所以，故；故選：B．5．C【分析】將代入，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】將代入，可得.故選：C.6．D【分析】根據(jù)圖象求出，得，分類討論、，結(jié)合圖形和三角函數(shù)的對(duì)稱性求出，根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由的部分圖象知，，解得，所以，又，解得，因?yàn)?，所以，所?若，不妨設(shè)的位置如圖1所示，則，又，所以，又，所以；同理時(shí)，如圖2，，令，解得，所以點(diǎn)是圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于直線對(duì)稱，得，解得，所以.綜上，.故選：D7．D【分析】根據(jù)正四棱錐的軸截面，轉(zhuǎn)化成等腰三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直角三角形，運(yùn)用勾股定理解出內(nèi)切球半徑.【詳解】設(shè)正四棱錐內(nèi)切球球心為，其在底面的投影為，則三點(diǎn)共線，內(nèi)切球半徑為，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，則正四棱錐內(nèi)切球半徑即為的內(nèi)切圓半徑，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，所以，，因?yàn)楦邽椋?，則，所以，在中，即，解得，故選：D.8．D【分析】由題意可得再利用向量減法運(yùn)算法則以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】因?yàn)樵撟鴺?biāo)系中和，所以則，所以=即該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為：故選：D.9．AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算及性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】設(shè)，則.對(duì)于A：，若，則，所以，即，故A一定成立；對(duì)于B：，若，則①，，同理，若，則需滿足且，與①式不同，故B不一定成立；選項(xiàng)C：，，所以，故C一定成立；選項(xiàng)D：②，，與②式不同，故D不一定成立.故選：AC10．ABC【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)的實(shí)部、模、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次判斷ABCD.【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)的實(shí)部是5，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．AD【分析】利用正弦定理判斷A、D，利用余弦定理判斷B，利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式判斷C.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，故A正確；對(duì)于B，由余弦定理，可知為銳角，但是無(wú)法判斷角A和角B是否為銳角，所以無(wú)法判斷是否為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，即，又，所以，所以或，即或，即為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槿切斡袃山?，所以，即，即的取值范圍為，故D正確.故選：AD.12．且【分析】根據(jù)與的夾角為銳角，由，且與不共線解不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不共線，所以，且，解得且.故且.13．3【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求得，再由單調(diào)性確定最終結(jié)論．【詳解】由題意，解得或，時(shí)，在上遞減，時(shí)，在上遞增，所以．故3.14．63【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合和差角公式即可求解.【詳解】在中，，在中，由正弦定理得：，由于為銳角，故，在Rt中，,故6315．(1)，對(duì)稱軸方程為；(2)和【分析】（1）直接對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行三角恒等變換即可求出解析式，進(jìn)而得到其圖象的對(duì)稱軸方程；（2）先考慮的單調(diào)遞增區(qū)間，然后令屬于該區(qū)間即可解得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），由，解得；所以，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為；（2）當(dāng)時(shí)，有，要使單調(diào)遞增，則需要，或，解得，或；故函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和．16．(1)2(2)【分析】（1）運(yùn)用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的定義即可求得，進(jìn)而可求得復(fù)數(shù)模.（2）化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)幾何意義即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?，所以，又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即，所以，所以.（2）由（1）知，，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，所以，解得，故的取值范圍為.17．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求，利用向量方法求直線與平面所成的角的正弦值，列方程求.【詳解】（1）因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，在中，，，，則，，，且平面平面，平面平面平面，平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，可得，則，，，，，設(shè)，則，又平面的法向量為，直線與平面所成的角的正弦值為，解得，.18．(1)(2)①；②.【分析】（1）由余弦定理、正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式可得出，結(jié)合、的取值范圍可得出、的關(guān)系，由此可得出角的值；（2）①由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式即可求得面積的最大值；②由平面向量的線性運(yùn)算可得出，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可得出關(guān)于的不等式，由此可解得的最大值.【詳解】（1）由余弦定理可得，所以，，由得，整理可得，由正弦定理可得，即，所以，，所以，，因?yàn)?、、，所以，、、，有如下幾種情況：，即，矛盾；，即，矛盾；，可得，解得.（2）①由余弦定理、基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故面積的最大值為；②因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，則，即，所以，，所以，，又因?yàn)椋?，，由①知，可得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.19．(1)(2)，(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)以坐標(biāo)系原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，終邊過(guò)點(diǎn)的角為，由題可得，代入數(shù)據(jù)可得答案；（2）設(shè)以坐標(biāo)系原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，終邊過(guò)點(diǎn)的角為，由題可得，化簡(jiǎn)后可得答案.（3）注意到，然后分順時(shí)針，逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向結(jié)合（2）中結(jié)論可得答案.【詳解】（1）由題，設(shè)以坐標(biāo)系原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，終邊過(guò)點(diǎn)的角為，則，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則以坐標(biāo)系原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，終邊過(guò)點(diǎn)的角為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為.故點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）由題，設(shè)以坐標(biāo)系原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，終邊過(guò)點(diǎn)的角為，則，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)則以坐標(biāo)系原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，終邊過(guò)點(diǎn)的角為，則，.故坐標(biāo)變換公