七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 講義（北師大版）第03講 思想方法專題：線段與角計(jì)算中的思想方法(4類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第03講思想方法專題：線段與角計(jì)算中的思想方法(4類熱點(diǎn)題型講練)

目錄

【考點(diǎn)一分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】..................................................................................................1

【考點(diǎn)二分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】......................................................................................................3

【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】.........................................................................9

【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】...........................................................................13

【考點(diǎn)一分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】

例題：（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）畫直線a，并在直線a上截取線段AB5cm，再在直線a上截取線段

BC2cm，則線段AC的長是cm．

【答案】3或7/7或3

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，利用線段的和與差即可求

解．

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，

ACABBC5cm2cm3cm，

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，

ACABBC5cm+2cm7cm，

故答案為：3或7．

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和與差，熟練掌握其計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·湖南長沙·七年級(jí)校考期中）兩根木條，一根長16cm，另一根長22cm，將它們一端重合且放在

同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為．

【答案】19或3．

【分析】設(shè)AC16cm，AB22cm，根據(jù)題意分兩種情況：①如圖1，兩根木條如圖放置，有一端重合，

1

根據(jù)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得AE8cm，ADAB11cm，再由EDAEAD即可

2

得出答案；②如圖2，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得

1

AE8cm，ADAB11cm，再由ED=AD-AE即可得出答案．

2

【詳解】解：設(shè)AC16cm，AB22cm，根據(jù)題意，

①如圖1，

∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

1111

∴AEAC168cm，ADAB2211cm，

2222

∴EDAEAD81119cm；

②如圖2，

∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

1111

∴AEAC168cm，ADAB2211cm，

2222

∴EDADAE1183cm．

綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為19cm或3cm．

故答案為：19或3．

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離及線段的和差，中點(diǎn)的定義，本題運(yùn)用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想

方法．熟練掌握兩點(diǎn)的距離及線段和差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．

2．（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有AB、CD兩根木條，長度分別為24cm、18cm，將它們的一端

重合且放在同一條直線上，此時(shí)AB、CD兩根木條中點(diǎn)之間的距離為cm．

【答案】3或21

【分析】假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合，分兩種情況如圖：①BC不在AB上時(shí)，MNBMBN，②BC在AB

上時(shí)，MNBMBN，分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

【詳解】解：假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合

如圖，

設(shè)較長的木條為AB24cm，較短的木條為BC18cm，

∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，

∴BM12cm，BN9cm，

①如圖1，BC不在AB上時(shí)，MNBMBN12921（cm），

②如圖2，BC在AB上時(shí)，MNBMBN1293（cm），

綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)間的距離是21cm或3cm，

故答案為：3或21．

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段的中點(diǎn)定義，解題的關(guān)鍵是在于要分情況討論，作出

圖形更形象直觀．

3．（2021秋·湖北·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一根繩子對(duì)折后用線段AB表示，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后

2

的各段繩子中最長的一段為84cm，若APAB，則這條繩子的原長為cm．

5

【答案】140或210/210或140

【分析】根據(jù)繩子對(duì)折后用線段AB表示，可得繩子的長度是AB的2倍，分類討論，PB的2倍最長，可得

PB，AP的2倍最長，可得AP的長，再根據(jù)線段間的比例關(guān)系，可得答案．

【詳解】解：①當(dāng)PB的2倍最長時(shí)，得PB=42，

2

AP=AB，

5

3

\PB=AB=42，

5

AB70，

∴這條繩子的原長為2AB=140cm，

②當(dāng)AP的2倍最長時(shí)，得AP=42，

2

\AP=AB=42，

5

\AB=105，

∴這條繩子的原長為2AB=210cm．

綜上所述，這條繩子的原長為140cm或210cm．

故答案為：140或210．

【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差倍分及分類討論的思想，根據(jù)線段之間的比例關(guān)系列式為解題關(guān)鍵．

【考點(diǎn)二分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】

例題：（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知AOB80，BOC20，OP平分BOC，則AOP等于．

【答案】70或90

【分析】分兩種情況：利用角平分線的定義即可求解．

【詳解】解：當(dāng)如圖所示時(shí)：

OP平分BOC，AOB80，BOC20，

1

AOPAOBBOC70，

2

當(dāng)如圖所示時(shí)：

OP平分BOC，AOB80，BOC20，

1

AOPAOBBOC90．

2

故答案為：70或90.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義，利用分類討論解決問題是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AOB18，AOC3AOB，則BOC的度數(shù)是．

【答案】36或72

【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)OB在AOC的內(nèi)部時(shí)；②當(dāng)OB在AOC的外部時(shí)，分別求解即可得到

答案．

【詳解】解：①如圖，當(dāng)OB在AOC的內(nèi)部時(shí)，

AOB18，AOC3AOB，

AOC54，

BOCAOCAOB541836；

②如圖，當(dāng)OB在AOC的外部時(shí)，

AOB18，AOC3AOB，

AOC54，

BOCAOCAOB541872；

綜上可知，BOC的度數(shù)為36或72，

故答案為：36或72．

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的和差計(jì)算，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．

2．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)校考期中）已知AOB80，OC平分AOB，射線OM與OC所形成的

角度是10，那么AOM的度數(shù)是

【答案】30或50/50或30

【分析】分兩種情況：射線OM在OC的上方和射線OM在OC的下方，根據(jù)角平分線的定義和角的和差分

別計(jì)算即可．

【詳解】解：如圖1，

∵AOB80，OC平分AOB，

11

∴AOCBOCAOB8040，

22

∵射線OM與OC所形成的角度是10，

∴COM10，

∴AOMAOCCOM401030；

如圖2，

∵AOB80，OC平分AOB，

11

∴AOCBOCAOB8040，

22

∵射線OM與OC所形成的角度是10，

∴COM10，

∴AOMAOCCOM401050；

綜上可知AOM的度數(shù)是30或50．

故答案為：30或50．

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義和角的和差計(jì)算，分類討論是解題的關(guān)鍵．

3．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮阎渚€OC是AOB的三等分線，射線OD為AOB的平

分線，若AOC40，則COD．

【答案】20或10

12

【分析】根據(jù)三等分線的定義可得AOCAOB或AOCAOB，畫出圖形，進(jìn)行分類討論即可．

33

【詳解】解：∵射線OC是AOB的三等分線，

12

∴AOCAOB或AOCAOB，

33

1

當(dāng)AOCAOB時(shí)，如圖：

3

1

∵AOC40，AOCAOB，

3

∴AOB120，

∵射線OD為AOB的平分線，

1

∴AODAOB60，

2

∴CODAODAOC20；

2

當(dāng)AOCAOB時(shí)，如圖：

3

2

∵AOC40，AOCAOB，

3

∴AOB60，

∵射線OD為AOB的平分線，

1

∴AODAOB30，

2

∴CODAODAOC10；

故答案為：20或10．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的三等分線和角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握角的三等分線有兩條．

4．（2023秋·黑龍江大慶·六年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，長方形紙片ABCD，點(diǎn)P在邊AD上，點(diǎn)M，N在邊

CB上，連接PM，PN．將DPN對(duì)折，點(diǎn)D落在直線PN上的點(diǎn)D￠處，得折痕PE；將APM對(duì)折，點(diǎn)

A落在直線PM上的點(diǎn)A處，得折痕PF．若MPN30，則EPF．

【答案】75或105

【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時(shí)，可得DPNAPM180MPN150，由翻

11

折變換的性質(zhì)可知EPNDPN，F(xiàn)PMAPM，由EPFMPNEPNFPM可得答案；當(dāng)點(diǎn)N

22

在點(diǎn)M的上方時(shí)，設(shè)DPMx，APNy，則可以得到xy180MPN150，由翻折變換的性質(zhì)可知

1111

DPEDPNx30，APFAPMy30，根據(jù)EPF180DPEAPF即可求解．

2222

【詳解】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時(shí)．

∵M(jìn)PN30，

∴DPNAPM180MPN18030150，

11

由翻折變換的性質(zhì)可知EPNDPN，F(xiàn)PMAPM，

22

1

∴EPNFPM15075，

2

∴EPFMPNEPNFPM3075105．

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí)，設(shè)DPMx，APNy，

則xy180MPN150，

1111

由翻折變換的性質(zhì)可知DPEDPNx30，APFAPMy30，

2222

1

∴EPF180DPEAPF180xy3075．

2

綜上所述，滿足條件的EPF75或105．

故答案為：75或105．

【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，翻折的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．

【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】

例題：（2022秋·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段AB，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分

別是線段AC，BC的中點(diǎn)．

①若ACBC4，則線段MN的長度是_________；

②若ACa，BCb，求線段MN的長度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；

（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，ACa，BCb．其它條件不

變，則線段MN的長度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）

1111

【答案】（1）①4，②ab，（2）ab或ba或ab

2222

11

【分析】（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得MCAC2,NCBC2，即可求解；

22

1a1b

②MCAC,NCBC，即可求解；

2222

（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論即可：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊

時(shí)．

【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，ACBC4，

11

∴MCAC2,NCBC2，

22

∴MNMCNC224，

故答案為：4；

②∵點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，ACBC4，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNMCNCab；

2

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，

1

由（1）可得：MNMCNCab；

2

當(dāng)點(diǎn)C在A左邊時(shí)，

，

∵點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，ACa，BCb，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNNCMCba；

2

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)，

∵點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，ACa，BCb，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNMCNCab；

2

111

綜上：MNab或ba或ab．

222

111

故答案為：ab或ba或ab．

222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義，具有分

類討論的思想．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．

2

(1)若線段AC15，BCAC，則線段MN的長為

5

(2)若B為線段AC上任一點(diǎn)，滿足ACBCm，其它條件不變，求MN的長；

(3)若原題中改為點(diǎn)B在直線AC上，滿足ACa，BCb，ab，其它條件不變，求MN的長．

9

【答案】(1)

2

1

(2)m

2

1

(3)ba

2

1151

【分析】（1）先求出BC6，再由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，可得CMAC，CNBC3，

222

再由MNCMCN，即可求解；

11

（2）由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，可得CMAC，CNBC，再由MNCMCN，即可求

22

解；

（3）分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B在AC的延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B在CA的延長線上時(shí)，

即可求解．

2

【詳解】（1）解：AC15，BCAC，

5

BC6，

又點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

1151

CMAC，CNBC3，

222

159

MNCMCN3；

22

9

故答案為：；

2

（2）解：點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBCACBCm；

2222

（3）解：當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)，

點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBC(ACBC)(ab)；

2222

當(dāng)點(diǎn)B在AC的延長線上時(shí)，

點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBC(ACBC)(ab)；

2222

當(dāng)點(diǎn)B在CA的延長線上時(shí)，

點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCNCMBCACBCACba．

2222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)題意，準(zhǔn)確得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校?）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N

分別是AC，BC的中點(diǎn),若AB12，AC8，求MN的長．

（2）設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．

①如圖2，當(dāng)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，MN的長是___________；

11

②如圖3，若M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，請(qǐng)直接寫出線段MN的長．

33

12

【答案】（1）6（2）①a②a

23

【分析】（1）由AB12,AC8，得BCABAC4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，即得

11

CMAC4，CNBC2，故MNCMCN6；

22

11111

（2）①由M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，知CMAC,CNBC，即得MNACBCAB，

22222

1

故MNa；

2

1122222

②由AMAC,BNBC，知CMAC,CNBC，即得MNCMCNACBCAB,故

3333333

2

MNa；

3

【詳解】解：（1）AB12,AC8

BCABAC4

M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)

11

CMAC4,CNBC2

22

MNCMCN6

故答案為：6

（2）①M(fèi)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)

11

CMAC,CNBC

22

111

MNACBCAB

222

ABa

1

MNa

2

1

故答案為：a

2

11

②AMAC,BNBC

33

22

CMAC,CNBC

33

222

MNCMCNACBCAB

333

ABa

2

MNa

3

2

故答案為：a

3

【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．

【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】

例題：（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）已知：如圖，OC在AOB的內(nèi)部，OM平分

AOBAOB180，ON平分BOC．

(1)當(dāng)AOC90，BOC60時(shí)，MON___________；

(2)當(dāng)AOC80，BOC60時(shí)，MON___________；

(3)當(dāng)AOC80，BOC50時(shí)，MON___________；

(4)猜想：不論AOC和BOC的度數(shù)是多少，MON的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．

【答案】(1)45

(2)40

(3)40

(4)AOC

【分析】（1）（2）（3）利用角平分線的定義求得AOM和NOC的度數(shù)，再求得MOC，進(jìn)一步計(jì)算即

可求解；

（4）由（1）（2）（3）可得出結(jié)論；

【詳解】（1）解：∵AOC90，BOC60，

∴AOB9060150，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB75，

2

∴MOC907515，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC30，

2

∴MONMOCNOC153045，

故答案為：45；

（2）解：∵AOC80，BOC60，

∴AOB8060140，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB70，

2

∴MOC807010，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC30，

2

∴MONMOCNOC103040，

故答案為：40；

（3）解：∵AOC80，BOC50，

∴AOB8050130，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB65，

2

∴MOC806515，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC25，

2

∴MONMOCNOC152540，

故答案為：40；

1

（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結(jié)論MONAOC，

2

即不論AOC和BOC的度數(shù)是多少，MON的度數(shù)總等于AOC的度數(shù)的一半．

故答案為：AOC．

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義、角的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)

化求解．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·重慶開州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知O為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在

點(diǎn)O處．射線OC平分MOB．

(1)如圖1，若AOM40，求CON的度數(shù)；

(2)在圖1中，若AOM，直接寫出CON的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；

(3)將圖1中的直角三角板OMN繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)AOC3BON時(shí)，求AOM的度

數(shù)．

【答案】(1)20°

1

(2)CON

2

(3)144°

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)BOCx，依次表示出COMx，AOM1802x，BON902x，AOC180x，

最后根據(jù)AOC3BON列方程即可得到結(jié)論．

【詳解】（1）因?yàn)镺為直線AB上一點(diǎn)，且AOM40，MON90

所以BOM140°，BON50

因?yàn)樯渚€OC平分MOB

1

所以BOCBOM70

2

因?yàn)镃ONBOCBON

所以CON705020

（2）因?yàn)镺為直線AB上一點(diǎn)，且AOM，MON90

所以BOM180，BON90

因?yàn)樯渚€OC平分MOB

11

所以BOCBOM90°

22

因?yàn)镃ONBOCBON

11

所以CON90°90°

22

（3）設(shè)BOCx，則COMx，AOM1802x，BON902x

因?yàn)锳OCAOMCOM

所以AOC1802xx180x

因?yàn)锳OC3BON

所以180x3902x解得x18

因?yàn)锳OM1802x

所以AOM180218144.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，余角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問題

如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：AOB，AOC和BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是AOB的“巧分線”．

(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．

(2)如圖2，若MPN60，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ（表示出所有可能的結(jié)果探索

新知）．

(3)如圖3，若MPN，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ（用含α的代數(shù)式表示出所有可能

的結(jié)果）．

【答案】(1)是

(2)30°，20°或40°

112

(3)或或

233

【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個(gè)角的平分線將一個(gè)角均分成兩個(gè)等角，大角是這兩個(gè)角的兩倍即可解

答；

(2)根據(jù)“巧分線”定義，分MPN2MPQ1、NPQ22MPQ2、MPQ32NPQ3三種情況求解即可；

(3)根據(jù)“巧分線”定義，分MPN2MPQ1、NPQ22MPQ2、MPQ32NPQ3三種情況求解即可．

【詳解】（1）解：如圖1：∵OC平分AOB，

∴AOB2AOC2BOC,

∴根據(jù)巧分線定義可得OC是這個(gè)角的“巧分線”．

故答案為：是．

11

（2）解：如圖3：①當(dāng)MPN2MPQ時(shí)，則MPQMPN6030；

1122

②當(dāng)NPQ22MPQ2，則MPNMPQ2NPQ23MPQ260，解得：MPQ220；

3

③當(dāng)MPQ2NPQ，則MPNMPQNPQMPQ60，解得：MPQ40．

3333233

綜上，MPQ可以為30，20，40．

11

（3）解：如圖3：①當(dāng)MPN2MPQ時(shí)，則MPQMPN；

11222

1

②當(dāng)NPQ2MPQ，則MPNMPQNPQ3MPQ，解得：MPQ；

2222223

32

③當(dāng)MPQ2NPQ，則MPNMPQNPQMPQ，解得：MPQ．

33332333

12

綜上，MPQ可以為，，．

233

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的計(jì)算、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解

題的關(guān)鍵．

3．（2023秋·河南安陽·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知AOB150，三角形COD是一個(gè)直角三角形，

COD90,OM平分BOC．

(1)如圖1，當(dāng)AOC50時(shí)，DOM__________；

(2)如圖