福建省泉州市2025屆高三下學期質(zhì)量檢測（三）數(shù)學試卷

福建省泉州市2025屆高三下學期質(zhì)量檢測（三）數(shù)學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025屆·福建泉州·三模]()A. B.C. D.1．答案：A解析：滿足的正整數(shù)只有1，2，3，所以.故選：A2．[2025屆·福建泉州·三模]已知向量，滿足，且，則與的夾角為()A. B. C. D.2．答案：C解析：由，得，而，則，，而，所以與的夾角.故選：C3．[2025屆·福建泉州·三模]已知復數(shù)滿足，則()A. B. C. D.3．答案：D解析：因為，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，則，所以，.故選：D4．[2025屆·福建泉州·三模]已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側面積等于球的表面積，則該圓柱的母線長等于()A.1 B.2 C.3 D.44．答案：B解析：設圓柱的母線長為x，則，解得.故選：B.5．[2025屆·福建泉州·三模]已知的展開式中的系數(shù)為0，則a的值為()A. B. C.640 D.12805．答案：A解析：依題意，展開式中項為，其系數(shù)為，展開式中項，其系數(shù)為a，由展開式中的系數(shù)為0，得，所以.故選：A6．[2025屆·福建泉州·三模]已知拋物線的準線為l，點P在C上，以P為圓心的圓與l和x軸都相切，則該圓被y軸截得的弦長等于()A.1 B. C.2 D.6．答案：D解析：拋物線的準線方程為，不妨取點P在第一象限，設以P為圓心的圓的半徑為r，因為以P為圓心的圓與l和x軸都相切，所以，將P代入拋物線方程得，解得，則P到y(tǒng)軸的距離為1，該圓被y軸截得的弦長為.故選：D.7．[2025屆·福建泉州·三模]已知函數(shù)，若，，則a的值可以是()A. B. C.3 D.57．答案：B解析：由題意得，，整理得，因為，則，.故選：B.8．[2025屆·福建泉州·三模]如圖，已知是圓錐的軸截面，C，D分別為，的中點，過點C且與直線垂直的平面截圓錐，截口曲線是拋物線的一部分.若P在上，則的最大值為()A. B.1 C. D.8．答案：C解析：過點O作，交底面圓于E，F(xiàn)兩點，連接，，，設，則，所以當最大時，最大，由圓錐的性質(zhì)得底面，因為底面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，因為C，O分別是，的中點，所以，則，因為，平面，所以平面，則平面為截面，因為D，O為，中點，所以，所以平面，因為平面，所以，所以，則當最大時，最大，如圖為截面的平面圖，以C為原點，為x軸，過點C垂直向上的方向為y軸正方向建系，，，，則拋物線方程為，設，，則，所以，則此時，.故選：C.二、多項選擇題9．[2025屆·福建泉州·三模]有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，現(xiàn)加入兩個正整數(shù)x，y構成新樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說法正確的是()A.若平均數(shù)不變，則 B.若極差不變，則C.若，則中位數(shù)不變 D.若，則方差不變9．答案：AC解析：若平均數(shù)不變，則，解得，故A正確；當時，極差不變，但，故B錯；若，則x，y為1，5或2，4或3，3，每一種情況對應的中位數(shù)都是3，故C正確；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，新數(shù)據(jù)的方差為，當且僅當時等號成立，所以方差有可能改變，故D錯.故選：AC.10．[2025屆·福建泉州·三模]已知函數(shù)，則()A.的最小正周期為 B.曲線關于直線對稱C.在區(qū)間上有4個零點 D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減10．答案：AD解析：A選項，的最小正周期為，的最小正周期為，兩者的最小公倍數(shù)為，故的最小正周期為，A正確；B選項，，故曲線不關于直線對稱，B錯誤；C選項，，令得，故或，因為，所以的解為，，，，，的解為，，，綜上，在區(qū)間上有5個零點，C錯誤；D選項，當時，，，即，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，D正確故選：AD11．[2025屆·福建泉州·三模]已知數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是()A.若是等差數(shù)列，則 B.若不是遞增數(shù)列，則C.若，則 D.若的最小值為3，則11．答案：ABD解析：若為等差數(shù)列，則，所以，解得，，故A正確；，則，，當時，，所以，因為不是遞增數(shù)列，所以或，則，故B正確；若，則，整理得，又，所以，故C錯；因為的最小值為3，所以恒成立，即，當時，成立，當時，，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題12．[2025屆·福建泉州·三模]等比數(shù)列中，，，則的前4項和等于________.12．答案：5解析：設等比數(shù)列的公比為q，由，，得，解得，因此，所以的前4項和等于5.故答案為：513．[2025屆·福建泉州·三模]如圖，假定兩點P，Q以相同的初速度運動.點Q沿射線做勻速運動，；點P沿線段（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離.令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，則數(shù)學家納皮爾定義x為y的對數(shù)中，x與y的對應關系就是，其中e為自然對數(shù)的底.若點P從線段的中點運動到靠近B的四等分點，點Q同時從運動到，則________.13．答案：/0.5解析：令，則，整理得，即，令，則，整理得，即，所以.故答案為：.14．[2025屆·福建泉州·三模]設O為坐標原點，A為橢圓的上頂點，點B在E上，線段交x軸于點M.若，且，則E的離心率等于________.14．答案：解析：因為，所以直線的斜率為1或，不妨取，則如圖，設，過B作軸于點N，由，，，可得，即，故，代入橢圓方程可得：，即，解得，所以.故答案為：四、解答題15．[2025屆·福建泉州·三模]四邊形中，，，，.(1)求；(2)若，求四邊形的面積.15．答案：(1)(2)解析：（1）解法一：在中，，，，由，即，整理得，得或（舍），又，由，即解得.解法二：在，由，得，故，（2）方法一：因為，所以，在中，由余弦定理，得，故，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，由可得，，故四邊形的面積為.方法二：因為，所以，由（1）可得，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，邊上的高為，故四邊形的面積為.16．[2025屆·福建泉州·三模]如圖，四棱臺中，底面是邊長為4的菱形，，，.(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若該四棱臺的體積等于，且，求直線到平面的距離.16．答案：(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)解析：（1）連結，，交于點I，連結，則I為，的中點，由四棱臺，得平面平面，又平面平面，平面面，所以，因為，所以，因為I為，的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）取的中點J，連結，由四棱臺得，，，，所以四邊形為平行四邊形，，則，，所以，所以，由（1），知，又，所以，因為，所以，又平面，，所以平面.（3）解法一：菱形的面積，由四棱臺且，可得，四棱臺的體積，從而，解得，因為，，，所以，故，從而，所以，所以，取的中點K，則，，兩兩垂直，如圖，以D為坐標原點，分別，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面即平面的法向量，則即整理，得令，得，從而點C到平面的距離，所以直線到平面的距離為.解法二：延長，，交于點S，取的中點M，連結交于點N，連結，，則，的中點均為N，，因為平面，所以，因為，所以，，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，過點M作于K，且平面平面，平面，所以平面，故為點M到平面的距離即為直線到平面的距離，因為，所以點M到的距離等于點D到的距離，又中，，，，設點D到的距離為d，則，所以，解得，所以直線到平面的距離為.17．[2025屆·福建泉州·三模]設函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求k的取值范圍；(3)當時，，求k的取值范圍.17．答案：(1)；(2)；(3)解析：（1）當時，，則，則曲線在點處的切線斜率為，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2），由題意得，，恒成立.令，則，且在單調(diào)遞增，令，解得，所以當時，，故單調(diào)遞減；當時，，故單調(diào)遞增；所以，又，當且僅當，故.（3）解法一：因為，所以題意等價于當時，.即，，整理，得，因為，所以，故題意等價于.設，的導函數(shù)，化簡得，考察函數(shù)，其導函數(shù)為，當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增；故在時，取到最小值，即，即，所以，所以當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增；所以的最小值為，故.解法二：先考察，由（2）分析可得，情況1：當，即，此時在區(qū)間單調(diào)遞增，故，即，符合題意；情況2：若，則，注意到，且，故對k進一步討論.①當時，即且由（2）分析知：當，單調(diào)遞減，故當，，即單調(diào)遞減，故恒有，不符合題意，舍去；②當時，注意到在區(qū)間，單調(diào)遞減，且，又，故在區(qū)間存在唯一的滿足；同理在區(qū)間，單調(diào)遞增，且，，故在區(qū)間存在唯一的滿足；故可得x+0-0+↗極大值↘極小值↗所以當，符合題意；故題意等價于，即.又因為，即，化簡，得所以，整理得.注意到，所以，故解得，由之前分析得即考察函數(shù)，其導函數(shù)為，當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增；故在時，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情況（2）討論范圍為，所以也符合題意.綜上①②本題所求k的取值范圍為.方法三：先探究必要性，由題意知當時，是的最小值，則必要地，即得到必要條件為；下證的充分性，即證：當時，，.證明：由（2）可知當時，在單調(diào)遞增，故的最小值為，，符合題意；故只需要證明時，.由（2）分析知時，x+0-0+↗極大值↘極小值↗其中，，.注意到，據(jù)此可得更精確的范圍是；所以等價于證明，又因為，即，可得，只需證明，等價于證明，注意到，即，故若①當，此時，顯然成立；若②當，只要證明，此時，且所以，故得證.綜上必要性，充分性的分析，本題所求k的取值范圍為.18．[2025屆·福建泉州·三模]已知雙曲線，點M在C上，過M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A和B，記線段的中點N的軌跡為.(1)求的方程；(2)過M的直線l與C有且只有一個公共點，且與交于P，Q兩點.證明：（?。唬áⅲ?18．答案：(1)；(2)①證明見解析；②證明見解析解析：（1）設，，則，，.又線段的中點為N，所以即①將①代入，得.所以的方程為.（2）①當l的斜率不存在時，直線為x軸，顯然；同時由雙曲線的對稱性，也易得.②（?。┊攍的斜率存在時，設l的方程為，則.由消去y，可得，所以，化簡，得.將代入，得，，又，，所以，，解得.又，所以，故.（ⅱ）設，.由消去y，可得，當時，由韋達定理，得，即.所以點M為的中點，即.綜合①②，；.19．[2025屆·福建泉州·三模]編號為的n個球依次被等可能地涂成黑色或白色，設編號為奇數(shù)的黑色球的個數(shù)為X，編號為偶數(shù)的白色球的個數(shù)為Y，記事件“”為，.(1)求，，；(2)當時，求；(3)當時，設，證明：.19．答案：(1)，，；(2)；(3)證明見解析解析：（1）記事件“編號為i的球被涂黑色”為，則，且，相互獨立，所以，同理，可得，所以事件，所