【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題•強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】 專題08 立體幾何 真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）解析版

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題08立體幾何真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，設(shè)P為單位立方體的棱上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【分析】如圖，將和翻折到同一平面后可求的最小值.【詳解】如圖，將和翻折到同一平面．可得所求最小值為．故選：A.2．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）平面與長(zhǎng)方體的六個(gè)面所成的角分別為，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】解法1．取平面與長(zhǎng)方體的一個(gè)面平行或重合，則在中有兩個(gè)為0，四個(gè)為，所以4.故選：C.解法2．建立如圖的空間坐標(biāo)系，取的法向量為，長(zhǎng)方體相鄰三個(gè)面的法向量為，，，∴，∴=6．故選：C.二、填空題3．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知是所在平面外一點(diǎn)，則平面，，．則點(diǎn)到平面的距離的最大值是______．【答案】【詳解】如圖，作于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，作于點(diǎn)．因?yàn)槠矫?，，所以，平面平面平面．由，得平面．于是，即為點(diǎn)到平面的距離．因?yàn)?，所以，．又．在中，．故所求的最大值為．故答案?．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均相等，.則異面直線與所成的角為_______.【答案】.【詳解】在平面中，將平移至，則即為所求的角設(shè)三棱柱底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為1.在中，，=于是，.故答案為5．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2.則三棱錐S-ABC外接球表面積為__________．【答案】【詳解】如圖，設(shè)三棱錐S-ABC外接球球心為O，半徑為R由SA=SB=SC=AB=2，知S在平面ABC內(nèi)的投影為的外心，即AB的中點(diǎn)H.由OA=OB=OC，知O在平面ABC內(nèi)的投影也為AB的中點(diǎn)H.于是，S、O、H三點(diǎn)共線.又由OA=OB=OS，知O為的外心.因此，.故所求為.6．（2020·江蘇·高三競(jìng)賽）在長(zhǎng)方體中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．若異面直線與所成的角為，距離為，則__________．【答案】1616【詳解】因?yàn)椋剩^(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，故．因?yàn)?，，所以，則，從而可得．故答案為：1616.7．（2021·浙江·高二競(jìng)賽）在中，，，，分別在線段和上，，，直線于.現(xiàn)將三角形沿著對(duì)折，當(dāng)平面與平面的二面角為時(shí)，則線段的長(zhǎng)度為______.【答案】【分析】先根據(jù)二面角的定義，得到△BCD為等邊三角形，得到BC的長(zhǎng)度，然后在折后的立體圖形中，在△PAQ和△BAC中利用余弦定理即可求得線段的長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)檎郫B前后，AD與DB,CD的垂直關(guān)系保持不變，∴∠BDC為二面角B—AD—C的平面角，依題意可知，在折疊前的圖形中，，∴，∴在折疊后，△ABC為等邊三角形，∴，所以，又∵AP=1,，AD=1，AB=AC=2，∴，解得.故答案為：.8．（2022·浙江·高二競(jìng)賽）在正四棱錐中，M在棱上且滿足.過(guò)作截面將此四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為，，則的最大值為______.【答案】【詳解】設(shè)過(guò)AM的平面交SB,SD于G,P，將平面MGAP延伸，交BC,CD于E，F(xiàn)，則A，E，F(xiàn)共線.設(shè)，，又，而，由于，，，.故答案為：.9．（2022·廣西·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是自然數(shù)，且所有棱長(zhǎng)之和等于它的體積，則稱此長(zhǎng)方體為“完美長(zhǎng)方體”，“完美長(zhǎng)方體”的體積的最大值為______．【答案】【詳解】設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為、、，且，則，，，．由得，故從而．因此，，，，，，所求最大值為．故答案為：120.10．（2022·福建·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）如圖，P為長(zhǎng)方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，平面平面，若，則二面角P-AB-C的正切值為___________.【答案】2【詳解】如圖，設(shè)?O分別為長(zhǎng)方體上?下底面矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又，所以O(shè)?P?三點(diǎn)共線，設(shè)Q為與的交點(diǎn)，則Q為的中點(diǎn)，P為QB的中點(diǎn)，因此，作于H，于R，則平面ABCD，，∠PRH為二面角P-AB-C的平面角，由，，可得，，所以，二面角P-AB-C的正切值為2.故答案為：2.11．（2022·新疆·高二競(jìng)賽）已知二面角的平面角為，A，D為直線l上的兩點(diǎn)，射線在平面內(nèi)，射線在平面內(nèi)，已知，則等于___________．【答案】【詳解】在平面中，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，交射線于點(diǎn)B，交射線于點(diǎn)C，設(shè)，則，則是二面角的平面角；在中，利用余弦定理得，同理在中，，所以.故答案為：.12．（2022·江蘇南京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在棱長(zhǎng)為6的正四面體ABCD中，M為面BCD上一點(diǎn)，且，設(shè)異面直線AM與BC所成的角為，則的最大值為___________.【答案】【詳解】過(guò)A作底面BCD的垂線AH，H為垂足，則，由，可知AM是以AH為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐的母線，且M所在的底面圓周半徑，由最小角定理知，AM與BC所成角的最小值為AM與面BCD所成線面角，即當(dāng)最小時(shí)，.故答案為：.13．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）、分別是正四面體的棱、的中點(diǎn)，則平面和平面所成二面角的余弦值是______.【答案】【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，平面與平面所成二面角的大小為，易知，過(guò)點(diǎn)作的平行線，則，且就是平面和平面所成二面角的棱，易知，，，，，，故，由三面角余弦定理得.14．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在三棱錐中，已知底面.若，且，則=______.【答案】.【詳解】如圖，作于點(diǎn)，聯(lián)結(jié).顯然，.故可在線段上取一點(diǎn)，使得，聯(lián)結(jié)、.易證.從而，.故、、、四點(diǎn)共圓.這表明，點(diǎn)在外.由，知為鈍角.從而，.故.15．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在空間四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，使得.則=______（用、表示）.【答案】.【詳解】如圖，.記.則，.故.將，，代入即得.16．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在邊長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)．則四面體的體積為______．【答案】【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，與交于點(diǎn)．則．由題設(shè)得．在正方體底面上，有．故．17．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，平面，，若點(diǎn)滿足，則三棱錐的體積為______．【答案】【詳解】記的中心點(diǎn)為．則．故．18．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)正三棱柱的體積為,點(diǎn)分別在棱上,滿足.則四面體的體積為______.【答案】【詳解】.19．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在正四棱錐中,已知,分別為中點(diǎn).則______.【答案】【詳解】注意到.同理,.又同理.故.20．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）一個(gè)糧倉(cāng)大致可看做一個(gè)圓臺(tái)，其上底半徑為3米，下底半徑為6米，高為米．一只吃飽了的老鼠在鍛煉身體，它打算從圓臺(tái)下底圓周上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面慢跑一周，再回到點(diǎn).為了使路程最短，這只老鼠至少要跑______米.【答案】【詳解】將此圓臺(tái)的側(cè)面展開，得到一個(gè)圓環(huán)的一部分，如圖，在展開圖中，弧和弧分別對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的下底和上底，點(diǎn)是老鼠的出發(fā)點(diǎn).假設(shè)圓環(huán)的內(nèi)半徑為，外半徑為，所對(duì)的圓心角為，顯然，，,.解得，，.作與弧切于點(diǎn)，與弧切于點(diǎn).由圖像，知為最短路線，其中，這一段路線在弧上.計(jì)算得，且易知，.故弧的長(zhǎng)為.于是，最短路線長(zhǎng)度為（米）.21．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在四棱錐中，已知四邊形為矩形，且，，，與交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn).則與平面所成的角為______.【答案】【詳解】取邊的中點(diǎn)，則，.從而，.過(guò)點(diǎn)作，則.于是，為所求.因?yàn)闉樾边叺闹芯€，所以，.又，從而，.故與平面所成的角為.22．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在正四棱錐中，已知，且側(cè)面?zhèn)让嫠啥娼谴笮椋撍睦忮F外接球的體積為______．【答案】【詳解】分別過(guò)點(diǎn)、作的垂線，則垂線必交于上一點(diǎn)，且，．因?yàn)椋?，．由，得．設(shè)為正方形的中心，則四棱錐外接球的球心必在直線上，與球交于另一點(diǎn)．又，則．由，知．故．23．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）用一塊邊長(zhǎng)為2的正方形紙片（頂點(diǎn)為、、、，中心為）折成一個(gè)正四棱錐．當(dāng)該四棱錐體積最大時(shí)，二面角的平面角的大小為______．【答案】【詳解】如圖，作于點(diǎn)，連接．則，為所求二面角的平面角．設(shè)為底面中心．則平面．作，連接．由三垂線定理得．設(shè)．則，，．故．由均值不等式的等號(hào)成立條件，知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值．又，，則．而，故由余弦定理得．因?yàn)?，所以，?4．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為12、21、28、37，頂點(diǎn)D到面的距離為h.則h=__________．【答案】【詳解】注意到，.因此，四面體ABCD為直角四面體.故.25．（2020·浙江·高三競(jìng)賽）如圖所示，在單位正方體上有甲、乙兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，甲從點(diǎn)勻速朝移動(dòng)；乙從點(diǎn)勻速出發(fā)朝移動(dòng)，到達(dá)后速度保持不變并折返.現(xiàn)甲、乙同時(shí)出發(fā)，當(dāng)甲到達(dá)時(shí)，乙恰好在到達(dá)后折返到，則在此過(guò)程中，甲、乙兩點(diǎn)的最近距離為__________.【答案】【詳解】設(shè)甲、乙的速度分別為、，在此過(guò)程中，，即.不妨設(shè)、，則總的時(shí)間為1.設(shè)在時(shí)間為末，甲、乙之間的距離最短，即此時(shí)、分別達(dá)到、點(diǎn).分兩種情況討論：路程前半程與路程后半程.（1）路程前半程：，則，，，，，進(jìn)而有，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（2）路程后半程：，則，，，，，進(jìn)而有，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.因?yàn)?，所以在此過(guò)程中，甲、乙兩點(diǎn)的最近距離為.故答案為：26．（2018·河北·高二競(jìng)賽）若的三邊長(zhǎng)分別為8、10、12，三條邊的中點(diǎn)分別是B、C、D，將三個(gè)中點(diǎn)兩兩連結(jié)得到三條中位線，此時(shí)所得圖形是三棱錐A-BCD的平面展開圖，則此三棱錐的外接球的表面積是________.【答案】【詳解】由已知，四面體A-BCD的三組對(duì)棱的長(zhǎng)分別是4、5、6.構(gòu)造長(zhǎng)方體使其面對(duì)角線長(zhǎng)分別為4、5、6，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，外接球半徑為R，則，得,故，所以.27．（2019·四川·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）已知正四棱錐的高為3，側(cè)面與底面所成角為，先在內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1，然后依次放入球，使得后放入的各球均與前一個(gè)球及的四個(gè)側(cè)面均相切，則放入所有球的體積之和為_____.【答案】【詳解】設(shè)側(cè)面與底面所成角為.記球Oi的半徑為ri，體積為Vi，i=1，2，3，….因?yàn)椋?，?定義，由于，所以，即，所以.故，所以.故答案為：．三、解答題28．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）甲乙二人輪流給一個(gè)正方體的棱涂色，首先，甲任選3條棱涂成紅色，然后乙從余下的9條棱中任選3條涂成綠色，接著甲從余下的6條棱中任選3條涂成紅色，最后乙將余下的3條棱涂成綠色，如果甲能將某個(gè)面上的4條邊全都涂成紅，甲就獲勝，試問(wèn)甲有必勝策略嗎？說(shuō)明理由．【答案】甲沒有必勝策略，理由見解析【詳解】將正方體的12條棱分成4組：，，．當(dāng)甲第一次涂紅3條棱后，由抽屈原理知，上述4組棱中總有一組的3條棱均未被涂紅．乙只要將這一組的3條棱涂綠，則正方體的6個(gè)面就各有一條綠邊．可見，甲沒有必勝策略．29．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在三棱錐中，已知，，，且.以為球心、1為半徑作一個(gè)球.則三棱錐不在球內(nèi)部的部分體積為______.【答案】.【詳解】考慮棱長(zhǎng)為的正方體將點(diǎn)置于正方體的中心，、、可置于正方體的三個(gè)頂點(diǎn)，該三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的同一個(gè)面上.故球與三棱錐相交的部分是球體的.從而，所求體積為.30．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）證明：如下構(gòu)造的空間曲線的任意五等分點(diǎn)組都不在同一球面上，曲線的構(gòu)造：作周長(zhǎng)為的圓，在圓上取使的長(zhǎng)度，并以為軸將旋轉(zhuǎn)得弧，在圓上取，使的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度，并以為軸將旋