第十三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷參考答案（數(shù)學(xué)類低年級(jí)組）

第十三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷參考答案(數(shù)學(xué)類低年級(jí)組，2023年3月)題號(hào)一二三四五六七總分一、(本題20分，每小題5分)填空題-O密封線答題時(shí)不要超過此線-O密封線答題時(shí)不要超過此線12二、(本題10分)空間中有不相交的固定球S和固定平面∑,S的球心在P點(diǎn)，問：1)所有可能的M構(gòu)成何種曲面?2)點(diǎn)P與該曲面有何關(guān)系?證明你的結(jié)論.解答.(1)(幾何法):過P作平面∑的垂線，垂足為0.在垂線PO的延長線上取一(2)(坐標(biāo)法):過P作平面∑的垂線，垂足為0.以O(shè)為原點(diǎn)，向量OP所在直線為z-軸，平面∑為xy-平面，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)球B的球心坐的頂點(diǎn)Q=(0,0,R),它的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)Q的長度F為4F=2(R+r).于是旋3姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):三、(本題14分)給定n階復(fù)方陣A≠0,b∈C"為n維列向量.復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)被稱為向量b關(guān)于A的零化多項(xiàng)式是指f(x)滿足f(A)b=0且f(x)≠0.在向量b關(guān)于A的零化多項(xiàng)式中其次數(shù)最低的首1多項(xiàng)式稱為向量b關(guān)于A的最小多項(xiàng)式.現(xiàn)設(shè)p(A)為矩陣A的最小多項(xiàng)式.證明：p(A)必為Cn中某向量b關(guān)于A的最小多項(xiàng)式.證明.1)取p(A)的標(biāo)準(zhǔn)分解：p=P?…ps,其中pi=(λ-A;)2,li≥1,i=1,…,s.中的最小多項(xiàng)式即為pi.密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線的最小多項(xiàng)式為g,A在V?中的最小多項(xiàng)式為h,則有g(shù)|p?,h|p2…ps.倘若degg<degpi和degh<degp?…ps有一個(gè)發(fā)生，則導(dǎo)致deggh<degp必發(fā)生，從而矛盾于p為A的最小多項(xiàng)式(因?yàn)間(A)A在X?中的最小多項(xiàng)式為p?,A在V?中的最小多項(xiàng)式為p?…·ps.考慮V?.由A在V?中的最小多項(xiàng)式為p?·ps,重復(fù)前述過程有：其中V?={x∈C"|p?…ps(A)x=0},X?,V?均是A的不變子空間，A在X?中的最小多項(xiàng)式即為p?,A在V?中的最小多項(xiàng)式即為p?…ps.類似推導(dǎo)，為pi.斷言1獲證.4另外，注意到[wi,…,wit]是A在X;中的最小多項(xiàng)式，從而有[Wp;,結(jié)果S?,…,ξt,中必有某元，其關(guān)于A的最小多項(xiàng)式為p;.斷言2獲證.最小多項(xiàng)式.于是，PiP?是X中向量ξ1+S?關(guān)于A的最小多項(xiàng)式.為此，一方面有pip?(A)(S?+ξ2)=p?(A)pi(A)ξ1+pi(A)p?(A)ξ2=0,從而ξ1+ξ2關(guān)于A的最小多項(xiàng)式f(A)必是pip2的因子.另一方面，由f(A)(ξ?+ξ2)=0得f(A)ξ1=-f(A)ξ2,注意到Cn=X?田…田X,因此有X?nX?=0,從而f(A)?=-f(A)ξ2∈X?nX?=0.結(jié)果p?|f,p?|f,即有p1p?|f.從而P1p?中向量S?+ξ2關(guān)于A的最小多項(xiàng)式.同理可推得：PiP?P?是X中向量ξ?+ξ2+ξ3關(guān)于A的最小多項(xiàng)式.重復(fù)此過X中向量ξ1+…+ξ。關(guān)于A的最小多項(xiàng)式，證畢.5(2)若α>1,試構(gòu)造滿足題設(shè)條件的函數(shù)f使得)不成立，且在密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線令x→+x得到………(14分).易見該.易見該6五、(本題10分)設(shè)矩陣,二元函數(shù)p(X,Y)被定義為：p(X,Y):R2×2×R2×2→R,(X,Y)→tr(XA成為(1)中內(nèi)積空間(R2×2,p(X,Y))中的一個(gè)正交變換.求A.iii)A對(duì)稱，且二次型f(x?,T?,x3,x?)=tr(XAXT)為正定二7p(X,Y)=p(σ(X),σ(Y)),VX,Y∈R2×2.p(X,Y)=tr(XAYT)=(ax?+cr?)y?+(bx?+dx?)y?+(axr3+cx4)y?+(bx?+d密封線答題時(shí)不要超過此線〇密封線答題時(shí)不要超過此線p(σ(X),σ(Y))○-—-8,其中a>0為任意實(shí)數(shù).完畢.六、(本題16分)證明：姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):定義(-x,0)上的函數(shù)φ(x)=e-x,密封線答題時(shí)不要超過此線對(duì)任何x∈(-x,0),t=φ(x)∈[1,+x),存在唯一的y=y(x)∈(0,+x)使得密封線答題時(shí)不要超過此線ψ'(y)=e?-1>0,y>0.而○-○-9(3)注意到x<0當(dāng)且僅當(dāng)y>0,可見“x<0時(shí)x+y<0”等價(jià)于“y>0時(shí)x<0時(shí)有x+y<0.(e-1)3y"=(e-1)2e#-(e-1)2e"(y')2=(e=(e-e)(e+y-1)<0,x<0.最后，y"(0)的計(jì)算，尤其是其存在性的證明有一定難度.注意到u(s)=由u(y)=u(x),得到到x→0-.x→0-.座位號(hào):座位號(hào):專業(yè):所在院校:考場號(hào):所在院校:考場號(hào):密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線姓名:準(zhǔn)考證號(hào):--姓名:準(zhǔn)考證號(hào):-七、(本題10分)設(shè)n為正整數(shù).證明微分方程滿足初值條件y(0)=y"(0)=…=y(2n-2)(0)=1,y(0)=y"(00的解為(-α,+x)上的偶函數(shù)并且y(x)>1,x≠0.證明.所給的線性方程在(-α,+x)上存在唯一滿足所給初值條件的解y(x).下面證明y(x)=y(-x).記h(x)y(2n)(x)-x2y(x)=|siy(2n)(-x)-(-x)2y(-x)=|sin(注意到h(2n)(x)=y(2n)(-x),于是我們有h(2n)(x)-x2h(x)=|si因?yàn)閔(0)=y(0)=1,h(20)(0)=y(20(0)=1,h(2-1)(0)=-y(2-1)(0)=0,所以下面證明y(x)>1,x≠0.假設(shè)結(jié)果不真，則可以取xo>0滿足y(xo)≤1,注.或者：下面證明y(x)>1,x≠0.假設(shè)結(jié)果不真，則可以取xo>