【《試論常微分方程解的存在唯一性定理及其應(yīng)用》6500字（論文）】

試論常微分方程解的存在唯一性定理及其應(yīng)用目錄前言 11預(yù)備知識 22解的存在唯一性定理的證明 32.1解的存在唯一性定理 32.2解的存在唯一性定理的證明 52.3利普希茨條件與解的存在唯一性 3解的存在唯一性定理的應(yīng)用 3.1判斷解的存在性與唯一性 3.2確定解的存在區(qū)間 3.3近似計(jì)算和誤差估計(jì) 4總結(jié)與展望 4.1論文總結(jié) 4.2進(jìn)一步的研究工作 摘要：解的存在唯一性定理是常微分方程理論中最基本的泛，可用于判斷解的存在與唯一性，確定解的存在區(qū)間，進(jìn)行近似計(jì)算.本文首先介紹并證明解的存在唯一性定理，其次分析利普希茨條件與解的存在唯一性的關(guān)后從解的存在性與唯一性、解的存在區(qū)間、近似計(jì)算與誤差估應(yīng)用.目前，很少有微分方程能夠獲取到精確解，此類方程的現(xiàn)實(shí)意義，如數(shù)值解法等，近似計(jì)算離不開解的存在與唯一要求.假設(shè)唯一但沒有2解，則代表對問題實(shí)行近似求解不存在意義和價值；假設(shè)有解求，那就無法確定具體解的對象，想要盡可能的與之近是重要前提.對于求近似解的方法，在定理的證明中就有所體現(xiàn)，由此可見唯一性定理對求近似解的重要意義.本文運(yùn)用逐步逼近法、壓縮映射原理以及邵德爾不動的存在唯一性定理進(jìn)行證明.在此之前，有許多人曾對解的存在唯一性進(jìn)行了證明，但他們大多都只運(yùn)用了逐步逼近法進(jìn)行證明，這種方法相對于另看較為簡單些，理解起來也較為容易，但其過程繁多，這就需其他方法.通過對文獻(xiàn)的研究，將其與泛函分析的知識聯(lián)系在一起，運(yùn)用其中的壓縮映射原理、邵德爾不動點(diǎn)定理等相關(guān)知識加以證明法大大減少，但理解起來較為困難.通過對這幾種方法的了解、學(xué)習(xí)，在前人結(jié)晶的基礎(chǔ)上，本文把他們放在一起，這就初步完成了對解的存明.對于解的存在唯一性定理的證明除了以上方法外，還有很多其他的方法，這就需要進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn).定義11設(shè)定函數(shù)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)、位于矩形域R:|x-x,|≤a,|y-y。|≤b上，假設(shè)有常數(shù)L>0,使對任意(x,y?),(x,y?)∈R都滿足不等式則稱f(x,y)在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，稱L為Lipschitz常數(shù).3定義221逐步逼近法微分方程)等價于積分方程而y=φ(x)滿足積分方程.個不動點(diǎn)(換句話來說，方程Tx=x有只有一個解).Bellman引理4設(shè)y(x)為區(qū)間[a,b]上非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，a≤x?≤b.如果存在y(x)≤δe*x-xl,x∈[a,b].Ascoli-Arzela定理61設(shè)F是一個函數(shù)族，并且F在[a,b]上是一致有界、等度連續(xù)的，則可以在F找到函數(shù)列{f}在[a,b]是一致收斂的.是全連續(xù)算子，那么存在x∈K,使得Tx=x.2解的存在唯一性定理的證明的右端函數(shù)f(x,y)在閉的矩形區(qū)域R:|x-x,|≤a,|y-y。|≤b上滿足如下兩個條件：4(2)f(x,y)關(guān)于變量y在R上滿足利普希茨條件，也就是存在常數(shù)L,在R上對在區(qū)間x?-h≤x≤x?+h上存在唯一解y=φ(x),φ(x?)=yo,這里存在唯一性定理中數(shù)h的幾何意義(如圖):這里區(qū)間|x-x,|≤h上，定理證明方程(2.1)過點(diǎn)(x?,yo)的積分曲線y=φ(x)確定，由于積分曲線的切線斜率介于直線BC?、B?C的斜率M與-M之間，因此，當(dāng)換句話說，積分曲線弧夾在域B?PC?及BPC的內(nèi)部，也就是不超出矩陣R.5對于Cauchy問題解來說，存在唯一性定理有較多證法，本文將從不同角度證明解的存在性與唯一性，該定理的證明分為兩個部分：一個是用性，另一個是用不同的方法證明唯一性.2.2.1存在性的證明方法一：這里只討論了x?≤x≤x?+h,對于x?-h≤x≤x?的討論是一樣的.為了突1)證明Cauchy問題等價于積分方程首先指出，求(2.2)式的解y=φ(x),x?-h≤x≤x?+h,等價于求(2.3)式在區(qū)間x?-h≤x≤x?+h上的連續(xù)解.實(shí)際上，若y=φ(x)是(2.2)式的解，即下列等式成立φ(x)=f(x,φ(x)),(2.4)其中φ(x?)=y?.再將(2.4)式兩邊取積分積分區(qū)域?yàn)閤?到x,故有(2.5)即y=φ(x)也是(2.3)式的解.反之，假設(shè)連續(xù)函數(shù)y=φ(x)是(2.3)式的解，那么表面恒等式(2.5)成立.因?yàn)楹瘮?shù)f(x,φ(x))是連續(xù)的，所以從(2.5)式知y=φ(x)能連續(xù)可導(dǎo)，(2.5)兩端求導(dǎo)就可以得到(2.4)式，且有φ(x?)=yo,這表明y=φ(x)也是(2.2)式的解.所以，只需要證明(2.3)式的連續(xù)解在|x-x,|≤h上存在且唯一.2)構(gòu)造逐次近似函數(shù)序列6近似，即再把q?(x)代入(2.3)式的右端就可得到二次近似由此類推，可得到n次近似為了保證上述逐次逼近的過程可一直進(jìn)行下去，需證當(dāng)x?-h≤x≤x?+h時，有|φ?(x)-y。|≤b,n=1,2,…,即曲線y=qn(x)應(yīng)保持在矩形R中，因?yàn)槿裟硞€的圖像超出了矩形R,由于函數(shù)f(x,y)只在矩形R上有定義，由(2.6)式可知n+1次近x。-h≤x≤x?+h上滿足|a(x)-y。|≤b,則由(2.6)式有再由積分的絕對值小于等于絕對值的積分由假設(shè)知在x?-h≤x≤x?+h上，該不等式成立|φ(x)-得在區(qū)間[x?-h,x?+h]中，利用逐次逼近法就得到一個連續(xù)函數(shù)列：3)證明{φn(x)}在x?-h≤x≤x?+h上一致收斂.考慮7Sn+1(x)=4o+[4?(x)-4%(x)]+…+[φn(若(2.7)式在[x?-h,x?+h]上一致收斂，則)存在，由或因此對任意n∈N都成立.上面已證明n=1,2時(2.8)式成立，假設(shè)為n時(2.8)式成立，所以由歸納假設(shè)(2.8)有8當(dāng)|x-x,|≤h,級數(shù)(2.7)自第二項(xiàng)起各項(xiàng)的絕對值小于正項(xiàng)級數(shù)的對應(yīng)項(xiàng)，而上式是收斂的，所以由M判別法知，[x?-h,x?+h]上(2.7)式不僅收斂，而且一致收斂.設(shè)S(x)=φ(x),從而{φn(x)}在[x?-h,x?+h]一致收斂于φ(x),因?yàn)閧φn(x)}在[x?-h,x?+h]上連續(xù)，所以φ(x)也是連續(xù)的.4)證明)是(2.3)式的解.獲取恒等式(2.6)的極限，通過先對利普希茨條件估算：區(qū)間[x?-h,x?+h]上序列{φn(x)}一致收斂，因此ε>0后有自然數(shù)n?,當(dāng)n≥n?時，對區(qū)間[x?-h,x?+h]上的x都有從而由此類推也就是說可以得到對恒等式(2.6)兩端取極限，得到9即這就表明函數(shù)φ(x)是(2.3)的解.綜上所述，證畢.方法二：設(shè)C[x?-h,x?+h]表示I=[x?-h,x?+h]上的連續(xù)函數(shù)，所構(gòu)成的距離空間，則C[x?-h,x?+h]是完備的.定義C[x?-h,x?+h]到自身的映射T:在[x?,x]對Cauchy問題等式兩邊積分，則C壓縮映射能發(fā)現(xiàn)，T的不動點(diǎn)是y=φ(x).證畢.方法三：設(shè)C(I)表示區(qū)間I=[x?-h,x?+h]上的連續(xù)函數(shù)全體，定義則C1)是Banach空間.令K={y∈C(D|y-y|≤b}和T:K→C(I),使得1)K是凸閉的，任取y?,y?,…yn∈K,則只要λ∈R+,i=1,2,…,n,1,有是閉的.2)T:K→K,對任意的y∈K有3)T在K上是全連續(xù)的，設(shè)ym,yn∈K,n∈N,y→ym,于是對任意的ε>0,因此中令n→0,得到所以T∈C(I),對任意的y∈有是相對緊的.法進(jìn)行證明.皮卡爾逐步逼近法建立在壓縮映射原理之上，就度量空間研究泛函方程解而言，該原理是最佳方式，能夠在不動點(diǎn)定理中使用.2.2.2唯一性的證明證法一：已知y=φ(x)是積分方程(2.3)的一個連續(xù)解，即設(shè)y=ψ(x)是(2.3)式在I上的連續(xù)解，則類似于證明存在性證法一，能夠通過歸納法證實(shí)，可知在I中成立，區(qū)間I上的Picard序列{y,(x)}一致收斂于ψ(x),因此可得φ(x)=y(x),所以積分方程(2.3)的連續(xù)解唯一.證完.證法二：根據(jù)唯一性中的證法一，將φ(x)與y(x)兩式作差，并利用Lipschitz條件，有令y(x)=|o(x)-4(x)|,δ=0,k=L,由Bellman引理可知，在區(qū)間I有y(x)=0,有令y(x)=|φ(x)-y(x)|,k=0,g(x)=L,所以由Gronwall引理可知，在區(qū)間I有證法四：由于y滿足Lipschitz條件，所以當(dāng)x∈I時，再令θ=Lh,則由h的定義可得0<θ<1,有由壓縮映射可得T在I上存在唯一一個不動點(diǎn).證完.唯一性的證明是結(jié)合存在的證明而來的，它在證明過程中同樣用到了逐步逼近法、壓縮映射等原理；只是在此過程中，它還運(yùn)用了Bellman引理、Gronwall引理以及一定的深度.理、賦范空間等.結(jié)合上述證明可知，通過數(shù)學(xué)分析理論對“解的存在唯一性定理”證實(shí)需要經(jīng)過眾多步驟，理解上相對簡單；由泛函分析理論作為證明的方法簡化了流程，卻增加了理解上的難度.因檢驗(yàn)利普希茨條件較難，故選擇f(x,y)在R上有對y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)替換，假設(shè)R存在、連續(xù)，那么表面有界.位于R,則(x,y?),(x,y?)∈R,0<θ<1,反之滿足利普希茨條件的函數(shù)f(x,y)不保證有偏導(dǎo)數(shù)，舉例來看，任意區(qū)域上函數(shù)f(x,y)=|y滿足利普希茨條件，然而其在y=0中不存在導(dǎo)數(shù).經(jīng)過xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.證明右端函數(shù)除x軸外的上、下平面都滿足定理的條件，所以對于ox軸外任何點(diǎn)(x?,yo),該方程滿足y(x?)=y。的解都存在且唯一，于是，只有對于ox軸上的點(diǎn)，還需要討論其過這樣點(diǎn)的解的唯一性.由題意知y=0是方程的解.當(dāng)y≠0時，由y=±ee.上半平面與下半平面通解分別為y=ee、y=-e,不相交于y=0,因此ox軸上的點(diǎn)(x?,0)僅通過y=0,初值解的唯一性才有保障.因?yàn)?所以不可能存在N>0使得這一觀點(diǎn)得到證實(shí).基于佩亞諾定理之上能夠發(fā)現(xiàn)，假設(shè)方程(2.1)的右端函數(shù)f(x,y)連續(xù)，則有初值問題的解.假設(shè)R上連續(xù)的只有方程(2.1)的右端函數(shù)f(x,y),并不能保證初值問題 (2.2)的解總是唯一的.3解的存在唯一性定理的應(yīng)用如果方程(2.1)在某個區(qū)間上存在唯一解，那么它必滿足兩個條件：在R上連續(xù)且在R上關(guān)于變量y滿足利普希茨條件，下面通過兩個例子來加以判斷：例1試判斷方程y在區(qū)域上的解是否存在，若存在是否唯一.解1)不存在.因?yàn)樵趨^(qū)域R?上，方程右端函數(shù)時不連續(xù)，所以方程在區(qū)域R?上解不存在.2)存在且唯一.因?yàn)樵趨^(qū)域R?上，函數(shù)f(x,y)=xtany連續(xù)且有界，所以方程在區(qū)域R?上的解存在且唯一.例2在xoy平面上，判斷下列方程的初值解是否存在，若存在，是否唯一.解1)是，在整個xoy平面上，f(x,y)=x+siny、f,(x,y)=cosy連續(xù)，由此可見，在整個xoy平面上滿足存在唯一性定理?xiàng)l件，這表明方程能夠保證初值解存在且唯一.2)否，因?yàn)榉匠逃叶撕瘮?shù)在除去y軸外的整個xoy平面上連續(xù)且f,(x,y)=0,所以在去除y軸外的整個xoy平面上初值解存在且唯一.3)否，因?yàn)榉匠逃叶撕瘮?shù)在整個xoy平面上連續(xù)，而且具備唯一性.具體討論.解右端函數(shù)對y的偏導(dǎo)數(shù)為顯然它在任何一個不包含x軸(y=0)上的產(chǎn)生若干解的可能性.其中x-C≥0.此外有特解y=0,因此過點(diǎn)(0,0)有無窮多個解(如圖所示)題(2.2)的解的存在區(qū)間為[x?-h,x?+h],中.如果M=max|f(x,y)又因?yàn)橛薪纾啥ɡ砜芍?，解的存在區(qū)間是|的解為y=tgx,在內(nèi)是存在的，這里這說明由定理所確定的解的存在區(qū)間是可能擴(kuò)大的.3.3近似計(jì)算和誤差估計(jì)存在唯一性定理在證明過程中采用逐步逼近法實(shí)際上是求方程近似解的一種方法，示為這樣，當(dāng)對近似計(jì)算時，可按照誤差的要求，選取適當(dāng)?shù)闹鸩奖平瘮?shù)φ(x)和迭代次例1矩形區(qū)域內(nèi)，一階微分方程是定義在R:-1≤x≤1,-1≤y則通過存在唯一性定理確定過原點(diǎn)(0,0)的解的存在區(qū)間，并計(jì)算該區(qū)間上和真正解的誤差在0.05以下的近似解的表達(dá)式.解因?yàn)?則可取L=2是R上連續(xù)函數(shù)取n=3.因?yàn)椋?則可推出如下的近似表達(dá)式43(x)等同于計(jì)算獲取到的近似解，其在上和真正解的誤差較小，在0.05以例2試求微分方程初值問題存在區(qū)間和誤差估計(jì)進(jìn)行探討.在區(qū)域D可取,a=0.5,b=1,.利普希茨常數(shù)可取于是在存在區(qū)間|x-x,|≤h=0.5上第1、2次近似解的誤差為例3求初值問題在區(qū)域R:|x-1|≤1,|y|≤1上的解的存在區(qū)間，進(jìn)一步求第二次近似解，并對解在該區(qū)間上的誤差進(jìn)行估計(jì).解1)根據(jù)存在唯一性定理知，解的存在區(qū)間為其中,取a=1,b=1,從而即得解的定義區(qū)間為2)求初值問題的二次近似解則二次近似解為3)由誤差估計(jì)公式其中L是利普希茨常數(shù)，因?yàn)?可取L=2,則有所以第二次近似解在區(qū)間上的誤差不超過4總結(jié)與展望4.1論文總結(jié)本文用不同的方法對解的存在唯一性定理進(jìn)行證明，其中包含了兩個方面：一是存在性，二是唯一性.存在性的證明運(yùn)用了三種方法，分別是逐步逼近法、壓縮映射原理和邵德爾不動點(diǎn)定理；而唯一性的證明是在存在性的基礎(chǔ)上借助泛函分析中的Bellman引理、Gronwall引理以及Schauder不動點(diǎn)定理等相關(guān)知識進(jìn)行證明.由此可見，在對解的存在唯一性進(jìn)行證明時，其方法不是唯一的.在實(shí)際運(yùn)用過程中，可以用解的存在唯一性對解的存在區(qū)間、近似計(jì)算、誤差估計(jì)等幾個方面進(jìn)行應(yīng)用，可以看出解的存在唯一性定理在微分方程中的應(yīng)用是十分廣泛的，所以掌握此知識在提升專業(yè)素養(yǎng)的同時也能提高解決實(shí)際問題的能力.4.2進(jìn)一步的研究工作有待繼續(xù)探討研究的問題具體如下：在方程)的初值解唯一保證方面，還存在弱于利普希茨條件的，然而直至今日依舊沒有確定保證初值解唯一的充分必要條件