2022年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(預(yù)賽)暨2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試(A 卷)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1BAPYXCD分別得到A,O,X,B四點(diǎn)共圓，A,Y,O,D四點(diǎn)共圓．………………10分所以△OXY∽△CDB．………………20分PMXPMX·CL·KYAO·KYAOD設(shè)OM丄AP于點(diǎn)M，CK丄AP于點(diǎn)K，CL丄BD于點(diǎn)L.由O為AC的中點(diǎn)，得CK=2OM.考慮到OM,CL是相似三角形△OXY,△CDB的對應(yīng)邊XY,DB上的高，從而即有BD=2XY．………………40分2二本題滿分40分）設(shè)整數(shù)n(n>1)恰有k個(gè)互不相同的素因子，記n的所有正約數(shù)之和為σ(n)．證明：σ(n)(2n—k)!.（1）σ(n)Sk!；從而這等價(jià)于σ(n)Sk!.3②②（2）a123求a12a22a100的最小可能值.2202122232下面證明這是最小可能值.故當(dāng)a20≥41時(shí)，由k≥21及條件（1）可知a21≥41，故4綜上，所求最小值為40940．………………50分?jǐn)?shù)x1,x2,…,x1001，a2個(gè)2，……，a100個(gè)100（條當(dāng)x1,x2,…,x100取19個(gè)19，40個(gè)20，41個(gè)21時(shí)，=40940．下面證明的值至少為40940．b個(gè)xj=20及c個(gè)xj≤19．由條件（A）可知a≥b．小值仍是在19個(gè)19，40個(gè)20，41個(gè)21時(shí)取到．………………20分x222520.5，與條件（B）不符.使得平方和最小矛盾.又假如存在一個(gè)xi≤18，則由b>滿足，與x1,x2,…,x100使得平方和最小矛盾.所以c個(gè)xj≤19都等于19．但此時(shí)所以當(dāng)且僅當(dāng)x1,x2,…,x100取19個(gè)19，40個(gè)20，41個(gè)21時(shí)，取得最小值，相應(yīng)地i2ai=取到最小值40940．…………存在一個(gè)1×t或t×1的矩形，其中t個(gè)小方格含有至少三種不同顏色.解：答案是12.將方格紙劃分成100個(gè)10×10的正方種顏色，不同的正方形染不同的顏色，這樣的染色方法滿足題目條件，且易知（1）X中至少有11種顏色.（2）X中恰有10種顏色，且每種顏色恰染了10個(gè)小方格.引理的證明：用反證法，假設(shè)結(jié)論不成立.≥11．這是因?yàn)槿簟?0，則從第xi?1格至第xi+1格（不超過12格）中至少含有三種不同顏色（第xi?1格為ci?1色，第xi格為ci色，第xi+1格一定不同于ci?1,ci色），與假設(shè)不符.6此在條件（1）下結(jié)論成立.中至少含有三種顏色，與條件（2）不符．因此在條件（2）下結(jié)論也成立.回到原問題，設(shè)c1,c2,…,ck為出現(xiàn)的所有顏色.對1≤i≤k，記si為含有ci色小方格的個(gè)數(shù)，ui為含有ci色小方格的行的個(gè)成立當(dāng)且僅當(dāng)含有ci色小方格的所有行與列的交叉位置上都是ci色小方格.i若>2000，由抽屜原理知，存在一行或者一列至少含有11種顏色的小方格.若=2000，則由等號成立的條件，可知每種顏色恰染100格，且是10行與10列交叉位置，因此每一行每一列中恰有10種顏色的方格，每種顏色的方格恰有1