指對冪比大小的常用方法（8題型+高分技法+限時提升練）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（新高考）

重難點(diǎn)2-1指數(shù)幕比較大小的常用方法

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測

近三年的高考中，該考點(diǎn)幾乎每年都會出現(xiàn)，是高預(yù)計2025年高考中，指對塞比較大小仍將以選擇

考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，命題形式主要以選擇題為題或填空題的形式出現(xiàn)，且可能作為壓軸小題，增

主，且多以壓軸小題的形式出，難度逐年上升，題加綜合性和靈活性.

目更加注重綜合推理能力.

重難點(diǎn)題型解讀

題型］利用函數(shù)單調(diào)性比較大小題型5利用函數(shù)構(gòu)造法比較大小

題型2利用作差作商法比較大小e一一。題型6利用數(shù)形結(jié)合法比較大小

指數(shù)鬲匕檄大小的常用方法

題型3利用中間值/估值法比較大小。一一^'x\7----------題型7利用放縮法比較大小

題型4含變量式子比較大小-----/、---＞題型8利用泰勒展開式比較大小

題型1利用函數(shù)單調(diào)性比較大小

當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)式或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或募函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函

數(shù)的單調(diào)性比較

(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和罐2,利用指數(shù)函數(shù)＞=優(yōu)的單調(diào)性；

(2)指數(shù)相同，底數(shù)不同，如野和甘，利用哥函數(shù)y=x"的單調(diào)性；

(3)底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log。％和log,,%，利用指數(shù)函數(shù)＞=log?！返膯握{(diào)性；

(4)除了指對暴函數(shù)，其他函數(shù)(如三角函數(shù)、對勾函數(shù)等)也都可以利用單調(diào)性比較大小.

1.(24-25高三上，天津?期末)已知<7=0.4°,，6=logo,50-4,c=0.5°”,則。,6,c二者的大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.ob>a

【答案】A

050404

［解析］a=O.4<O.4<O.5<0.5°=1=log050.5<log050.4=/?,則avcv",

所以a,A,c三者的大小關(guān)系是b>c>a.故選：A

627—

2.（24-25高三上?全國?專題練習(xí)）已知〃=Z?=log.—,c=則〃，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

44

【解析】因為（>0,所以〃同=必在（°，+8）上為單調(diào)遞增函數(shù)，

44

因為所以[寧￡

因為:>1,所以g（x）=g）在（0,+8）上為單調(diào)遞增函數(shù)，

46644

所以所以所以

因為號>1，所以在（0,+。）上為單調(diào)遞增函數(shù)，

27I61

又b=10gg不<10gg《=l,所以〃>。>人，故選：B.

3.（24-25高三上?江西?月考）已知a=ln4,匕=館4,c=[j，則（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

2J_

【解析】因為ln4>歷e=l,lg4<lgl0=l,lg4>lgJIU=g,

所以「

<1g4<In4?所以c<Z?va.故選：A.

4.（24-25高三上?甘肅天水?月考）已知。=0.59M,b=0.61°59,c=in0.6,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】幕函數(shù)y=x。，當(dāng)夕>0時，在（0,+8）單調(diào)遞增，故匕=0.6產(chǎn)59>0.59。59,

又指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)，當(dāng)0<。<1時，在R上單調(diào)遞減，故O.59°S9>a=0.59°m>o,即b>a>0,

又因為c=ln0.6vO,所以cvavb,故選：D

題型2利用作差法作商法比較大小

目意

I

1、作差法與作商法適用情況

(1)作差法適用于兩個數(shù)的表達(dá)式可以直接相減，且差值容易判斷正負(fù)的情況；

(2)作商法適用于指數(shù)幕形式的數(shù)，尤其是底數(shù)不同時，可以通過指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)簡化比較.

2、使用作差法與作商法注意事項

(1)作差或作商后，可能需要對結(jié)果進(jìn)行變形處理，以便更容易判斷其與0或1的關(guān)系.

(2)在復(fù)雜情況下，可能需要結(jié)合其他方法(如中間值法、構(gòu)造函數(shù)法等)來輔助判斷.

1.（24-25高三上?福建龍巖?月考）已知“=3+1112/=：+號,。=；+羿，則（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

,.?__71,_f2In3、11AIn3121n2-ln3

【解析】a-b=-+^-［-+—\=--^--=—+---------

62

4464

In-3In——1In——

1,貝!Jav〃，

--+——=327e<0

6266

1fl121n551n2-21n5In32-In25八

〃一c二一+ln2——+=ln2—----------------=---------------->0

2255

貝!所以故選：B.

2.（24-25高三上?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）設(shè)。=0.1ea2,b=，,c=0.2e°」，則下列選項正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

［解析］a=0.le°2=—e0,2>—e°=—=b,

101010

c=O.2e01=-e01>—e°=—>—=b,

55510

而幺因為e<，°,所以e°」<2,

c2

所—2=1,故…,

所以。<〃<c.故選：B

3.（24-25高三上?重慶?模擬預(yù)測）已知〃=1嗝4,i=log32,c=lglO,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

[WtFflE^0=log6l<log64<log66=l,0=log31<log32<log33=1,lglO=l,

所以a<c,Z?vc,

又十篇喂?號需嚕―…

所以所以故選：B

4.（24-25高三上?四川綿陽?月考）已知a=人=坨4,c=log32,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】=1，0=lgl<lg4<lgl0=l,0=log31<log32<log33=1,O<Z?<1,0<c<l,

b21g221g2__1八1s1

「—一=-----=.=2lng3=lg9<lgl0=l,,人

又clog32lg2,:.b<c,.故選：B.

Ig3

題型3利用中間值/估值法比較大小

II

中間值法或1/0比較法：比較多個數(shù)的大小時，先利用作為分界點(diǎn)，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的

性質(zhì)比較大小.

估值法：（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；（2）可以對區(qū)間使用二分法（或利用指對轉(zhuǎn)化）：

ii

尋找合適的中間值.

II

1.(24-25高三上?安徽亳州?月考)已知。=log1407b=1.4°7,c=07",則。，瓦c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

14

【解析】由題意可知，a=log[40.7<0,。=1.4"7>1,0<C=0.7<1,

貝!Ja<c<b.故選：B

2.（24-25高三上?山東德州?月考）已知。=202/,XS叫c=log20240.5,則（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】c

052024

【解析】a=2O24->2024°=1,0<Z?=0.5<0.5°=1MZ?>O,c=log20240.5<log20241=0,

所以a>b>c,故選：C.

3.（24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?月考）設(shè)a=2「2/=lg3,c=ln；,則a、b、c的大小順序為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】由函數(shù)，=lnx,y=lgx在（0,+8）上單調(diào)遞增，可得ln；<lnl=0,0=lgl<lg3<lgl0=l.

因函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，則2L2>2：2.故lng<lnl=0=lgl<lg3<l<2L2,

即a>b>c.故選：A

3

4.（24-25圖三上?四川江油?月考）已知〃=logz3,&=log34,c=-,則有（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.ob>a

【答案】B

【解析】因為對數(shù)函數(shù)y=iog2x、y=k?g3x均為（o,+8）上的增函數(shù)，

3o3

貝!Jlog23>log220=log22萬=—=log3y=log3373>log34,即故選：B.

題型4含變量式子比較大小

Iloaoe

;當(dāng)作比較的幾個數(shù)都含參數(shù)時，可嘗試把參數(shù)取一個具體的實(shí)數(shù)，通過估算來比較大小.也可通過函數(shù)的

I

單調(diào)性，結(jié)合圖象進(jìn)行比較.

i

1.（23-24高三下?陜西安康?月考）已知9"=8,m=10a-9,〃=8"-7,則（）

A.m>0>nB.m>n>0C.n>m>0D.n>0>m

【答案】D

【解析】9"=8,解得a=log98,

令10，-9=0,解得：f=lg9,

令8-7=0,解得：?=log87,

、r1-I—ln(x+l)--------Inx

令/(X)=logv+1X(x>1),則f，(x)=Inx=X_________^±1_'

[ln(x+l)Jln2(x+l)

因為無>1,所以—>0,ln(x+l)>lnx>0,則有工In(尤+1)-Inj;>0,

XX+1XX+1

即/'(力>0恒成立，所以“X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則有Iog87<log98<lg9,

所以"=8?！?=8叱-7>8log87-7=0,

m=10"-9=10logs8-9<10lg9-9=0,

所以故選：D

m

2.（24-25高三上?河北邢臺?期中）l<m<n<2,a=n,b=m",c^logBm,則a,瓦c的大小關(guān)系是（

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】因為l<〃z<“<2,所以>=〃',,=",〉=108戶在（0,+8）上均單調(diào)遞增，

mll

所以a=n>n>l,b=m">m>1,c=log（im<log（in=l,即。>c,b>c,

對于“力，構(gòu)造函數(shù)〃同=叱=>/（*=上墳，

XX

易知e>x>0時，>0,即此時函數(shù)單調(diào)遞增，IUlJ/（m）</（n）=>—<—,

mn

所以〃In機(jī)<mln〃=In根〃vIn，

因為y=In%在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以加1Vm，

綜上a>"c.故選：A

b6

3.（24-25高三上?全國?專題練習(xí)）若0<2a<匕<1,xl=a,x2=（2a）,退=儼，4=（26）2",則（

A.尤4<%3<冗1<九2B.X1<X2<X3<X4

C.x2<x1<x4<x3D.X3<X4<M<X2

【答案】B

【解析】方法一：因為6>0,所以函數(shù)y=f在（。,+力）上單調(diào)遞增.

因為a>0,所以/<（2a）",即％<尤2.

同理，由函數(shù)y=針在（0,+“）上單調(diào)遞增，得/<（2匕廣，即當(dāng)<九4.

因為0<2々</?,所以（2。廣</a.

因為0v2avl,所以y=（2a）"在R上單調(diào)遞減，

所以（2“<（2〃廣，所以（2“<廬，即/<不，

所以玉<毛<%<%.

方法二：由。<2“<6<1,令a=Lb=—,

82

—<-<—<1,所以再</<當(dāng)<匕.故選：B.

422

4.（23-24高三上?重慶渝中?月考）（多選）若0<a<b<l,則（）

A.ab<baB.ab+l<a+b

ha

C.d-<l}-D.logfl（l+Z?）>logfc（l+a）

【答案】AC

【解析】A選項中，因為故>=罐在R上單調(diào)遞減，故

baa

因為>=x。在（0,+8）上單調(diào)遞增，故綜上，a<a<b,A正確；

B選項中，由于。+6-。6-1=（。一1）（1-6）<。，而已知所以B不正確;

C選項中，al-b<bl-a^（l-b）lna<（l-a）lnb^>—<—,

1-a1-b

In.r--1+ln.r

設(shè)/⑴=則廣（0<x<l），

設(shè)g（元）=lnx+L-l（0<x<l）,

X

則g'（x）=<0ng（x）>g⑴=0nf'M>0,

X

所以在（0,1）上遞增，這樣/（。）</（力，故C正確;

D選項中，取。=:,匕=；，貝1」1080。+6）=10814=1081^^，bg?>（l+a）=logi￥,

939333

又友=述>12>1,故log"（l+b）=logi：<logx（l+a）=logi",所以D錯誤.

399§3§9

故選：AC.

題型5利用函數(shù)構(gòu)造法比較大小

構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律,

所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)規(guī)律

（1）對于抽象函數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除八）外衣”比較大小.

（2）有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，比較大小.

1.（24-25高三上?江西上饒?月考）已知a=log32,,則實(shí)數(shù)a,b,C的大小關(guān)系正確的

是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<b

【答案】C

【解析】因為a=log32>log3—=b=

2⑸君2

故我們構(gòu)造指數(shù)函數(shù)=，得到匕=/,），c=/（1）

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在R上單調(diào)遞減,

因為;J,所以一，綜上可得故C正確.故選：C

2.（24-25高三上?全國?專題練習(xí)）己知。=二，6=螞，c=|,則（）

In4ln22

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

9i1n3Q1

2

［解析］由題意可得：ci==——=log2e,b=—-=log23,c=-=log22=log2A/8,

2In2In2m22

因為3>@>e,且丁二log2x在定義域（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,

ojWlog23>log2>log2e,所以故選：D.

21ne廠ln3_.—位z、

3.(24-25高三上?湖南衡陽?月考)三個數(shù)a2-，b—IOA/2>c的大小順序為()

e

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

警2，—殍ln3

【解析】ac=一

43

記〃x)=處,x>0,則((無)=1-lnx

X

令尸(x)=T?<0,解得X>e,所以在(e,+e)上單調(diào)遞減,

因為e<3<4<e,所以/(3)>/(4)>f(r)，即a<6<c.故選：D

4.(24-25高三上?山西呂梁?月考)已知°=2023屹5,z>=20242024,c=20252023,貝!J()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

In2023In2024

In。InZ?

【解析】由。=20232025,6=20242024,°=20252023,得20242023

InbIn2024IncIn2025

20252024

令/(x)=mt，x>e2,求導(dǎo)得/，(x)=1+xI”',令h(x)=1+—-Inx,x>e2,

(X+1)2x

iii

求導(dǎo)得"(%)=—T—<0，函數(shù)力(%)在(e1+8)上單調(diào)遞減，h(x)<7i(e2)=——1<0,

xxe

即尸(x)<。，函數(shù)f(x)在?,+00)上單調(diào)遞減，則/(2023)>/(2024)>0,

Ina/(2023),

即啟=兩兩>1,1n0>皿，因此”>b；

JQ

令g(x)=1"'+D,x〉e2,求導(dǎo)得,x+1ln(x+l),當(dāng)龍〉e2時，+

x8W=-------------------x+1

即g'(無)<0,函數(shù)g(x)在⑻件⑹上單調(diào)遞減，貝IJg(2024)>g(2025)>0,

In/?g(2024)1

即盛=至兩>1'因此b>c,

所以。>b>c.故選：C

題型6利用數(shù)形結(jié)合法比較大小

當(dāng)作比較的幾個數(shù)都可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的零點(diǎn)時，可數(shù)形結(jié)合，通過觀察函數(shù)圖象的走勢、交點(diǎn)、最高

點(diǎn)、最低點(diǎn)等特征，直觀地判斷數(shù)的大小關(guān)系.對于圖像難以精確判斷的情況，結(jié)合數(shù)值計算或代數(shù);

分析，進(jìn)一步確定大小關(guān)系.

11

1.(24-25局三上?天津?月考)已知玉=log2g,々=3不)

A.xr<x2<x3B.xi<x3<x2C.x2<xx<x3D.x3<x1<x2

【答案】A

［解析】根據(jù)y=log2X單調(diào)遞增可得％=log21<log21<0,

由y=3,單調(diào)遞增可得0<37<3。,尤2e(0,l)，

由皿退可知七是函數(shù)了二和y=lnx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

如下圖所示:

由圖可知三>1.因此可得再<%<七.故選：A

2.(23-24高三上?北京?月考)函數(shù)〃x)=2*+x,g(x)=log2x+x,/?(x)=石+尤的零點(diǎn)分別為。，b,c,

則。，b,c,的大小順序為()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>oaD.c>a>b

【答案】C

【解析】令/(0=0,即2工=一彳，

令g(%)=0,即log2%--%,

令從力=0,即?=分別作出y=2"y=log2x,y=?和U=r的圖象,

如圖所示：

3.(23-24JWJ二下?內(nèi)蒙古赤峰?二模)設(shè)函數(shù)y=/+2x-10,y=2"+2x-10,y=log2%+2x-10的零點(diǎn)分別為

〃力,c,貝！J()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

2X

【解析】y=x+2x-10=0,y=2+2x-10=0,y=log2x+2x-10=0,

可得I?=10—2%,2"=10—2%,log2X=10-2x,

可知y=1。—2%與y=J,》=2。y=log2x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a,b,c,

2x

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=10-2x,y=x,y=2,y=log2x的圖象,

根據(jù)圖象可知：,=1。-2%與>=/有2個交點(diǎn)，但均有

所以a<Z?vc.故選：A.

4.(24-25高三上?天津和平?期末)設(shè)〃，b,c分別為函數(shù)/(x)=xln]—l,g(x)=xe*-l,h(x)=xy[x-l

的零點(diǎn)，則"，b,。的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

又由〃x)=xlnx-l=O,得lnx=L即函數(shù)y=ln尤與y的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是a,

X%

根據(jù)y=In尤遞增且過點(diǎn)(1,0),y=’在(0,+8)遞減，由圖可得：a>l,

X

又由g(x)=xe，-l=0,得e，=L,即函數(shù)>=/與、=」的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是b,

X%

根據(jù)y=s遞增且過點(diǎn)(0,1),y=［在(0,+8)遞減且過點(diǎn)(1,1),由圖可得：0<b<l,

由于/z(x)=x6-1=0,根據(jù)幕函數(shù)￡=1，解得x=l,即c=l,(也可以數(shù)形結(jié)合判斷)

綜上可知：b<c<a,故選：A.

題型7利用放縮法比較大小

■?■?■■■■■?■?■■■■■■■■■■■■■,■■■■■■■■■■■,■■■■■■■■■■■■■■■■■■■?■■■■■?■?■?■■■,■?■,■■■■■■■■■?■■■■■?■■■■■■■,■?■?■■■■■,■■■■■?■,■?■■■?■,■?■■■?■?■■■■■■■■■?■,■?■,■a，

0^00

1、放縮法的解題思路

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù).

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮.

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮.

(4)“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)(主要是整數(shù)多一些)，那

么可以用該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系.

2、常見放縮不等式

(1)lnx<x-l(x>0)；lnx>l-—(%>0)

x

(2)ex>x+l(xeR)；ex>x>Inx(x>0)；(1-x)ev<l(xeR)

71

(3)sinx<x<tanx(0<x<一).

14999

1.(24-25IWI三上?湖南郴州?期末)已知。=cos),&=—,c=ln—,貝I]()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】4k/(x)=cosx+^x2-l(0<x<l),求導(dǎo)得尸O)=—sinx+x,

令〃(%)=_sin%+%,所以"(x)=—cos%+l>0,所以/z(x)在(。,1)上單調(diào)遞增,

所以九工)>力(0)=0,所以/")>(),所以了(%)單調(diào)遞增，

所以/(%)>/(O)=cos0+^x02-1=0,所以cosx+gf-1>o,

所以cosxA—gf+i,所以cos!>」xp>]+1=—,即a>b,

252⑸50

11—Y

4g(x)=lnx-x+l(x>l),求導(dǎo)得/(')=__l=」<0,

XX

所以g(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)vg(0)=lnl-1+1=0,

999949

所以Inx—x+lvO,所以lnx<x—l(x>l),所以姑%〈寶一1二百，

所以c<Z?,所以cvb<Q.故選：B.

2.(24-25高三上.全國?專題練習(xí))己知。=ln￡,b=[,則()

99?！猚

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】令/■(尤)=lnx-x+l,所以/(x)=±T=—,

XX

當(dāng)xe(0,1)時，/(尤)>0,/⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)xeQ,+8)時,f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，所以/(x)W/(l)=0,所以/(x)<0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，則當(dāng)X=與時，/[y^=lny-^+l<0,

即ln9<",所以“<6；

因為Inx-x+lVO,故廣匕無，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，

R1-11

故e9=e9>-,故Z?vc.

9

綜上可知avb<c.故選：B.

70--一

3.(24-25IWJ二上,重慶?月考)已知〃=In—,b=sin—,c=Q3則ab,c的大小關(guān)系為(

33F

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.a>b>c

【答案】A

2

【解析】Q=ln§<0,

令f(x)=smx-x,求導(dǎo)可得jf(x)=cosx-l<0,

所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(1)</(0),所以sinx-尤vO,

222

所以sinxWx,所以sin—<—,即0<力<一,

333

令g(x)=e*-x-l,求導(dǎo)得=

當(dāng)xe(-oo,0)時，g(x)<0,函數(shù)g(x)=e*-x—1在(-co,0)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(0,+8)時，g，(x)>0,函數(shù)g(x)=e"-x-l在(0,+<?)單調(diào)遞增,

所以8(x)Zg(0),所以e*-x-120,所以e"Nx+l,

_119o

所以e3>l一±=*,即c>—,所以a<6<c.故選：A.

333

，工、

4.(24-25高三上?河北邯鄲?模擬預(yù)測)已知，(無)在(1,+8)上單調(diào)遞增，若/(尤+1)為偶函數(shù)，a=f/

\7

b=[ln|j,則()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】因為/(x+1)為偶函數(shù)，則/(T+1)=/(X+1),

所以“X)關(guān)于X=1對稱，所以C=

令g(x)=e￡-x-l,則g[x)=e"-L

當(dāng)x>l時,g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(l)=e—2>0,即e*>x+l,

2.957

所以e2>e2>-+l=-,

22

79

當(dāng)x>l時，由e*>x+l得，X>ln(x+1),則萬習(xí)!!],

由上可得1<In]<]<e?,又在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以小3<佃<加]即小

所以〃>c>b.故選：A.

題型8利用泰勒展開式比較大小

常見的泰勒展開式:

L.

,n3x

en+l

(1)e=l+x+——++——+Ji

2!n\(n+l)!

2n+l

Ji

(2)sinx=x—――+——+(—1)”+。(-+2)

3!5!(2〃+l)!

(3)cosx=l-—+—-—++(-1)"上二o(d〃)

2!4!6!(20!

23n+l

Ji

(4)ln(l+x)=x-y+y-+(-1)"+o(x"M)

n+1

1

(5)=l+x+x2++x"+o(x")

1-x

n(n-l)

(6)(1+%),!=i+wc+----------x2+(9(X2)

2!

TTsinI,這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）

1.(22-23IWJ三下?云南昆明?模擬預(yù)測)設(shè)〃="7,b=cosl,c

6

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】cosl=sin[|-lj,

.?八71兀

.0<-1<——1<—,在0cx上單調(diào)遞增,

322

?.1./兀71八

..sin—<sin----1=>c<p7

32

且時,cosx>l--+—,以下是證明過程:

2!4!6!

X2X4

令g(x)=cosx—1-------1-----》--■叫，

2!4!6!

g'(x)=-sinx+x--+-^―,令"(x)=g'(x)=-sinx+x--+,

61206120

2424

故(x)=-cosx+1--+—,令左⑺="(x)=-cosx+1--+—,

故上'(X)=sin%-%+~^-,令/(x)=k'^x)=sinx-x+—,

fV2

貝!J/'(X)=COSX-1+—,令加(X)=/'(%)=COSX-l+—f

故加(x)=-sinx+x,令=加(%)=—sinx+x,

故〃'(x)=1-cosX>0在X￡[o,上恒成立,

故加（x）=-sinx+x在弓）上單調(diào)遞增,

所以加(%)>4(0)=0,故I")=cos%-1+1■在%￡上單調(diào)遞增，

所以/'(%)>/'(0)=0,故%'(x)=sin%—兀+「在上單調(diào)遞增,

6

所以左'(x)>〃(0)=0,故〃(x)=-cos尤+1-工+工在xe0，、J上單調(diào)遞增,

v'224

所以g'（尤）＞g'（O）=。，故8（耳=?）$了一|1-合+三一看）在工€[0,|^上單調(diào)遞增,

8sl—--—>0.54-0.01=0.53>-,

224720247206

:?b>a,

.I故選：C.

2.(23-24高三上?湖北?開學(xué)考試)已知a=sin'，b=立,c=ln2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

52

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】對于a,由sinx<x[0<x<5j,則sin1<^0.63,故a<0.63；

對于b,&=—>^?=—=0.8,故6>0.8；

222

對于c,由于=e2?7.39<8=23,則￡<2,從而可得皿2>,名0.67

(3丫33

同理，e，=e3?20.08<16=24,則3、,，從而可得ln2<—=0.75

IJC：N4

所以有0.67vc=ln2Vo.75

%2%345111147

(或利用ln(l+九)=%—土+土—土+土，ln(l+l)=l——+——+-=—?0.78)

2345234560

綜上，avcvb故選：A

3.(23-24高三上?山西運(yùn)城?月考)已知a=l+sin0.1,Z?=l+lnl.l,c=1.0110,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

lo

【解析】由c=LOli°=(l+O.l)i°=l+C；o?O.Ol+C3O.O12+..+C；^O.Ol>l+C]o-O.Ol+=1.1