甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁2024-2025學(xué)年甘肅省張掖市肅南裕縣高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算.【詳解】由已知,故選：B．2.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)槭浅?shù)，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：D.3.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出公比，進(jìn)而化簡求值即可．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，或（舍）則故選：B4.已知在R上可導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出和的解，然后可得原不等式的解．【詳解】由在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像可知：當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，從而可得不等式的解集為，故選：B．5.把一個(gè)周長為的長方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，圓柱底面半徑為（）A B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，得到，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，可得，則該圓柱的體積，則，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，圓柱體積取得最大，此時(shí)圓柱的高為.故選：C.6.若對任意的，且，都有，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間的關(guān)系，求出的單調(diào)減區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，得到，即，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，由，得到，由，得到，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故選：B.7.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂直性質(zhì)可得，再求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的方程為，再設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，列式求解即可【詳解】由題知，，令，又，解得，因?yàn)?，所以切線的方程為.，設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，所以，故，即，，解得或.故選：D8.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷其在上的單調(diào)性，再通過得到.然后通過不等式放縮得到，從而得到，由此得解.【詳解】設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)有，所以在上單調(diào)遞減.這表明，即，從而，即.注意到，從而，即，所以，綜上，有.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中較為關(guān)鍵的是比較和的大小，而這可以轉(zhuǎn)化為比較和的大小，觀察結(jié)構(gòu)不難想到去研究的單調(diào)性.二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則可以取到的整數(shù)值有（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，由題知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，即，故選：AB.10.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于兩點(diǎn)，則（）A.與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.僅存在一條直線，使C.若都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是D.若直線斜率為1，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對于A，設(shè)與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入點(diǎn)，得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對于B，由于通徑為，實(shí)軸長，而過右焦點(diǎn)的弦長，，而，所以直線不止一條，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，化簡整理得，則，，，，若A、B都在該雙曲線的右支上，則，即，解得，所以直線的斜率的取值范圍為，故C正確；對于D，設(shè)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，兩式相減整理得，因?yàn)?，則，又，解得，，所以弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域是，是的導(dǎo)函數(shù)，若對任意的，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】構(gòu)造，則根據(jù)有單調(diào)遞增，再利用單調(diào)遞增得到相應(yīng)的不等式以判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，則定義在上，且，所以單調(diào)遞增.由單調(diào)遞增知，從而，A錯(cuò)誤；由單調(diào)遞增知，從而，B正確；由單調(diào)遞增知，從而，C正確；由單調(diào)遞增知當(dāng)時(shí)，則，有，從而，即，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知，，則下列結(jié)論正確是（）A.函數(shù)在上存在極大值B.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是C.若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為D.若，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性判斷A；求出并利用導(dǎo)數(shù)探討其性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性脫去法則“f”，再利用的單調(diào)性求出最小值判斷C；由已知結(jié)合同構(gòu)思想得，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值判斷D.【詳解】對于A，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，于是，因此在上單調(diào)遞增，在上無極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對于B，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，則，即，顯然當(dāng)時(shí)，恒有，方程有兩個(gè)不同實(shí)根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，不等式，則有，，由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以實(shí)數(shù)a的最大值為，C正確；對于D，若，則，即，由，得，由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，，因此，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，從而，所以的最大值為，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)椋詥握{(diào)遞增區(qū)間是考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用14.已知函數(shù)在處取得極小值，則_________．【答案】【解析】【分析】對求導(dǎo)，根據(jù)題意建立方程組，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，由題有，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)函數(shù)的極小值點(diǎn)，故滿足題意，所以，故答案為：.15.已知函數(shù)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，代入即可得解.【詳解】由題意，可得，當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】計(jì)算得到，然后令，并利用導(dǎo)數(shù)分析的正負(fù)性，再將其與的正負(fù)性結(jié)合，得到的正負(fù)性，即可推知的單調(diào)性，進(jìn)一步得到的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.【詳解】由，知.令，則，且.下面先來討論的正負(fù)性：當(dāng)時(shí)，有，所以單調(diào)遞增，而，，所以存在唯一的零點(diǎn)，且，結(jié)合單調(diào)性，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.同時(shí)，如果，則，而，且由知，結(jié)合，可知存在，使得，結(jié)合單調(diào)性，知當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí).綜上，我們有以下結(jié)果：當(dāng)時(shí)，存在使得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，存在，使得，且當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí).下面進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，如上圖所示.根據(jù)之前的討論，此種情況下，存在使得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).從而由，知當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在和上遞增，在上遞減，這表明和都是的極值點(diǎn)，從而至少有2個(gè)極值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，如上面三張圖所示（分別對應(yīng)，和的情形）.根據(jù)之前的討論，此種情況下，當(dāng)時(shí)，必有.從而由，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).從而在和上遞減，在上遞增.故在上遞減，在上遞增，這表明只有一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)且時(shí)，如上面兩張圖所示（分別對應(yīng)和的情形）.根據(jù)之前的討論，此種情況下，存在，，使得，且當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí).由于，故.設(shè)將從小到大排序后分別是.從而由，知當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí).故在和上遞減，在和上遞增.這表明都是的極值點(diǎn)，從而至少有3個(gè)極值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，如上圖所示.根據(jù)之前的討論，此種情況下，存在，，使得，且當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí).由于，，故.從而由，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).從而在上遞減，在和上遞增.故在上遞減，在上遞增，這表明只有一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對中的因子單獨(dú)研究其正負(fù)性，然后與結(jié)合，再利用“穿針引線法”得到的正負(fù)情況.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知曲線，求：（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）曲線過點(diǎn)的切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先得到點(diǎn)是切點(diǎn)，故只需求出即可得解；（2）首先得到點(diǎn)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，由，即可列式并聯(lián)立求解即可.【小問1詳解】由于，從而點(diǎn)是切點(diǎn)，又，所以，從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】由，從而點(diǎn)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，顯然，一方面，另一方面，聯(lián)立以上兩式可得，所以或，也就是或，又，，所以曲線過點(diǎn)的切線方程為或，也就是或.18.已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出，利用裂項(xiàng)求和法求得結(jié)果.【小問1詳解】由，可得，，兩式相減得，又，，即，，又，解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，.【小問2詳解】由（1），，所以.19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論的正負(fù)確定和的解，得單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性分類討論得最小值．【小問1詳解】由，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有，，，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.20.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作兩條斜率為的直線分別交曲線于（異于）兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）證明見詳解，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）求得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線與的斜率之積等于列方程，化簡求得動點(diǎn)P的軌跡方程.（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可得，根據(jù)條件，可得，化簡運(yùn)算得得解.【小問1詳解】由題意，，，設(shè)點(diǎn)，所以，，化簡整理得.所以動點(diǎn)的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)直線，，，聯(lián)立，化簡整理得，則，則，，而，所以，化簡整理得，，則，整理得，解得或，直線不過點(diǎn)，故（舍去），所以，直線，所以直線過定點(diǎn).21.設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)時(shí)，證明：．【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明；（2）由題意可得是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，即可利用韋達(dá)定理結(jié)合題意得到的范圍，并將中的變量替換成，再借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，要證，即證，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即成立.【小問2詳解】，由在上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以方程，即有兩個(gè)不同的正根，則，解得，又，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）設(shè)，不等式對恒成立，求整數(shù)的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，不等式對恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）極大值為，無極小值（2）（3）【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，得到，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的最小值，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)條件得到對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到，從而有，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取到極大值，無極小值.【小問2詳解】因?yàn)椋?，得到，所以不等式對恒?/p>