2024-2025學年高中數(shù)學 第1章 三角函數(shù) 1.4 三角函數(shù)的圖象與性質 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（教師用書）教學實錄 新人教A版必修4

2024-2025學年高中數(shù)學第1章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（教師用書）教學實錄新人教A版必修4科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學年高中數(shù)學第1章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（教師用書）教學實錄新人教A版必修4設計意圖本節(jié)課旨在通過引導學生觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，讓學生掌握函數(shù)圖象的基本特征，理解函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質，為后續(xù)學習三角函數(shù)的應用奠定基礎。教學過程中，注重培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，通過分析正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，抽象出函數(shù)的一般性質。

2.增強學生的邏輯推理能力，通過觀察和比較，推導出函數(shù)的周期性、奇偶性等性質。

3.提升學生的直觀想象能力，通過圖象直觀理解函數(shù)的變化規(guī)律。

4.強化學生的數(shù)學建模能力，將實際問題轉化為數(shù)學模型，并用函數(shù)圖象進行分析。重點難點及解決辦法重點：

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的繪制方法及特征。

2.函數(shù)周期性、奇偶性、單調(diào)性的識別與理解。

難點：

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的對稱性、周期性在圖象上的體現(xiàn)。

2.從圖象直觀理解函數(shù)性質與函數(shù)解析式之間的關系。

解決辦法：

1.通過實際操作，引導學生繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象，并總結出繪制方法。

2.利用實例分析，幫助學生理解周期性、奇偶性、單調(diào)性在圖象上的表現(xiàn)。

3.通過對比解析式與圖象，引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質與圖象特征之間的聯(lián)系。

4.設計分層練習，逐步突破難點，提高學生解決問題的能力。教學資源1.軟硬件資源：多媒體教學設備（投影儀、電腦）、白板、粉筆、三角尺。

2.課程平臺：學校內(nèi)部教學平臺，用于發(fā)布教學資料和作業(yè)。

3.信息化資源：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的動態(tài)演示軟件，如幾何畫板、Mathematica等。

4.教學手段：實物教具（如圓形旋轉模型），用于直觀展示函數(shù)圖象的形成過程。教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對三角函數(shù)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們在日常生活中有沒有遇到過需要測量角度或距離的情況？”

展示一些關于測量角度和距離的圖片或視頻片段，如建筑工人使用測量工具、運動員比賽中的計時等。

簡短介紹三角函數(shù)的基本概念和重要性，為接下來的學習打下基礎。

2.三角函數(shù)基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解三角函數(shù)的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解三角函數(shù)的定義，包括正弦、余弦、正切等基本三角函數(shù)。

詳細介紹三角函數(shù)的組成部分或結構，使用圖表或示意圖幫助學生理解。

3.三角函數(shù)案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解三角函數(shù)的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的三角函數(shù)應用案例進行分析，如建筑設計中的三角函數(shù)計算、物理中的振動問題等。

詳細介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學生全面了解三角函數(shù)的多樣性或復雜性。

引導學生思考這些案例對實際生活或學習的影響，以及如何應用三角函數(shù)解決實際問題。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與三角函數(shù)相關的主題進行深入討論，如“三角函數(shù)在物理學中的應用”或“三角函數(shù)在工程設計中的角色”。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對三角函數(shù)的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學生和教師對展示內(nèi)容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)三角函數(shù)的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，包括三角函數(shù)的基本概念、組成部分、案例分析等。

強調(diào)三角函數(shù)在現(xiàn)實生活或學習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用三角函數(shù)。

7.課后作業(yè)布置（5分鐘）

目標：鞏固學習效果，培養(yǎng)學生獨立思考和解決問題的能力。

過程：

布置課后作業(yè)：讓學生完成以下任務：

（1）繪制正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，并標注出關鍵點。

（2）選擇一個實際生活中的問題，運用三角函數(shù)進行建模和分析。

（3）撰寫一篇簡短的報告，總結本節(jié)課的學習收獲和心得體會。知識點梳理1.三角函數(shù)的定義：

-正弦函數(shù)：一個角度的余弦值。

-余弦函數(shù)：一個角度的正弦值。

-正切函數(shù)：一個角度的正弦值除以余弦值。

2.三角函數(shù)的周期性：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期為2π。

-正切函數(shù)的周期為π。

3.三角函數(shù)的奇偶性：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是偶函數(shù)。

-正切函數(shù)是奇函數(shù)。

4.三角函數(shù)的圖象：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象是連續(xù)的波形。

-正切函數(shù)的圖象有垂直漸近線。

5.三角函數(shù)的性質：

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在[π,2π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

-正切函數(shù)在(0,π/2)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在(π/2,π)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

-正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在π的整數(shù)倍處取得零值。

-正切函數(shù)在π的整數(shù)倍處取得無窮大值。

6.三角函數(shù)的誘導公式：

-正弦函數(shù)的誘導公式：sin(π-α)=sinα，sin(π+α)=-sinα。

-余弦函數(shù)的誘導公式：cos(π-α)=-cosα，cos(π+α)=-cosα。

-正切函數(shù)的誘導公式：tan(π-α)=-tanα，tan(π+α)=tanα。

7.三角函數(shù)的倍角公式：

-正弦函數(shù)的倍角公式：sin2α=2sinαcosα。

-余弦函數(shù)的倍角公式：cos2α=cos2α-sin2α。

-正切函數(shù)的倍角公式：tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)。

8.三角函數(shù)的和差公式：

-正弦函數(shù)的和差公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

-余弦函數(shù)的和差公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

-正切函數(shù)的和差公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

9.三角函數(shù)的應用：

-在幾何學中，用于計算角度、邊長和面積。

-在物理學中，用于描述振動、波動和旋轉運動。

-在工程學中，用于設計和分析結構、電路和系統(tǒng)。

10.三角函數(shù)的極限：

-當α趨向于0時，sinα/α趨向于1。

-當α趨向于π/2時，cosα趨向于0。

-當α趨向于π時，tanα趨向于無窮大。典型例題講解例題1：求函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。

解答：由于正弦函數(shù)的周期為2π，且在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在[π,2π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因此最大值出現(xiàn)在x=π/2處，最小值出現(xiàn)在x=3π/2處。計算得：

f(π/2)=sin(π/2)=1

f(3π/2)=sin(3π/2)=-1

所以，函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值為1，最小值為-1。

例題2：已知點P(3,4)在單位圓上，求∠POA的正切值，其中O為原點，A為點P在x軸上的投影。

解答：由于點P(3,4)在單位圓上，所以OP的長度為1。在直角三角形OAP中，OA的長度為1，AP的長度為3。因此，∠POA的正切值為：

tan(∠POA)=OP/AP=1/3

例題3：求函數(shù)g(x)=cos(2x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

解答：由于余弦函數(shù)的周期為2π，且在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因此最大值出現(xiàn)在x=0處，最小值出現(xiàn)在x=π/2處。計算得：

g(0)=cos(2*0)=cos(0)=1

g(π/2)=cos(2*(π/2))=cos(π)=-1

所以，函數(shù)g(x)=cos(2x)在區(qū)間[0,π]上的最大值為1，最小值為-1。

例題4：已知tan(α)=2，求sin(α)和cos(α)的值。

解答：由于tan(α)=sin(α)/cos(α)，可以設sin(α)=2k，cos(α)=k，其中k是一個常數(shù)。由于sin2(α)+cos2(α)=1，可以得到：

(2k)2+k2=1

4k2+k2=1

5k2=1

k2=1/5

k=±√(1/5)

因此，sin(α)=2k=±2√(1/5)，cos(α)=k=±√(1/5)。

例題5：求方程sin(x)-cos(x)=1在區(qū)間[0,2π]上的解。

解答：將方程sin(x)-cos(x)=1轉換為sin(x)=1+cos(x)。利用恒等式sin2(x)+cos2(x)=1，可以得到：

sin2(x)=(1+cos(x))2

sin2(x)=1+2cos(x)+cos2(x)

sin2(x)-cos2(x)=2cos(x)

(sin(x)+cos(x))(sin(x)-cos(x))=2cos(x)

由于sin(x)+cos(x)≠0（否則sin(x)=-cos(x)，與原方程矛盾），可以除以sin(x)+cos(x)得到：

sin(x)-cos(x)=2/(sin(x)+cos(x))

設t=sin(x)+cos(x)，則sin(x)-cos(x)=2/t。由于sin2(x)+cos2(x)=1，可以得到：

t2=sin2(x)+2sin(x)cos(x)+cos2(x)

t2=1+2sin(x)cos(x)

t2=1+2(t/2)

t2=1+t

t2-t-1=0

解這個二次方程得到t的值，然后回代求解sin(x)和cos(x)的值。板書設計①三角函數(shù)定義

-正弦函數(shù)：y=sin(x)

-余弦函數(shù)：y=cos(x)

-正切函數(shù)：y=tan(x)

②三角函數(shù)性質

-周期性：周期為2π

-奇偶性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)為偶函數(shù)，正切函數(shù)為奇函數(shù)

-單調(diào)性：正弦函數(shù)在[0,π]遞增，在[π,2π]遞減；余弦函數(shù)在[0,π]遞減，在[π,2π]遞增；正切函數(shù)在(0,π/2)遞增，在(π/2,π)遞減

③三角函數(shù)圖象

-正弦函數(shù)圖象：波形，在x=π/2時達到最大值，在x=3π/2時達到最小值

-余弦函數(shù)圖象：波形，在x=0時達到最大值，在x=π時達到最小值

-正切函數(shù)圖象：在x=π/2和x=3π/2處有垂直漸近線

④三角函數(shù)誘導公式

-sin(π-α)=sinα

-cos(π-α)=-cosα

-tan(π-α)=-tanα

⑤三角函數(shù)倍角公式

-sin(2α)=2sinαcosα

-cos(2α)=cos2α-sin2α

-tan(2α)=(2tanα)/(1-tan2α)

⑥三角函數(shù)和差公式

-sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

-cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

-tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.互動式教學：在課堂上，我嘗試通過提問、小組討論等方式，讓學生參與到課堂中來，提高他們的參與度和積極性。

2.案例教學：結合實際生活，引入具體的案例，讓學生在實際問題中應用三角函數(shù)知識，增強他們的實踐能力。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.教學組織：有時候課堂紀律管理不夠嚴格，導致部分學生注意力不集中，影響了整體教學效果。

2.教學方法：在講解三角函數(shù)的性質時，可能過于依賴理論講解，忽視了學生的直觀感受，導致學生理解不夠深入。

3.教學評價：評價方式較為單一，主要依靠期末考試，未能全面評估學生的學習成果。

反思改進措施（三）改進措施

1.課堂紀律管理：加強課堂紀律管理，通過制定明確的課堂規(guī)則，讓學生養(yǎng)成良