2025年山東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案解析）

山東省2025年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)學(xué)科模擬試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求.

1.數(shù)軸上點(diǎn)A表示的有理數(shù)為-4,點(diǎn)B表示的有理數(shù)為-1,點(diǎn)P在線段NB上，則點(diǎn)P表示的數(shù)可能是

A.-5B.-3

2.我國新能源汽車表現(xiàn)亮眼，連續(xù)9年摘得全球產(chǎn)銷量第一桂冠，產(chǎn)銷量全球占比均超過60%.以下新

能源汽車圖標(biāo)既是中心對稱，還是軸對稱的是（）

C.理想D.蔚來

3.國際學(xué)術(shù)期刊《自然》在2024年5月30日發(fā)表了我國生物專家朱家鵬教授及其團(tuán)隊(duì)研究成果，團(tuán)隊(duì)

突破“蛋白質(zhì)純化”這一傳統(tǒng)概念，直接對線粒體成像，獲得了迄今為止最清晰、最接近真實(shí)生理狀態(tài)的線

粒體原位膜蛋白高分辨率三維解析結(jié)構(gòu)，局部分辨率最高達(dá)0.00000000018米，其中0.00000000018用科

學(xué)計(jì)算法表示為（）

A.1.8x10-9B.0.18x10-°C.18x10D.1.8x107°

4.把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的主要方法有切截、展開、從不同方向看.下列方法得到的平面圖形是長

方形的是（）

D從左面看,

A.截面,B截面C.側(cè)面

展開

5】滿足4加-3（加+1）22020的最小整數(shù)冽是（）

A.2020B.2022C.2023D.2024

6.小夏今天在課堂練習(xí)中做了以下5道題，其中做對的有（）

①（-a].q=_7；②Q10+Q2=Q5；③（一/3）=Q%6；④2—.（一3、2+1）=-6/+1;

（5）（x+2）（x+l）=x~+3x+2.

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.北京時(shí)間12月4日，我國申報(bào)的“春節(jié)——中國人慶祝傳統(tǒng)新年的社會實(shí)踐”通過評審，列入聯(lián)合國教

試卷第1頁，共10頁

科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.現(xiàn)將四張大小相同的正方形卡片拼成如圖所示的正方形靶盤

（其中兩張卡片上是“春，，字，另外兩張上是“?！弊郑?現(xiàn)向該靶盤隨機(jī)擲兩次飛鏢，則兩次射中的卡片上的

字不相同的概率為（）

8.荷花寓意“家庭美滿，生活和諧”，圖1是一幅環(huán)形荷花裝飾掛畫.將其視為如圖2的扇形環(huán)面（由扇形

048挖去扇形0C。），403=108。，0c的長度是10cm,的長度是30cm,則該環(huán)形荷花裝飾掛畫的

面積是（）

A.160兀cmB.2407rcmC.3607tcmD.4807icm

9.下列命題中正確的是（）

A.如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么4a,4b,4c也是一組勾股數(shù)

B.如果一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比是1：2：3,那么這個三角形三個內(nèi)角所對的邊之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的兩邊分別是3,4,那么斜邊一定是5

D.任何一個定理都有逆定理

10.如圖，線段NB=20cm,。是線段48上的中點(diǎn)，P、。是線段48上的動點(diǎn)，點(diǎn)尸沿/fB/以4cm/s

的速度運(yùn)動，點(diǎn)。沿以2cm/s的速度運(yùn)動.若尸、0點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，當(dāng)。P=。。時(shí)，運(yùn)動時(shí)間為（）.

PQ

III11

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分.

11.請寫出一個二次根式,使它滿足只含有一個字母x,且當(dāng)x22時(shí)有意義.

12.對于實(shí)數(shù)a,6定義一種新運(yùn)算“☆”如下:a^b=ab2-ab,例如4^3=4x32-4x3=24,則關(guān)于x的

方程1☆x=2的根為.

試卷第2頁，共10頁

13.如圖，一次函數(shù)V=x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)5是線段CM上一點(diǎn).過點(diǎn)5作y軸的垂線/,直

線/與一次函數(shù)y=x+4的圖象交于點(diǎn)與正比例函數(shù)>=2x的圖象交于點(diǎn)N.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于y軸

對稱時(shí)，OB=______.

Ax

14.如圖，將反比例函數(shù)了=夕發(fā)>0,x>0)的圖像繞著坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)e°(0<a<90),旋轉(zhuǎn)后的圖

15.我們知道，一元二次方程x2=-l沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個實(shí)數(shù)的平方等于-1.若我們規(guī)定一個新數(shù)“i”,

使其滿足i2=-l(即方程X2=-1有一個根為i).并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原

有運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有i』i,i2=-l,i3=i2?i=(-1)-i=-i,i4=(i2)2=(.1)2=1,從而對于任

意正整數(shù)n,我們可以得到i4n+l=i4n.i=。4)n.i=i,同理可得igjl,i4n+3=/,j41M.那么

i+i2+i3+i4+...+i2015+i2016+i2017的值為

三、解答題：本題共8小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本題每小題5分，共10分)

⑵▲rJ卜屋,再選一個合適的X的值代入求值，其中XE且尤為整數(shù).

試卷第3頁，共10頁

17.（本小題滿分10分）

平行四邊形的一組對邊的中點(diǎn)連線的垂直平分線與平行四邊形的另外一組對邊所在直線交于兩點(diǎn)，這兩個

點(diǎn)與原來的兩個中點(diǎn)組成的四邊形是菱形.為了驗(yàn)證這個結(jié)論，小希進(jìn)行了以下操作，請按要求完成下列

問題：

如圖，在平行四邊形4BCD中，E、尸分別為邊48、CD的中點(diǎn)，連接瓦L

⑴尺規(guī)作圖：作出EF的垂直平分線，交直線8c于點(diǎn)G、H,GH交EF于點(diǎn)O,連接

EG、FG、FH、（只保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）結(jié)合（1）中圖形，請你幫小希完成以下證明過程并將答案填在答題卡上對應(yīng)的橫線上:

證明：在平行四邊形4&CD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

■:E、尸分別為48、CD的中點(diǎn)，

/.AE=-AB,DF=-CD,

22

.?.①,AE//DF,

四邊形NEED為平行四邊形，

EF//AD//BC,

：.GO=OH,

'/GH為EF的垂直平分線，

.,.③,

四邊形EGW為平行四邊形，

??EF1GH

四邊形EGHf為菱形.

小希進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平行四邊形/5CD為正方形時(shí)，四邊形EGFH的形狀為④

試卷第4頁，共10頁

18.（本小題滿分10分）

如圖，點(diǎn)3（2,〃）是直線>=幻（左。0）上的點(diǎn)，如果直線>=幻（左。0）平分々Ox,軸于A,BCly

軸于C.

（1）求左i的值;

（2）如果反比例函數(shù)歹=與（左2，0）的圖像與8。、54分別交于點(diǎn)。、E,求證：OD=OE；

4

⑶在（2）的條件下，如果四邊形ADOE的面積是A/8O面積的求反比例函數(shù)的解析式.

試卷第5頁，共10頁

19.(本小題滿分11分)

為促進(jìn)中學(xué)生對傳統(tǒng)年俗文化知識的了解,重慶某中學(xué)在八年級和九年級開展了“傳統(tǒng)年俗文化知識競賽”,

并從八年級和九年級的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的競賽成績(百分制)，通過收集、整理、描述和

分析（得分用X表示，共分為四組：A.90<X<100,B.80Vx<90,C.70Vx<80,D.X<70）,得

到如下不完全的信息：

八年級所抽取學(xué)生競賽成績條形圖

八、九年級所抽學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

八年級86.6m86

九年級86.688.5n

八年級抽取的競賽成績在3組中的數(shù)據(jù)為：89,88,86,86,86,86

九年級抽取的所有學(xué)生競賽成績數(shù)據(jù)為：99,98,96,96,94,92,92,90,90,89,

88,88,88,82,81,77,77,76,73,66

請根據(jù)以上信息完成下列問題:

(1)填空：m=,n=______,并補(bǔ)全八年級的成績條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該中學(xué)八年級和九年級中哪個年級學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀？請說明理由(寫出一

條理由即可)；

(3)規(guī)定在90分及其以上的為優(yōu)秀等級，該校八年級和九年級參加知識競賽的學(xué)生共有1600名，請你估計(jì)

八年級和九年級參加此次知識競賽的學(xué)生中獲得優(yōu)秀等級的共有多少人？

試卷第6頁，共10頁

20.（本小題滿分11分）

【情境知識技能】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組活動時(shí)，小紅給小波出了一道題：

（1）如圖1,在等腰Rt44BC中，/2=NC,NB4C=90。,點(diǎn)D,￡在邊3c上，且ND/E=45。,小紅對

小波說：“圖中線段BD、和EC有一定的數(shù)量關(guān)系，你知道嗎?”

小波毫不思索的回答道：“太簡單了，把繞點(diǎn)/逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。得到A/CR連接EF,就能證出

Ba+EC2=QE2小紅微笑著點(diǎn)了點(diǎn)頭，并給小波豎起了大拇指.

【解決問題】

①若AB=672,EC=4,則BD=；

②請你幫助小波證明他的結(jié)論.

【情境理解應(yīng)用】

（2）小波接著對小紅說：“如圖2,在四邊形4BCD中,NBAD=/BCD=9。度,AB=AD,ZACD=45°,

若48=50,3C=6,你知道/C的長嗎?”，小紅會意點(diǎn)了頭.小紅的答案是1C=.

試卷第7頁，共10頁

21.(本小題滿分12分)

【問題提出】

(1)如圖1,尸是半徑為5的。。上一點(diǎn)，直線機(jī)是OO外一條直線，于點(diǎn)0,圓心。到直線加的

距離為7,則線段尸。的最大值為:

【問題探究】

(2)如圖2,點(diǎn)尸是正方形/BCD內(nèi)一點(diǎn)，連接8尸、CP,則NAPC=90。，若4B=4,求4P的最小值;

【問題解決】

(3)如圖3,有一塊形狀為的濕地，其中NA4c=90。，AB=6km,AC=3km.點(diǎn)。是/C上的

一個動點(diǎn)，以AD為直徑在A/BC內(nèi)作半圓。，現(xiàn)要將半圓。建為觀測區(qū)，連接BRAD與半圓。交于點(diǎn)￡,

連接CE,沿CE修一條步道，為了節(jié)約成本，要使得CE的長度最短，試求CE的最小值.

試卷第8頁，共10頁

22.（本小題滿分12分）

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

圖①是寧寧家安裝的戶外遮陽篷.圖②是其側(cè)面示意圖，已知該遮陽篷安裝在垂直于地面

的墻面上，篷面安裝點(diǎn)/離地面4米，篷面與墻面的夾角/。48=60。，篷面寬/。=3米.除

此之外，為了保障遮陽篷的穩(wěn)定性，還加裝了支架VN穩(wěn)定篷面.支架兒W的安裝方式如下：

點(diǎn)M固定在墻面上，位于點(diǎn)/的正下方，即點(diǎn)/,M,2共線；點(diǎn)N固定在篷面上離/點(diǎn)1

米處（點(diǎn)N,。共線），即NN=1米，支架AW與墻面的夾角N/MV=45。.

素材1

圖①圖②

寧寧所在地區(qū)某天下午不同時(shí)間的太陽高度角a（太陽光線與地面的夾角）的正切值參照表:

時(shí)刻12點(diǎn)13點(diǎn)14點(diǎn)15點(diǎn)

角a的正切值432.52

寧寧養(yǎng)了一株龍舌蘭（圖③），該植物喜陽，所以寧寧經(jīng)常把龍舌蘭搬到能被太陽光照射到的

地方，以保證龍舌蘭有充足的光照，如圖②，這株龍舌蘭擺放的位置記為點(diǎn)￡.

圖③

任務(wù)1確定安裝點(diǎn)請求出支架兒W的固定點(diǎn)M與/點(diǎn)的距離的長.

任務(wù)2確定影子長請求出這天13點(diǎn)時(shí)遮陽篷落在地面上影子的長度.

判斷能否照這天14點(diǎn)，寧寧將龍舌蘭擺放到點(diǎn)￡處，為了保證龍舌蘭能被太陽光照射到，

任務(wù)3

射到請求出此時(shí)擺放點(diǎn)離墻角距離的取值范圍.

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23.(本小題滿分14分)

2

已知在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩條拋物線M=爐-4,y2=ax+x為常數(shù)).

(1)若拋物線弘=/-4與x軸正半軸的交點(diǎn)落在拋物線了2=辦?+》上，求。的值；

(2)已知拋物線了2=。/+無可由拋物線乂=/-4繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)180。得到，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)若在-4Vx40的范圍內(nèi)，始終存在求。的取值范圍(直接寫出答案).

試卷第10頁，共10頁

《山東省2024-2025學(xué)年初中學(xué)業(yè)水平模擬考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案BBDCCDABAC

1.B

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)

【分析】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)P的

位置在-4和-1之間，再由選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)可得點(diǎn)尸表示的數(shù).

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)A表示的有理數(shù)為-4,點(diǎn)B表示的有理數(shù)為-1,點(diǎn)尸在線段上，

所以點(diǎn)尸表示的數(shù)大于等于-4且小于等于-1,

只有選項(xiàng)B符合要求，

故選：B

2.B

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的識別、中心對稱圖形的識別

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，

直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個

點(diǎn)就是它的對稱中心.

根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

B.是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；

C.不是軸對稱圖形，不中心對稱圖形，不符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選B.

3.D

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，一般形式為axl(T,其中

1<H<10,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)幕，指數(shù)由原數(shù)左邊起

答案第1頁，共22頁

第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】解：0.00000000018=1.8xlO-10,

故選D.

4.C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】截一個幾何體、從不同方向看幾何體、幾何體展開圖的認(rèn)識

【分析】本題考查了幾何體的展開圖以及認(rèn)識平面圖形，掌握圓柱和圓錐的特征是解答本題

的關(guān)鍵.根據(jù)圓柱、圓錐的特征解答即可.

【詳解】解：選項(xiàng)A的切截是一個圓，故選項(xiàng)A不符合題意；

選項(xiàng)B的切截是一個等腰三角形，故選項(xiàng)B不符合題意；

選項(xiàng)C是圓柱的側(cè)面展開圖，是一個長方形，故選項(xiàng)C符合題意；

選項(xiàng)D從左面看是一個等腰三角形，故選項(xiàng)D不符合題意.

故選：C.

5.C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解

【分析】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解，在對于不等式整數(shù)解，要先確定未知數(shù)的取值

范圍，再找到滿足題意的整數(shù)解.

先求出不等式的解集，再找到最小整數(shù)解即可.

【詳解】4m-3（m+l）>2020,

去括號，4m-3m-3>2020,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得機(jī)22023,

,最小整數(shù)加是2023.

故選：C.

6.D

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】積的乘方運(yùn)算、同底數(shù)幕的除法運(yùn)算、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用、計(jì)算多項(xiàng)式乘多

項(xiàng)式

【分析】本題主要考查了哥的計(jì)算，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟知相關(guān)計(jì)算

答案第2頁，共22頁

法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：=故①計(jì)算正確；

故②計(jì)算錯誤；

（-a2Z>3）2=^b6,故③計(jì)算正確；

2X2.（-3X2+1）=-6X4+2X2,故④計(jì)算錯誤；

（x+2）（x+1）=x2+lx+x+2=x2+3x+2,故⑤計(jì)算正確；

...計(jì)算正確的有3個，

故選：D.

7.A

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖求隨機(jī)事件的概率，清晰地列出所有可能的情況，并

準(zhǔn)確找出滿足條件的情況，是解題的關(guān)鍵；

首先明確靶盤的布局，然后找出所有可能的投擲結(jié)果，并確定其中兩次射中卡片上的字不相

同的結(jié)果數(shù)，最后計(jì)算概率.

【詳解】解：設(shè)正方形靶盤被分為四個相等的正方形區(qū)域，分別標(biāo)記為“春1”，“春2”，“福

1”，“福2”.

春1春2福1福2

春1春1春1春2春1福1春1福2春1

春2春1春2春2春2福1春2福2春2

福1春1福1春2福1福1福1福2福1

福2春1福2春2福2福1福2福2福2

兩次射中卡片的總情況有16種，即每張卡片都有可能被射中兩次，形成4x4=16種組合.

射中“春''和"福''的組合有8種，即（春1,福1）,（春1,福2）,（春2,福1）,（春2,福2）,

以及反向的（福1,春1）,（福1,春2）,（福2,春1）,（福2,春2）.這8種情況滿足條

件.

答案第3頁，共22頁

O1

因此，兩次射中的卡片上的字不相同的概率為尸=77=彳，

162

故選：A.

8.B

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】求扇形面積

【分析】此題考查了扇形面積，利用較大扇形面積減去較小扇形面積即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，該環(huán)形荷花裝飾掛畫的面積是：

108^-x3021087rxIO?

------------------------------=2407cm2),

360360''

故選：B

9.A

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】勾股樹(數(shù))問題、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、判斷命題真假、互逆定理

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義、三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識分別判斷后即可確定正確的選

項(xiàng).

【詳解】解：A、因?yàn)閍,b,c是一組勾股數(shù)，所以4a,4b,4c也是一組勾股數(shù)，則是真

命題，故本選項(xiàng)符合題意；

B、設(shè)這一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x,2x,3x，因?yàn)閤+2x+3x=180。，則x=30°,

即這一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)分別為30。,60。,90°,即該三角形為直角三角形，設(shè)最短

邊長為加，則斜邊長為27M,較長直角邊為J(2加『-加2=6〃,所以這個三角形三個內(nèi)

角所對的邊之比1:6:2,則是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、4也可能為斜邊，則是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、任何一個命題都有逆命題，但一個定理不一定有逆定理，則是假命題，故本選項(xiàng)不符合

題意；

故選：A

【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解勾股數(shù)的定義、三角形的性質(zhì)、勾股

定理等知識，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單.

10.C

【難度】0.65

答案第4頁，共22頁

【知識點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、與線段有關(guān)的動點(diǎn)問題

【分析】本題考查了動點(diǎn)問題、一元一次方程的應(yīng)用，學(xué)會根據(jù)兩點(diǎn)間的距離列出方程是解

題的關(guān)鍵.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為/S,分別表示出。尸和0。的長，再結(jié)合OP=。。列出方程，求出:

的值即可解答.

【詳解】解：???線段/8=20cm,。是線段上的中點(diǎn)，

AO=—AB=10cm，

2

設(shè)運(yùn)動時(shí)間為is，則BQ=2/cm,

AQ=AB-NQ=(20-2。cm,

???OQ=\AQ-AO\=|20-2f-10|=|10-2t\cm,

???點(diǎn)P沿/f5f4以4cm/s的速度運(yùn)動，

，分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P沿4fB運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B需要時(shí)間20+4=5s,

當(dāng)0WfW5時(shí)，AP=4/cm,

:.OP=\AO-AP\=\iQ-^t\cm,

■：OP=OQ,

.■.|10-4z|=|10-2?|,

.-.10-4/=10-2;aK10-4^=2；-10,

解得：f=0或f=

②當(dāng)點(diǎn)P沿Bf/運(yùn)動時(shí)，此時(shí)5WfW10,BP=At-20,

尸=20-(4/-20)=(40-4/)cm,

<9P=|^P-T10|=|40-4?-10|=|30-44cm,

■：OP=OQ,

.-.|30-4z|=|10-2/|,

.-.30-4f=10-2/^30-4?=2/-10,

解得：f=10或”毛20，

，綜上所述，當(dāng)。尸=。0時(shí)，運(yùn)動時(shí)間為0s、?s、型s或10s.

33

答案第5頁，共22頁

故選：c.

II.7^2（答案不唯一）

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查二次根式的定義，根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

【詳解】解：由題意可知：7^2（答案不唯一）滿足條件，

故答案為：4^2（答案不唯一）.

12.&=2,%2=一1

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，新定義，根據(jù)運(yùn)算“☆”的定義將方程2轉(zhuǎn)化為

一般式，然后根據(jù)因式分解法解方程即可.

【詳解】解：Va^b=ab2-ab,

??[☆尤=x~-x=2,

^=2,迎=-1,

故答案為：%=2,x2=-1.

13.-II-

33

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、正比例函數(shù)的

性質(zhì)

【分析】本題考查的是一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，軸對稱的性質(zhì)，正比例函數(shù)的性

質(zhì)，先求解4（0,4）,設(shè)N（私2〃?），可得再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得加的值，

從而可得答案.

【詳解】解：：一次函數(shù)^=尤+4的圖象與與V抽交于點(diǎn)A,

.,.當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

在正比例函數(shù)y=2x的圖象上，

答案第6頁，共22頁

設(shè)N（加,2加）,

???點(diǎn)〃與點(diǎn)N關(guān)于y軸對稱，

—m+4=2m,

解得：?=p

?。8

..2m=—,

3

Q

：.OB=~,

3

故答案為：g.

14.8器

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】求反比例函數(shù)解析式、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、角度問題（旋轉(zhuǎn)綜合題）

【分析】作出點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)前的對應(yīng)點(diǎn)3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得48CM=a,OB=OA=2由,

過點(diǎn)2作軸于點(diǎn)C,根據(jù)tanc="得出8C="0C,根據(jù)勾股定理求出OC=4,

22

即可得出點(diǎn)2的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)前的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)5,則48。4=々，

：/（25,0）,

OA=2不，

：■OB=OA=2行，

過點(diǎn)2作軸于點(diǎn)C,

；tana=@

2

.BC@，則

OC22

根據(jù)勾股定理可得：BC2+OC2=OB2,

</T\22

則℃?+y-OC=(2近了,

解得：OC=4,負(fù)值舍去,

答案第7頁，共22頁

/.BC^—OC=243,

2

AS（4,273）,

把8（4,26）代入y=:得：左=4x26=8后，

故答案為：8出.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是

掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心連線相等，所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，勾股定理，以及用待定

系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式的方法.

15.i

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】觀察與實(shí)驗(yàn)

［詳解】試題解析：；il=i,/2=-1,z3=z2.i=(-l).z=-i,i4=(z2)2=(-l)2=l.

可以發(fā)現(xiàn)它們4個一循環(huán)，一個循環(huán)的和為0.

z?+產(chǎn)+產(chǎn)+了+…+產(chǎn)。K+嚴(yán)6+嚴(yán)

故答案為大

點(diǎn)睛：,.'Z1=i,i2=-l,z3=i2-/=(-l)-z=-z,z4=(z2)2=(-l)2=l,z5=i,i6=-l.

可以發(fā)現(xiàn)4個數(shù)一個循環(huán)，而循環(huán)內(nèi)的和為0.即可計(jì)算.

2

16.(1)—4；(2)---,x=0時(shí)，原式=2.

x+1

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式化簡求值、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了含特殊角的實(shí)數(shù)運(yùn)算、分式化簡求值等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法

則是解題關(guān)鍵.

答案第8頁，共22頁

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、零次幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、平方根以及乘方

的性質(zhì)求解即可；

(2)先化簡分式，在根據(jù)分式有意義的條件選擇x的值代入求值即可.

【詳解】(1)解：原式=1+若一2-1-6+2-4=-4;

x-14(x+l)_2

(2)解：原式=

2(x+l)2x-1x+1

要是分式有意義，貝卜片士1,

.'.x=0,原式=2.

17.⑴見解析

G0

(2)@AE=DF,②"―，?OE=OF,④正方形

OH

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】作垂線(尺規(guī)作圖)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、證明四邊形是菱形、由平行截

線求相關(guān)線段的長或比值

【分析】本題主要考查線段垂直平分線的作法，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定，熟練掌握

性質(zhì)和判定是解答本題的關(guān)鍵.

(1)分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于!斯的長為半徑畫弧，兩弧將于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)N

作直線，則直線"N為跖的垂直平分線；

(2)根據(jù)菱形的判定定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】(1)解：如圖，直線為跖的垂直平分線，

(2)證明：在平行四邊形22CD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

'：E、尸分別為CD的中點(diǎn)，

答案第9頁，共22頁

AE=—AB,DF=—CD,

22

：.@AE=DF,AE//DF,

四邊形AEFD為平行四邊形,

EF//AD//BC,

為E尸的垂直平分線，

:.③OE=OF,

四邊形EGW為平行四邊形

:EF1GH,

四邊形EGEH■為菱形.

小希進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平行四邊形/8C。為正方形時(shí)，四邊形EGM的形狀為④正方形.

理由：當(dāng)平行四邊形為正方形時(shí)，如圖，

AGD

???四邊形/BCD是正方形，

AB=BC=CD=DA,AA=NB=NC=ND=90°,AB//CD,AD//BC,

,:E、尸分別為CO的中點(diǎn)，

AAE=-AB,DF=-CD,

22

AE=DF,

,/AE//DF,

.??四邊形AEFD為平行四邊形，

又NN=NO=90°,

答案第10頁，共22頁

.??ZAEF=ZDFE=90°,

???四邊形/EF。為矩形，

??.EF=AD.

：.AE=-EF,

2

???GH為EF的垂直平分線，

.?.OE=OF=AE,

又GH1AD,

GO=AE=OE,

同理可得，OF=OH,

：.GH=EF,且互相垂直平分，

，四邊形EGW是正方形

故答案為：①AE=DF，②生，③OE=OF,④正方形.

OH

18.(1)1

(2)見詳解

⑶”白

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與幾何綜合、反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函

數(shù)解析式

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)定理、勾股定

理、坐標(biāo)與圖形等知識，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題.

(1)首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及點(diǎn)B坐標(biāo)，可得/3=8。=2,進(jìn)而可得*2,2),

然后將其代入y小,即可求得匕的值;

⑵根據(jù)題意作出圖像，結(jié)合題意可得。(與高，,與，進(jìn)而可得0。=?！?杵+4,

即可證明結(jié)論;

(3)首先求得是A/80面積，進(jìn)而可得金邊形處結(jié)合。|^1,2],￡[2,日，求得

4

S四邊形5QOE=S四邊形ON"-SAONE—SAOCQ=4-左2,進(jìn)而解得左2=§,即可獲得答案.

答案第n頁，共22頁

【詳解】(1)解：：直線了=/x(%/0)平分々Ox,軸于A,8C,了軸于C,

AB=BC,

又；B(2,H),

：.AB=BC=2,

：.8(2,2),

將點(diǎn)B(2,2)代入y=kxx,

可得2=2占，解得匕=1；

(2)如下圖，

:反比例函數(shù)＞=與的圖像與8C、A4分別交于點(diǎn)。、E,

X

(3)V5(2,2),氏4_11軸于人，5。_1歹軸于。，

：?OA=OC=BC=AB=2,

：.S.?=-OA-AB=-x2x2=2,

“B0O22

4

1/四邊形BDOE的面積是“BO面積的§,

,&_f_48

??Q四邊形5OOE—一§/一§，

,?需吟〉

:.CD上,AE=4,

22

答案第12頁，共22頁

,?S四邊形Q80E-S四邊形0/8C-S^OAE-S40CD=2x2-5義2、寸一5義2、寸二4一左2，

即有4—左2=85,解得e=4!，

...反比例函數(shù)的解析式為y=金.

3%

19.(1)87,88.5,補(bǔ)圖見解析

(2)九年級學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀，理由見解析

(3)680人

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量、畫條形統(tǒng)計(jì)圖、求中位數(shù)、求眾數(shù)

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可求出如，?，根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖求出成績在。組的學(xué)

生人數(shù)，即可補(bǔ)全八年級的成績條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)判斷即可；

(3)用1600乘以八、九年級參加知識競賽的優(yōu)秀人數(shù)占比即可求解；

本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，樣本估計(jì)總體，掌握相關(guān)的統(tǒng)計(jì)知識是解

題的關(guān)鍵

【詳解】(1)解：由題意可得，機(jī)=登普=87,

???九年級抽取的學(xué)生競賽成績中88分的人數(shù)最多，

72=88,

故答案為：87,88.5,

由八年級的成績條形統(tǒng)計(jì)圖可得，成績在。組的學(xué)生人數(shù)為20-8-6-4=2人，

...補(bǔ)全八年級的成績條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

八年級所抽取學(xué)生競賽成績條形圖

(2)解：九年級學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀，理由如下:

答案第13頁，共22頁

兩個年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)相同，但九年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)和眾數(shù)都高于八年級

學(xué)生的，所以九年級學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀；

答：估計(jì)八年級和九年級參加此次知識競賽的學(xué)生中獲得優(yōu)秀等級的共有680人.

20.(1)①3②見解析(2)7A/2

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)

結(jié)論是關(guān)鍵.

(1)①由題意得8。=血/8=12，8。+。石=8,根據(jù)8。2+42=(8-8?！?即可求解；

②A/AD繞點(diǎn)/逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。得到A/CF,連接EF,則△/加＞烏/MB,ZFAD=90°,推

出。尸=BD,AF=AD,NACF=ZABD=45°,NFCE=90°；再證AFAEADAE，得EF=ED,

即可求解；

(2)作/G_LCD,由題意求得/。=/8=5拒,5。=7118=10,CD=8；根據(jù)N/CD=45。，

可推出NG=CG；根據(jù)DG2+/G2=4D2,得到關(guān)于/G的方程，即可求解;

【詳解】解：(1)①,：四=66，

BC=mAB=12,

,：CE=4,

BD+DE=8,

*.*BD2+EC2=DE2,

SD2+42=(8-SD)2,

解得：BD=3,

故答案為：3；

②證明：VAB=AC,ABAC=90°,

；.N4cB=NB=45°；

:qBD繞點(diǎn)、/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到“CF,連接EF,如圖所示：

答案第14頁，共22頁

則△45。名A4C尸，/FAD=90°,

:?CF=BD,AF=AD,ZACF=ZABD=45°,ZCAF=ZDAB,

???ZFCE=ZACF+ZACB=90°；

9：ZDAE=45°,

：./DAB+ZCAE=90°-/DAE=45°,

：.ZFAE=ZCAF+ZCAE=/DAB+ZCAE=45°,

^FAE=^DAE,

EF=ED；

CF2+CE2=EF2，

BD2+EC2=DE2;

(2)作/G_LCD于G,如圖所示：

；4B=AD,NB4D=9Q°,

是等腰直角三角形，

AD^AB=5A/2,BD=6AB=1Q，

,：ZBCD=90°,

CD=y]BD2-BC2=8；

：48=45°,AG1CD,

：.ZCAG=45°,

答案第15頁，共22頁

，/G=CG,

DG=CD-CG=CD-AG=8-AG；

DG2+AG2^AD2,

：.（8-/G）2+/G2=（5團(tuán)2,

解得：NG=1或NG=7,

AC=6AG，

AG=G或AC=1C，

在A/C￡>中，ZACD=45°,ZADC=ZADB+ZBDC=45°+ZBDC>45°,

/.AC>AD,

AC=16,

故答案為：7夜.

21.（1）12；（2）275-2;（3）（372-3）km

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、半圓（直徑）所對的圓周角是直角、圓與三角形的綜合（圓

的綜合問題）

【分析】本題考查軌跡圓及利用軌跡圓求最小值，涉及圓的基本知識，正方形的性質(zhì)，矩形

的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識；確定動點(diǎn)軌跡是解題的關(guān)鍵.

（1）直接利用點(diǎn)到直線的所有連線中垂線段最短即可求解；

（2）根據(jù)題意得點(diǎn)P的軌跡在以5c為直徑的圓O上部分，連接/。，交圓。于點(diǎn)P,此

時(shí)的《尸’即為4P的最小，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理即可求解；

（3）連接/E,根據(jù)題意得：/AED=90。,以4B為直徑作圓°,/BEA=90°,得出點(diǎn)￡

在以4B為直徑作圓。上，然后結(jié)合圖形確定當(dāng)點(diǎn)。、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，CE取得最小值，

利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)O作耳。J■加，如圖所示：

答案第16頁，共22頁

Pl

由點(diǎn)到直線的所有連線中垂線段最短，且圓的半徑OP不變,

可知此時(shí)42最大，

最大值為7+5=12,

故答案為：12；

(2)根據(jù)題意得BC=4是定值，NBPC=90。,

...點(diǎn)P的軌跡在以BC為直徑的圓。上部分，如圖，

連接NO,交圓。于點(diǎn)P,

此時(shí)的工尸即為NP的最小,

二?四邊形48。是正方形，

；.AB=BC=4,ZABC=90°,

?：BO=OP'=-BC=2,

2

AO=y]AB2+BO2=A/42+22=2#＞，

AP'=AO-OP'=2A/5-2,

/P的最小值為2遙-2;

(3)如圖，連接/E,根據(jù)題意得：ZAED=9Q°,

以AB為直徑作圓Q,ZBEA=90°,

...點(diǎn)E在以為直徑作圓。上，

答案第17頁，共22頁

連接?！?

當(dāng)點(diǎn)0、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，CE取得最小值，

VZBAC=90°,AB=6km,/C=3km.

：.AQ=QE=^AB=3km,CQ=J/。+AC?=3?m,

CE=CQ-QE=(34i-^m,

,CE的最小值為(3后-3卜m.

B

22.任務(wù)1：米；任務(wù)2：獨(dú)二^米，任務(wù)3：大于迪二米.

262

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活

運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

任務(wù)1：過N作司于解三角形即可求出==

2

HM=———=—,進(jìn)而可得=

tanZAMN22

任務(wù)2：過。作DGLAB于G,過B作。K工8c于K,得四邊形8KZJG為矩形，再解三角

形求出。G=NGsinND48=之叵米，4G=1■米，進(jìn)而求出BG=DK=1?米，DG=BK=^~

米，根據(jù)13點(diǎn)時(shí)，太陽高度角a=BZ>EK,由旌=—券/即可完成任務(wù)2,

任務(wù)3：由表格可知，在12時(shí)-15時(shí)，角。的正切值逐漸減小，即逐漸較小，當(dāng)14

時(shí)，此時(shí)8E的長度就是龍舌蘭擺放位置與墻壁的最大距離，求出此時(shí)酸=匹=1米，即

tana

可完成任務(wù)3.

【詳解】解：任務(wù)1：如圖，過N作HNLAM于H,

答案第18頁，共22頁

A

圖②

：.ZNHA=ZNHM=90°,

又ZDAB=60°,ZAMN=45°,

HN=ANsinADAB=1x—=—（米），

22

AH=ANcosZDAB=lx-=-（米），

22

HN百.6zsrz\

HN1-------------------i-tan45°——（），

tanZAMN22

任務(wù)2：如解圖2,過。作。G_L48于G,過8作DK13C于K,

則ZDGB=ZDKB=ZABC=90°,

二四邊形BmG為矩形，

BG=DK,DG=BK,

3米，NDAB=60°,

ADG=AGsinZDAB=3x—=—（米）,

22

13

AG=ADcos/DAB=3x—=—（米），

22

HN百.6,迎、

HM=-------------=——4-tan45^=——（米），