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云南省紅河州云南市蒙自一中2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.02.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.3.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.634.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.296.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.8.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}9.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.10.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.12.如圖在直角坐標(biāo)系中,過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機(jī)選取一點(diǎn),則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______.14.在數(shù)列中,,,曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.15.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,則________.16.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸入的的值為2,則輸出的的值為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大?。?9.(12分)已知.(1)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.22.(10分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的滿足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前n項(xiàng)和為,求證:對(duì)于任意的正數(shù)n,總有.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析:因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時(shí)注意根據(jù)問(wèn)題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.2、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因?yàn)樗裕?dāng)時(shí),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.3、D【解析】

根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是等比數(shù)列,又因?yàn)?,所以?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】

按補(bǔ)集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時(shí),則,;當(dāng)時(shí),,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時(shí),,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時(shí),由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.10、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由題意可知,,由可得出,,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得出,由此可得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,則,,則,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,有一定的難度.12、A【解析】

設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進(jìn)而求得切點(diǎn)的坐標(biāo),利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點(diǎn),所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型,同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求導(dǎo),x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程,求導(dǎo)法則及運(yùn)算,考查直線方程,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題14、①③④【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為:①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時(shí),,所以時(shí),;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】

滿足條件執(zhí)行,否則執(zhí)行.【詳解】本題實(shí)質(zhì)是求分段函數(shù)在處的函數(shù)值,當(dāng)時(shí),.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查條件語(yǔ)句的應(yīng)用,此類題要做到讀懂算法語(yǔ)句,本題是一道容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時(shí),化為,當(dāng)時(shí),不等式化為,無(wú)解;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為18、(1)當(dāng)時(shí),直線l方程為x=-1;當(dāng)時(shí),直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】

(1)對(duì)直線l的傾斜角分類討論,消去參數(shù)即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)條件Δ=0,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),直線l的普通方程為x=-1;當(dāng)時(shí),消去參數(shù)得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程,考查直線與曲線的關(guān)系,屬于中檔題.19、(1)(2)三個(gè)零點(diǎn)【解析】

(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求得函數(shù)最值,進(jìn)而得到結(jié)果;(2)當(dāng)時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),再證,.【詳解】(1)由得,由題意知恒成立,即,設(shè),,時(shí),遞減,時(shí),,遞增;故,即,故的取值范圍是.(2)當(dāng)時(shí),單調(diào),無(wú)極值;當(dāng)時(shí),,一方面,,且在遞減,所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).另一方面,,設(shè),則,從而在遞增,則,即,又在遞增,所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).因此,當(dāng)時(shí)在和各有一個(gè)零點(diǎn),將這兩個(gè)零點(diǎn)記為,,當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即:從而在遞增,在遞減,在遞增;于是是函數(shù)的極大值點(diǎn),是函數(shù)的極小值點(diǎn).下面證明:,由得,即,由得,令,則,①當(dāng)時(shí),遞減,則,而,故;②當(dāng)時(shí),遞減,則,而,故;一方面,因?yàn)?,又,且在遞增,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),即在上有一個(gè)零點(diǎn).另一方面,根據(jù)得,則有:,又,且在遞增,故在上有一個(gè)零點(diǎn),故在上有一個(gè)零點(diǎn).又,故有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.在研究函數(shù)零點(diǎn)時(shí),有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解,再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn),特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題,這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值,從而得出函數(shù)的變化趨勢(shì),得出結(jié)論.20、(1);(2)見解析.【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【詳解】(1),函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立.令,得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.因?yàn)?,則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立;又,所以,即.(2)設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則切線方程為……①設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則,切線方程為……②若存在,使①②成為同一條直線,則曲線與存在公切線,由①②得消去得即令,則所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,使得時(shí)總有又時(shí),在上總有解綜上,函數(shù)與總存在公切線.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解,屬于難題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)椤窘馕觥?/p>

(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【詳解】解:(1)因?yàn)槭堑诙笙藿?,且,所?所以,所以.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?

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