全國初中數(shù)學青年教師優(yōu)質(zhì)課一等獎《反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教學設(shè)計

PAGEPAGE126．1．2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．內(nèi)容解析反比例函數(shù)是這一學段教材安排的最后一類函數(shù)，與研究一次函數(shù)、二次函數(shù)的過程一樣，我們得到反比例函數(shù)的概念后，研究它的圖象和性質(zhì)。通過圖象，可以直觀地得到函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合解析式，可以進一步認識函數(shù)的性質(zhì)。圖象和解析式結(jié)合研究函數(shù)的性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的重要方面。研究函數(shù)的圖象，主要是研究函數(shù)的形狀、位置；研究函數(shù)的性質(zhì)，是對函數(shù)描述的變化規(guī)律的進一步認識。類比研究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程，對反比例函數(shù)圖象的研究，我們也是根據(jù)k的正負進行分類。重點研究k＞0時的情形，先從具體的k值：6，12等開始，逐步歸納k＞0時，函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)；完全類比k＞0時的研究，我們研究k＜0時的情況，同樣遵循從特殊到一般的過程。我們?nèi)匀徊捎谩懊椟c”法畫反比例函數(shù)的圖象。要對k的正負性予以區(qū)別，體現(xiàn)分類思想；在對圖象的研究和分析時，用“描點”法畫出函數(shù)圖象，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；在歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)時，體現(xiàn)從特殊到一般的思想。探究反比例函數(shù)性質(zhì)的思路是：類比前面研究函數(shù)的方法，確定從k＞0和k＜0兩種情況進行研究。研究的方法是選取特殊的反比例函數(shù)，通過“描點”法畫出函數(shù)圖象，再通過對圖象的探究，歸納得出反比例函數(shù)的性質(zhì)，并加以應(yīng)用?；谝陨戏治觯竟?jié)課的教學重點是：由反比例函數(shù)的圖象，并結(jié)合解析式，探究反比例函數(shù)的性質(zhì)。二、目標和目標解析1．目標（1）會根據(jù)解析式畫反比例函數(shù)的圖象，歸納得到反比例函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)。（2）在畫出反比例函數(shù)的圖象，并探究其性質(zhì)的過程中，體會“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”以及“從特殊到一般”的數(shù)學思想。2．目標解析：達成目標（1）的標志是：會根據(jù)解析式使用“描點”法畫出反比例函數(shù)的圖象，分析圖象特征，歸納得到反比例函數(shù)的性質(zhì)。達成目標（2）的標志是：畫反比例函數(shù)的圖像時類比畫二次函數(shù)的方法，分k＞0和k＜0兩種情況；在畫反比例函數(shù)圖象、探究反比例函數(shù)性質(zhì)時，體會“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化：解析式與圖象；通過具體的圖象并結(jié)合解析式，歸納得到反比例函數(shù)的性質(zhì)。三、教學問題診斷分析授課班級的學生剛上九年級，基礎(chǔ)扎實，思維靈活，具備一定的探索數(shù)學問題的能力。觀察能力已有所發(fā)展，能按照教學的要求有意識地較長時間地觀察，但觀察和表達的精確性，深入性不夠。抽象思維處于發(fā)展期，同時形象思維還時有表現(xiàn)，其抽象思維還需要感性經(jīng)驗的支持。在知識基礎(chǔ)方面，學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)，會用描點法繪制函數(shù)圖象，能夠借助函數(shù)圖象描述出函數(shù)的性質(zhì)，能夠理解函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系。對于用“描點”法畫反比例函數(shù)圖象時，常遇到如下問題：（1）“列表”選點時x的取值缺乏代表性，容易忽略x≠0的條件；（2）“連線”時，由于前面所學函數(shù)圖象是直線或拋物線，容易使學生產(chǎn)生知識上的負遷移，把雙曲線跨象限連接；（3）對雙曲線與x軸、y軸“越來越靠近”但不相交的趨勢不易理解。教學時，應(yīng)注意有針對性的引導，注意從解析式的分析入手，讓學生先進行“數(shù)”（x≠0，y≠0，k≠0）、“式”（解析式中x，y的反比例關(guān)系）的分析，進而過渡到對“形”（圖象）的認識。在前面學習函數(shù)圖象的時候，學生已經(jīng)歷過觀察、分析圖象特征，抽象、概括函數(shù)性質(zhì)的過程，對研究函數(shù)性質(zhì)的方法也有一定的了解。因此通過類比方法，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象探究性質(zhì)，從方法上不會存在障礙。但反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象相比，具有自變量取值不為0的特殊性，函數(shù)在x=0沒有定義，對圖象不過x=0這一點在認識上還存在一定的困難。教學中應(yīng)注重引導學生體會由“數(shù)”到“形”、由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化為途徑，展開探究活動?；谝陨戏治霰竟?jié)課的教學難點是：對x≠0的理解，以及結(jié)合解析式理解反比例函數(shù)的性質(zhì)。四、教學支持條件分析本節(jié)教學需要借助多媒體、幾何畫板。五、教學過程設(shè)計1．學習導入復(fù)習提問（1）我們學習了反比例函數(shù)的定義，什么樣的函數(shù)是反比例函數(shù)？（2）大家以前還學過哪些函數(shù)？研究這些函數(shù)時，我們是從哪幾個方面入手的？（3）我們已經(jīng)學習了反比例函數(shù)的定義，接下來還應(yīng)研究它哪方面的知識呢？（4）回顧對二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的探究過程。師生活動：教師提出問題，學生思考、回答．教師引導學生復(fù)習研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的方法和過程，進而提出問題：反比例函數(shù)中比例系數(shù)k≠0，那么應(yīng)該如何分類討論？學生回答。設(shè)計意圖：引導學生回憶解析式的形式和自變量、函數(shù)值、k值的取值范圍。結(jié)合復(fù)習研究函數(shù)的一般方法，引出本節(jié)課的學習內(nèi)容。同時，復(fù)習二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學習過程時，先對a的正負不同進行分類討論，再回憶畫函數(shù)圖象的步驟和注意事項，接著觀察圖象的特征（形狀、位置、變化趨勢等），最后歸納得到函數(shù)的性質(zhì)。讓學生類比這一過程去探究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，為學習反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)作好鋪墊．2．探究新知【探究一】同桌分工，分別畫出反比例函數(shù)與的圖象．師生活動：（1）學生獨立操作，用“描點”法畫函數(shù)圖象，教師巡視，收集并展示學生畫出的典型圖象．（2）針對所展示的作圖里出現(xiàn)的問題，讓學生互相完善和補充。教師適時提問：選取自變量的值時，要注意什么？連線時要注意什么？圖象延伸的趨勢是怎樣的？為什么？教師引導學生思考和回答。（3）教師小結(jié)作圖的注意事項，并通過課件演示作圖規(guī)范。設(shè)計意圖：圖象是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具，通過經(jīng)歷用“描點”法畫出反比例函數(shù)圖象的基本步驟，可以使學生對反比例函數(shù)的性質(zhì)有一個初步的、整體的感性認識。列表時，關(guān)注學生是否注意到自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義（即x≠0）。同時，所取的點既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量對應(yīng)的函數(shù)值太大或太小，以便于描點和全面反映圖象的特征；連線時按照自變量從小到大的順序順次連接各點，注意圖象末端的延伸和延伸的趨勢，得到反比例函數(shù)的圖象。根據(jù)學生作圖容易出現(xiàn)圖象末端延伸趨勢有誤的問題，結(jié)合作圖實例的對比，有針對性的引導學生從解析式的分析入手，讓學生先進行“數(shù)”（x≠0，y≠0，k≠0）或“式”（解析式中x，y的反比例關(guān)系）的分析，進而過渡到對“形”（圖象）的認識。使學生初步理解雙曲線與x軸、y軸“越來越靠近”但不相交的趨勢。同時為探究函數(shù)的性質(zhì)做好準備。問題1觀察反比例函數(shù)和的圖象，它們有哪些共同特征？師生活動：學生觀察，思考，四人小組討論，歸納．學生代表發(fā)表觀點和看法，互相交流和補充，形成統(tǒng)一的認識。教師引導和評價，給出雙曲線的名稱．設(shè)計意圖：學生感受“形”的特征，類比對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的學習，容易觀察得到函數(shù)圖象的形狀、位置和變化趨勢，對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)形成初步的印象。反比例函數(shù)具有豐富的性質(zhì)，且九年級學生思維能力強，適當放開，以小組討論的形式給學生充分交流，既激發(fā)學生探究問題的主動性和熱情，又給學生一個更廣闊的思維空間，培養(yǎng)了學生的合作交流能力。注意把握好“度”，對雙曲線的漸進性、對稱性以及相對于原點的位置等等，若學生有所發(fā)現(xiàn)，教師給予肯定，但不作基本要求。問題2你能由列表中數(shù)值的關(guān)系，或者由函數(shù)解析式來解釋這些性質(zhì)嗎？師生活動：學生先獨立思考，再四人小組合作交流．學生回答，教師引導和評價．設(shè)計意圖：函數(shù)的表示法有解析式法、列表法和圖象法。函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，從圖象上較容易整體把握函數(shù)的性質(zhì)，但是難以深入局部和細節(jié)；而解析式可以對函數(shù)性質(zhì)進行無限“解讀”，但不夠直觀。學生觀察函數(shù)圖象，歸納得到函數(shù)的性質(zhì)后，引導學生結(jié)合列表中數(shù)值的關(guān)系，或者觀察解析式的特點，去解釋說明這些性質(zhì)，這樣結(jié)合函數(shù)圖象和解析式去研究函數(shù)的性質(zhì)，既深化了學生對函數(shù)性質(zhì)的認識，又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。追問1對于一般的k>0的反比例函數(shù)，是否也具有同樣的性質(zhì)呢？師生活動：學生猜想，教師演示幾何畫板，在k＞0的前提下賦予不同的k值，學生觀察所得到的反比例函數(shù)圖象的特征，引導學生發(fā)現(xiàn)“變化中的規(guī)律性”。設(shè)計意圖：通過幾何畫板演示，驗證猜想，使學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，歸納得到k＞0時，反比例函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)。問題3猜想反比例函數(shù)（k＜0）的圖象和性質(zhì)是怎樣的呢？你是怎么猜的？師生活動：學生猜想，回答．設(shè)計意圖：引導學生根據(jù)已有經(jīng)驗猜想，使學生鞏固在探究一中獲得的經(jīng)驗和思考方法。同時，引出對k＜0的反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的探究?！咎骄慷空堫惐葎偛诺奶骄窟^程，探究反比例函數(shù)（k＜0）的圖象和性質(zhì)，驗證一下你的猜想。追問1類比k＞0的情況，你能歸納k＜0時函數(shù)的性質(zhì)嗎？師生活動：學生自選一個k＜0的反比例函數(shù)，借鑒畫反比例函數(shù)或的圖象的經(jīng)驗，自主畫出函數(shù)圖象，教師巡視指導。作圖完成后，展示作品，學生說出函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)。教師演示幾何畫板，賦予k不同的負值，引導學生發(fā)現(xiàn)“變化中的規(guī)律性”。設(shè)計意圖：通過再次畫出反比例函數(shù)的圖象，使學生鞏固作圖經(jīng)驗。同時，在總結(jié)說出反比例函數(shù)的圖象特征的過程中，使學生增強對圖象的觀察、感知、分析、概括的能力，以及經(jīng)歷畫出函數(shù)圖象，并利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程。問題4反比例函數(shù)與的圖象有什么共同特征？有什么不同點？追問1不同點由什么決定？師生活動：教師啟發(fā)學生對比、思考，引導學生關(guān)注反比例系數(shù)k的作用。設(shè)計意圖：學生通過觀察比較，總結(jié)這兩個反比例函數(shù)圖象的特征，為總結(jié)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)做準備。【小結(jié)歸納】函數(shù)圖象形狀圖象位置變化趨勢師生活動：教師幫助學生梳理、歸納。設(shè)計意圖：通過歸納，培養(yǎng)學生的抽象概括能力。3．應(yīng)用新知（1）下列圖象中是反比例函數(shù)圖象的是（）．（2）如圖所示的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（）．xyOxyOxyOxyOB.C.D.第（2）題圖第（3）題（3）填空：①反比例函數(shù)的圖象在第______象限．②反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則k____0；在圖象的每一支上，y隨x的增大而______．師生活動：師生問答，引導學生關(guān)注各題對應(yīng)考查的知識點。設(shè)計意圖：通過練習，實現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化。4．課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，學生回答以下問題，最后教師總結(jié)各環(huán)節(jié)的學習方法和數(shù)學思想。（1）這節(jié)課我們從哪幾個方面去研究反比例函數(shù)？（2）在這些環(huán)節(jié)中你學到了哪些知識？（3）從中體會到了哪些數(shù)學思想方法？設(shè)計意圖：教師引導學生回顧本節(jié)課的學習過程，梳理知識脈絡(luò)，歸納知識點和思想方法，使學生對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)有一個較為完整、全面的認識。六、目標檢測設(shè)計1.反比例函數(shù)的圖象位于（）。（A）第一、第二象限（B）第一、第三象限（C）第二、第三象限（D）第二、第四象限2.在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象大致是（）。3.寫出一個反比例函數(shù)，使得該反比例函數(shù)的圖象位于第一、第三象限，這個函數(shù)可以是__________；若點P在這個函數(shù)的圖象上，則點P的坐標可以是_________。（分別寫出一個即可）26．1．2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）1．解析式：2．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：4.已知雙曲線，當時，y隨x的增大而增大，則m26．1．2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）1．解析式：2．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：板書設(shè)計《26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)》點評“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”是在學習了一次函數(shù)，二次函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容以及反比例函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，進一步研究反比例函數(shù)的圖象，并通過圖象的研究和分析，探究反比例函數(shù)的性質(zhì)。反比例函數(shù)的核心內(nèi)容是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的核心，是圖象“特征”、函數(shù)“特性”以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，這也正是反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性所在。本節(jié)課有以下亮點：1.本節(jié)課注重學法指導——類比學習。對于反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)的研究與學習，體現(xiàn)的函數(shù)學習的一般規(guī)律和方法，是繼一次函數(shù)、二次函數(shù)學習之后的再一次強化．呈現(xiàn)的“函數(shù)概念——函數(shù)的圖象和性質(zhì)——函數(shù)的實際應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)，是學習初等函數(shù)時不可或缺的，使學生逐步建立完善的認知結(jié)構(gòu)，提高學生分析解決問題能力。本節(jié)課在復(fù)習反比例函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，類比一次函數(shù)、二次函數(shù)，研究函數(shù)的基本模式，提出探究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，首先使用描點法通過列表、描點、準確畫出反比例函數(shù)的圖象，然后依據(jù)圖象，觀察、分析、探究、歸納、概括，得到反比例函數(shù)的性質(zhì)。在探究反比例函數(shù)性質(zhì)時，由“解析式（確定自變量取值范圍）”到“作圖（列表、描點、連線）”，再到“性質(zhì)（觀察圖象探究性質(zhì)）”，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，這種函數(shù)解析式及性質(zhì)與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，突出體現(xiàn)了兩者間的轉(zhuǎn)化對分析解決問題的特殊作用，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用。2.本節(jié)課教師重視在教學過程中有效滲透數(shù)學思想方法。反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，蘊含著豐富的數(shù)學思想。首先，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體。其次，從本節(jié)課知識的形成過程來看，由“解析式”到“作圖”，再到“性質(zhì)”，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程。本節(jié)課首先使用描點法通過列表、描點、準確畫出反比例函數(shù)的圖象，并借助幾何畫板直觀演示圖像變化規(guī)律，然后依據(jù)圖象，觀察、分析、探究、歸納、概括，得到反比例函數(shù)的性質(zhì)，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“