河南省高三上學期12月質(zhì)量檢測（五）數(shù)學（文科）試題

2020～2021年度河南省高三質(zhì)量檢測(五)數(shù)學(文科)考生須知：本試卷滿分120分，考試時間為120分鐘.答題前，考生先將自己的“姓名”、“考號”、“考場”、“座位號”在答題卡上填寫清楚，將“條形碼”準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).請按照題號順序在答題卡各題目的區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效；在草稿紙上、試題紙上答案無效.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.保持卡面整潔，不要折疊、不要弄臟、弄皺，不準使用涂改液、刮紙刀.第I卷一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A．B．C．D．2.已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)=（）A．B．C．D．3.若向區(qū)域內(nèi)隨機投點,則該點落在區(qū)域內(nèi)的概率為（）A．B．C．D．4.若滿足約束條件，則的最大值為（）A．B．C.D．5.正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素,加上它們的多種變體,一直是科學、藝術(shù)、哲學靈感的源泉之一.如圖,該幾何體是一個棱長為的正八面體,則此正八面體的體積與表面積之比為（）A．B．C.D．6.已知，且，則（）A．B．C.D．7.設(shè)為坐標原點,直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點.若的焦距為,則面積的最大值為（）A．B．C.D．8.下圖是某算法的程序框圖,則程序運行后輸出的結(jié)果是（）A．B．C.D．9.已知分別為橢圓的左、右頂點,是橢圓上的不同兩點且關(guān)于工軸對稱,設(shè)直線的斜率分別為,若,則該橢圓的離心率為（）A．B．C.D．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則（）A．B．C.D．11.已知二次函數(shù)滿足，且，對任意，成立，則的取值范圍為（）A．B．C.D．12.設(shè)函數(shù),若存在,使得在上的值域為,則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C.D．第II卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知平面向量，且，則．14.定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù),若,則的取值范圍為．15.在中,角所對的邊分別為,若此三角形有兩解,則的取值范圍是．16.如圖,在四棱錐中,平面,若與平面所成角的正切值為,則四棱錐外接球的表面積為．三.解答題:本大6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.1721題為必考題.每個試題考生都必須作答，第22，23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.必考題：共60分17.為了解某農(nóng)場的種植情況,該農(nóng)場的技術(shù)人員對種植出來的水果進行抽樣檢測,將測得的水果重量分成六組進行統(tǒng)計,得到如圖所示的統(tǒng)計圖.估計該農(nóng)場的水果重量的平均數(shù)(同一組當中的水果重量用該組的中間值代替);從樣本中重量不小于克的水果中任取個,求至少有個水果的重量不小于克的概率.18.已知數(shù)列的首項為,且滿足.求的通項公式;已知,求數(shù)列的前項和19.如圖,在四面體中,是等邊三角形,且.證明:.若,求點到平面的距離.20.已知動點到點的距離比它到直線的距離小求動點的軌跡的方程過點作斜率為的直線與軌跡交于點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值21.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性;若不等式對恒成立,求的取值范圍.(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.22.[選修44;坐標系與參數(shù)方程]在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為，以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.求直線和曲線的極坐標方程;若射線與曲線相切于點(點位于第一象限),且與直線相交于點,求.23.[選修45:不等式選講]已知正實數(shù)滿足.證明：證明：2020～2021年度河南省高三質(zhì)量檢測(五)數(shù)學參考答案(文科)1.2.則3.區(qū)域的面積為,在區(qū)域中,滿足的面積為則所求概率4.作出不等式組表示的可行域(圖略),當直線過點時,取得最大值5.正八面體的上、下結(jié)構(gòu)是兩個相同的正四棱錐,由勾股定理求得斜高,再由棱錐的體積公式即可求解.由邊長為,可得正八面體上半部分的斜高為,高為,則其體積為，其表面積為,所以此正八面體的體積與表面積之比為6.由，得，解得又因為所以則7.不妨設(shè)在第—象限,在第四象限,聯(lián)立方程組解得故，同理可得所以因為的焦距為所以解得當且僅當時取等號所以的最大值為8.按照程序框圖執(zhí)行程序,輸入,不滿足循環(huán);,不滿足,循環(huán);,不滿足,循環(huán);，不滿足循環(huán);,不滿足,循環(huán);,滿足,輸出9.設(shè)，則又因為所以10.由函數(shù)圖象可知即將代入得又是以為最小正周期的周期函數(shù)則11.設(shè)二次函數(shù)則又解得函數(shù)在上單調(diào)遞增令當時，滿足題意當時解得綜上，的取值范圍為12.在上單調(diào)遞增又在上的值域為則在上有兩個不同解令則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又13.由所以則14.由題可知函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,可化為,則,解得即的取值范圍為15.由可得由正弦定理可得即又三角形有倆解所以只需即16.連接,則為與平面所成角,即,所以因為,所以四邊形為等腰梯形,且可求得,所以底面外接圓的半徑為,且四邊形外接圓的圓心為的中點,四棱錐外接球的半徑,故該四棱錐外接球的表面積17.解：設(shè)該農(nóng)場的水果重量的平均數(shù)為,則重量不小于克的水果有個,記為其中重量不小于克的水果有個,記為從中任取個，有，共種情況至少有個水果的重量不小于克的有，共種情況則至少有個水果的重量不小于克的概率18.解：由得又所以當時，又也滿足上式所以所以19.證明:取的中點,連接(圖略),因為是等邊三角形,所以又,所以又,所以平面,故解:因為所以又,所以,即則由題可得則,即,則設(shè)點到平面的距離為因為平面,所以,即.解得即點到平面的距離為20.解:由題意知,動點到點的距離與到直線距離相等，由拋物線的定義知,軌跡是以為焦點,以直線為準線的拋物線.所以點的軌跡的方程為證明:設(shè)直線聯(lián)立得設(shè)為線段的中點，則,所以，所以線段的垂直平分線的方程為,則從而所以為定值.21.解：函數(shù)d定義域為，且若，則當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減若，函數(shù)在上單調(diào)遞減不等式在上恒成立即恒成立設(shè)令則①當時，恒成立所以單調(diào)遞增所以即符合