基本不等式復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

根本不等式【知識(shí)梳理】一、根本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1．根本不等式成立的條件：a>0，b>0.2．等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．二、幾個(gè)重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．a(chǎn)b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，那么a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，根本不等式可表達(dá)為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．四、利用根本不等式求最值問題x>0，y>0，那么：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)【根底自測(cè)】1．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)(x＞0)的值域?yàn)開_______解析：∵x＞0，∴y＝x＋eq\f(1,x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．答案：[2，＋∞)2．m>0，n>0，且mn＝81，那么m＋n的最小值為_______解析：∵m>0，n>0，∴m＋n≥2eq\r(mn)＝18.當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝9時(shí)，等號(hào)成立．3．0<x<1，那么x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為_______解析：選B由x(3－3x)＝eq\f(1,3)×3x(3－3x)≤eq\f(1,3)×eq\f(9,4)＝eq\f(3,4)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝3－3x，即x＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．4．假設(shè)x>1，那么x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3時(shí)等號(hào)成立．答案：55．x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，那么z＝eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)的最小值為________．解析：由條件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.那么eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)≥2eq\r(\f(10,xy))＝2，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(5,y)))min＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2y＝5x時(shí)取等號(hào)．又xy＝10，即x＝2，y＝5時(shí)等號(hào)成立．答案：21.在應(yīng)用根本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得〞，假設(shè)忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．對(duì)于公式a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也表達(dá)了ab和a＋b的轉(zhuǎn)化關(guān)系．3．運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤eq\f(a2＋b2,2)；eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)逆用就是ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b>0)等．還要注意“添、拆項(xiàng)〞技巧和公式等號(hào)成立的條件等．【考點(diǎn)探究】考點(diǎn)一利用根本不等式求最值【例1】(1)x＜0，那么f(x)＝2＋eq\f(4,x)＋x的最大值為________．(2)(2023·浙江高考)假設(shè)正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，那么3x＋4y的最小值是_______[解](1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋eq\f(4,x)＋x＝2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,－x)＋－x)).∵－eq\f(4,x)＋(－x)≥2eq\r(4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝eq\f(4,－x)，即x＝－2時(shí)等號(hào)成立．∴f(x)＝2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,－x)＋－x))≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值為－2.(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝1.∴3x＋4y＝eq\f(1,5)·(3x＋4y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,y)＋4＋9＋\f(12y,x)))＝eq\f(13,5)＋eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,y)＋\f(12y,x)))≥eq\f(13,5)＋eq\f(1,5)×2eq\r(\f(3x,y)·\f(12y,x))＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，∴3x＋4y的最小值為5.【一題多變】本例(2)條件不變，求xy的最小值．解：∵x＞0，y＞0，那么5xy＝x＋3y≥2eq\r(x·3y)，∴xy≥eq\f(12,25)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)取等號(hào)．【由題悟法用根本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用根本不等式求出最值．在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用根本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無論哪種方法在用根本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件．【以題試法】1．(1)當(dāng)x＞0時(shí)，那么f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值為________．(2)(2023·天津高考)log2a＋log2b≥1，那么3a＋9b(3)x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，假設(shè)xy≥m－2恒成立，那么實(shí)數(shù)m的最大值是________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時(shí)取等號(hào)．(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3eq\f(a＋2b,2)(當(dāng)且僅當(dāng)3a＝32b，即a＝2b時(shí)取等號(hào))．又∵a＋2b≥2eq\r(2ab)≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取等號(hào))，∴3a＋9b≥2×32＝18.即當(dāng)a＝2b時(shí)，3a＋9b(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2eq\r(2xy)，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值為10.考點(diǎn)二多元均值不等式問題【例2】設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x－2y＋3z＝0，那么eq\f(y2,xz)的最小值是________．解析：由條件可得y＝eq\f(x＋3z,2)，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(9z,x)＋6))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(x,z)×\f(9z,x))＋6))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3z時(shí)，eq\f(y2,xz)取得最小值3.【以題試法】假設(shè)且,求的最小值.考點(diǎn)三根本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】(2023·江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由．[解](1)令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0，故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\f(1,k))≤eq\f(20,2)＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．所以炮的最大射程為10千米．(2)因?yàn)閍＞0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k＞0，使3.2＝ka－eq\f(1,20)(1＋k2)a2成立?關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a所以當(dāng)a不超過6千米時(shí)，可擊中目標(biāo)．【由題悟法】利用根本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問題，如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料〞等，題目往往較長，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．(2)當(dāng)運(yùn)用根本不等式求最值時(shí)，假設(shè)等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用根本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.【以題試法】2．(2023·福州質(zhì)檢)某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，假設(shè)價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入eq\f(1,5)x萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)到達(dá)多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)．解：(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(t－25,1)×0.2))t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元．(2)依題意，x＞25時(shí)，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)x有解，等價(jià)于x＞25時(shí)，a≥eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x＋eq\f(1,5)有解．∵eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x≥2eq\r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)，等號(hào)成立)，∴a≥10.2.因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)到達(dá)10.2萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．【穩(wěn)固練習(xí)】1．函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是_______解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－1＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(x－1\f(3,x－1))＋2＝2eq\r(3)＋2.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)時(shí)，取等號(hào)．2．設(shè)a>0，b>0，且不等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0恒成立，那么實(shí)數(shù)k的最小值等于_______解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0得k≥－eq\f(a＋b2,ab)，而eq\f(a＋b2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2≥4(a＝b時(shí)取等號(hào))，所以－eq\f(a＋b2,ab)≤－4，因此要使k≥－eq\f(a＋b2,ab)恒成立，應(yīng)有k≥－4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于－4.3.求函數(shù)的值域.解：令，那么因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性.因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故.所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?4、求函數(shù)的最小值.解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=〞號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是.5.求函數(shù)的最大值解：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=〞號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是16.x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.解：x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(x2＋(eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2)))2,2)＝eq\f(x2＋eq\f(y2,2)＋eq\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)即xeq\r(1＋y2)＝eq\r(2)·xeq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(3,4)eq\r(2)7.a>b>0,求a+的最小值.8．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(p,x－1)(p為常數(shù)，且p＞0)假設(shè)f(x)在(1，＋∞)上的最小值為4，那么實(shí)數(shù)p的值為________．解析：由題意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋eq\f(p,x－1)＋1≥2eq\r(p)＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(p)＋1時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閒(x)在(1，＋∞)上的最小值為4，所以2eq\r(p)＋1＝4，解得p＝eq\f(9,4).9．x＞0，a為大于2x的常數(shù)，(1)求函數(shù)y＝x(a－2x)的最大值；(2)求y＝eq\f(1,a－2x)－x的最小值．解：(1)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝eq\f(1,2)×2x(a－2x)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋a－2x,2)))2＝eq\f(a2,8)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(a,4)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為eq\f(a2,8).(2)y＝eq\f(1,a－2x)＋eq\f(a－2x,2)－eq\f(a,2)≥2eq\r(\f(1,2))－eq\f(a,2)＝eq\r(2)－eq\f(a,2).當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(a－\r(2),2)時(shí)取等號(hào)．故y＝eq\f(1,a－2x)－x的最小值為eq\r(2)－eq\f(a,2).10．正數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解：(1)由1＝eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)≥2eq\r(\f(1,x)·\f(9,y))得xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x)＝eq\f(9,y)，即