第五章相似矩陣及二次型5 4對(duì)稱角化_第1頁(yè)
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5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

要求：理解矩陣相似的概念，掌握矩陣可對(duì)角化的充要條件及對(duì)角化方法定理1對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣．對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證明不作要求于是有兩式相減，得對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理1的意義對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證明于是對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證明它們的重?cái)?shù)依次為根據(jù)定理1（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理3(

如上)可得：設(shè)的互不相等的特征值為對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證明不作要求由定理2知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得

個(gè).故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣，則對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.對(duì)稱矩陣的對(duì)角化解例

對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對(duì)角陣.(1)第一步求的特征值對(duì)稱矩陣的對(duì)角化解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系對(duì)稱矩陣的對(duì)角化解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化于是得正交陣對(duì)稱矩陣的對(duì)

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