2019中考數(shù)學(xué)分類匯編：知識(shí)點(diǎn)35相似、位似及其應(yīng)用

一、選擇題10．（2019·蘇州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)．且AD=AB=2，AD⊥AB，過點(diǎn)D作DE⊥AD，DE交AC于點(diǎn)F．若DE=1，則△ABC的面積為 （）A．4 B．4 C．2 D．8第10題圖【答案】B【解析】∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE∶AB＝1∶2，∴S△DEC∶S△ACB＝1∶4，∴S四邊形ABDE∶S△ACB＝3∶4，∵S四邊形ABDE＝S△ABD+S△ADE2×22×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故選B．10．（2019·紹興）如圖1，長(zhǎng)、寬均為3，高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱長(zhǎng)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，則圖2中水面高度為()A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖所示：設(shè)DM＝x，則CM＝8﹣x，根據(jù)題意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝4，∴DM＝6，∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝＝5，過點(diǎn)B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，∴，即，解得BH＝，即水面高度為．6.（2019·杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC邊上，DE∥BC，M為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)連接AM交DE干點(diǎn)N，則 （）A.B.QUOTEBDMM=MNCEC.QUOTEDNBM=NEMCD.QUOTEDNMC=NEBM【答案】C【解析】根據(jù)DE∥BC，可得△ADN∽△ABM與△ANE∽△AMC，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴，∴．故選C．7．（2019·常德）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面積為1，△ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（）A．20B．22C．24D．26【答案】D【解析】∵圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面積為1，△ABC的面積為42，∴最小的三角形與△ABC的相似比為，∵△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝4×＝，∴＝＝，∴S△ADE＝×42＝16，∴四邊形DBCE的面積＝S△ABC－S△ADE＝26，故選項(xiàng)D正確．5．（2019·隴南）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于（）A．平移變換 B．相似變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對(duì)稱變換【答案】B【解析】由圖可知，放大前與放大后圖形是相似的，故選：B．1.(2019·棗莊)如圖,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面積為16,陰影部分三角形的面積為9,若AA'＝1,則A'D等于A.2 B.3 C.4 D.【答案】B【解析】由平移可得,△ABC∽△A'MN,設(shè)相似比為k,∵S△ABC＝16,S△A'MN＝9,∴k2＝16:9,∴k＝4:3,因?yàn)锳D和A'D分別為兩個(gè)三角形的中線,∴AD:A'D＝k＝4:3,∵AD＝AA'+A'D,∴AA':A'D＝1:3,∵AA'＝1,則A'D＝3,故選B.2.（2019·淄博）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D為BC邊上的一點(diǎn)，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面積為，則△ABD的面積為（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】在△BAC和△ADC中，∵∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，∴△BAC∽△ADC，∴,∴，又∵△ADC的面積為，∴△ABC的面積為，∴△ABD的面積為.3.(2019·巴中)如圖，ABCD,F為BC中點(diǎn),延長(zhǎng)AD至E,使DE:AD＝1:3,連接EF交DC于點(diǎn)G,則S△DEG:S△CFG＝()A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9【答案】D【解析】因?yàn)镈E:AD＝1:3,F為BC中點(diǎn),所以DE:CF＝2:3,ABCD中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比為2:3,所以S△DEG:S△CFG＝4:9.故選D.4.（2019·樂山）把邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形按如圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．第第8題圖【答案】A第8題答圖【解析】∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，∴AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ADH∽△ECF，∴，∴，解得DH=，∴陰影部分面積為××1=，故選A.5.（2019·樂山）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，現(xiàn)將△沿直線翻折至△的位置，與交于點(diǎn).則等于（）A． B．C．D．第9題圖【答案】A【解析】∵，∴∠AEB=90°，菱形的邊長(zhǎng)為，，∴AE=AB=，BE=CF==1.5，BF=3，CF=BF-BC=3-，∵AD∥CF，∴△AGD∽△FGC，∴，∴，解得CG=，故選A.6.（2019·涼山）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中點(diǎn)，連接A0并延長(zhǎng)交BC于E，則BE∶EC=（▲）A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶3【答案】B【解析】過點(diǎn)D作DF∥AE，則,，∴BE∶EF∶FC=1∶1∶2，∴BE∶EC=1∶3.故選B.7.（2019·眉山）如圖，一束光線從點(diǎn)A（4，4）出發(fā)，經(jīng)y軸上的點(diǎn)C反射后，經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）【答案】B【解析】解：過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO，∴△OBA∽△DAC，∴，∴，解得：OC=，∴點(diǎn)C（0，），故選B.8.（2019·眉山）如圖，在菱形ABCD中已知AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，有下列結(jié)論：①BE=CF，②∠EAB=∠CEF；③△ABE∽△EFC，④若∠BAE=15°，則點(diǎn)F到BC的距離為，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】連接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，故①正確；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB，故②正確；在△ABE中，∠AEB＜60°，∠ECF=60°，∴③錯(cuò)誤；過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=AB=2，AG=BG=，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG-BG=-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=-2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=-2，∴FH=CF?sin60°=（-2）?=3-.∴點(diǎn)F到BC的距離為3-.故④錯(cuò)誤.故選B.9.（2019·重慶B卷）下列命題是真命題的是（）A.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為2:3B.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4:9C.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個(gè)全角形的面積比為2:3D.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為4:9【答案】Ｂ【解析】如果兩個(gè)三角形相似,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比是相似比的平方.即如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4:9；面積比是相似比的平方，即16:81.故選Ｂ．10.（2019·重慶A卷）如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，則AB的長(zhǎng)是（）A．2B．3C．4D．5第第3題圖【答案】C．【解析】∵△ABO∽△CDO，∴．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴．∴AB＝4．故選C．11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題16．（2019·濱州）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，得到△CDO，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（－2×，4×）或（－2×（－），4×（－）），即（－1，2）或（1，－2）．2.（2019·濱州）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結(jié)論：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF?DF．其中正確的結(jié)論有____________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【解析】在ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等邊三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在ABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位線，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正確；∵OE是△ACB的中位線，∴OE=BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②錯(cuò)誤；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴AC=BC，∴OC=BC．在Rt△BCO中，OB==，∴BD=BC，∴AC：BD=BC：BC=：7，故③正確；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正確．3.（2019·涼山）在□ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)E將AD分為2∶3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則S△AEF∶S△CBF是▲.【答案】4：25或9∶25【解析】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答圖1，當(dāng)AE∶DE=2∶3時(shí)，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答圖2，當(dāng)AE∶DE=3∶2時(shí)，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案為4∶25或9∶25.（第16題圖答圖1）（第16題圖答圖2）4.（2019·自貢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)E，DE=.【答案】95【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠CBD=∠D，∴CD=BD=6.在Rt△ABC中，AC=AB2∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴CEAE∴CE=35AE，DE=35即CE=38AC=3在Rt△BCE中，BE=BC2∴DE=35BE=35×35=5.（2019·衢州）如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的長(zhǎng)方形組成“7”字圖形。（1）將一個(gè)“7”字圖形按如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，記為“7”字圖形ABCDEF，其中頂點(diǎn)A位于x軸上，頂點(diǎn)B，D位于y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為____________.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)擺放第二個(gè)“7“字圖形得頂點(diǎn)F1，擺放第三個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)F2.依此類推，……擺放第n個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)Fn-1……則頂點(diǎn)F2019的坐標(biāo)為____________.【答案】（1） （2）（，405）【解析】（1）因?yàn)椤螪BC+∠BDC=90°，∠DBC+∠OBA=90°,∠DCB=∠BOA=90°,所以∠BDC=∠OBA，所以△CDB∽△OBA，所以O(shè)B:OA=CD:CB=.（2）因?yàn)镺B:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得OB=,OA=.因?yàn)椤螩DH=∠ABO，∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB,所以△DHC≌△BOA,所以四邊形OACH為矩形，DH=,HC=,同理△MAF∽△OBA，由AF=3得，AM=，F(xiàn)M=,在直角三角形NCF中，CN=AM=,CF=,NF==,在直角三角形ABC中，AC=,F點(diǎn)的坐標(biāo)為（+，+）;根據(jù)規(guī)律F1比F的橫坐標(biāo)增加單位、縱坐標(biāo)增加，F(xiàn)，F(xiàn)1點(diǎn)的坐標(biāo)為（+×2，+×2）;F2比F1的橫坐標(biāo)增加單位，縱坐標(biāo)增加單位，F(xiàn)2點(diǎn)的坐標(biāo)為（+×3，+×3）;……所以F2019的坐標(biāo)為（+×2020，+×2020），即（，405）.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答題24．（2019·長(zhǎng)沙）（9分）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．①條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）③兩個(gè)大小不同的正方形相似．（命題）（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，，求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFDE的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．【解題過程】（1）解：(1)①四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等；②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例；③兩個(gè)大小不同的正方形相似．是真命題．故答案為假，假，真．(2)如圖，分別連接BD、B1D1，∵∠BCD=∠B1C1D1，，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CBD=∠C1B1D1，∠CDB=∠C1D1B1，，又∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，，∴，∠ADB=∠A1D1B1，∠DAB=∠D1A1B1，∴，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，∠ADC=∠A1D1C1，∠DAB=∠D1A1B1，∴四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．(3)∵四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，∴，∵EF=OE＋OF，∴，∵EF∥AB∥CD，∴，，∴，∴，∵AD=DE＋AE，∴，∴2AE=DE＋AE，即AE=DE，∴23．（2019·黃岡）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E，連接OE.(1)求證：△DBE是等腰三角形；(2)求證：△COE∽△CAB.【解題過程】23.（2019安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=135°.（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA=2PC；（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3.求證：h12=h2·h3.PPBAC【解題過程】解：（1）證明：在△ABP中，∠APB=135°，∴∠ABP+∠BAP=45°，又△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=45°，即∠ABP+∠CBP=45°，∴∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC；………………4分（2）由（1）知△PAB∽△PBC，所以===，于是，=·=2，即PA=2PC；………………9分（3）如圖3，過點(diǎn)P作邊AB，BC，CA的垂線，垂足分別為Q，R，S，則PQ=h1，PR=h2，PS=h3，在Rt△CPR中，=tan∠PCR==，=，即h3=2h2，又由△PAB∽△PBC，且=，故=，即h1=h2，于是h12=h2·h3.………………14分SSRQ圖3PBAC1.（2019·重慶B卷）在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E.（1）如圖1，若∠D=30°，AB=，求△ABE的面積；（2）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，分別交BE，BC于點(diǎn)G，H，且AB=AF，求證：ED－AG=FC.解：（1）過點(diǎn)E作EN⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，垂足為N，在□ABCD中，AD∥BC，AD∥CB，∠D=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠EAN=30°；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=；在Rt△AEN中，，，∴．（2）延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，設(shè)，，，，∴在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且CD=，∵AB=AF，∴AF=，∴GF=，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠M，∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBE，∴∠ABM=∠AEB，∴AE=；∵∠AEB=∠DEM，∴∠DEM=∠M，∴DM=，∴FM=，∵AB∥CD，∴，∴，解得：；∵AF⊥DC，∴∠F=90°，∵，，，，∴，∴，∴，∴AG+CF=，∴DE-AG=CF.2.(2019·臺(tái)州)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn),P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連接PC交AD于點(diǎn)F,AP＝FD.(1)求的值;(2)如圖1,連接EC,在線段EC上取一點(diǎn)M,使EM＝EB,連接MF,求證:MF＝PF;(3)如圖2,過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N,在線段EN上取一點(diǎn)Q,使AQ＝AP,連接BQ,BN,將△AQB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q'落在AD上.請(qǐng)判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'是否落在線段BN上,并說明理由.第24題圖【分析】(1)通過相似構(gòu)造等量解得對(duì)應(yīng)線段AF與FD的長(zhǎng)度,來求解它們之間的比例;(2)通過連接PD,構(gòu)造全等轉(zhuǎn)化∠3與∠1相等,再利用第一問求得的AP的長(zhǎng)度得到EP＝EC,從而得到∠1＝∠4,故轉(zhuǎn)化∠3＝∠4,從而證明△PFD≌△FMC;(3)構(gòu)造三角形,通過證明相似,求得對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度,進(jìn)行比較,從而得到結(jié)論.解：(1)設(shè)AP＝x,則FD＝x,AF＝2－x,∵在正方形ABCD中,AB∥CD,∴△PAF∽△CDF,∴,∴,∴,解得,∵x＞0,∴,∴.(2)連接DP,∵PA＝DF,∠PAD＝∠ADC,AD＝CD,∴△PAD≌△FDC,∴∠3＝∠2,PD＝FC.又∵AB∥CD,∴∠1＝∠2.又∵EC＝,EB＝EM＝1,∴MC＝＝FD＝AP.∴PE＝PA+AE＝+1＝＝EC.∴∠1＝∠4,∴∠4＝∠3.又∵FD＝MC,PD＝FC,∴△PFD≌△FMC,∴PF＝FM.圖(1)(3)如圖2,在AD上取一點(diǎn)Q',使AQ'＝AQ,在BN上取一點(diǎn)B',使AB'＝AB,連接B'Q',作B'G⊥AD于點(diǎn)G,交EN于點(diǎn)K,∵tan∠NBE＝2,AB＝AB'＝2,∴BB'＝,B'N＝BN＝BB'＝.∵△NB'K∽△NBE,∴B'K＝,KN＝,∴B'G＝,DG＝,∴Q'G＝3－－＝－.在Rt△B'GQ'中,∠B'GQ'＝90°,利用勾股定理可得B'Q'＝,而,∴B'Q'≠BQ,∴點(diǎn)B'不在BN上.圖(2)3.（2019·衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6.∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM并延長(zhǎng)分別交DE，AC于點(diǎn)F,G.（1）求CD的長(zhǎng)。（2）若點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，求的值。（3）請(qǐng)問當(dāng)DM的長(zhǎng)滿是什么條件時(shí)，在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P，使得∠CPG=60°？解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠0AC=∠BAC=30°?！?分在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2，……4分（2）易得，BC=6，BD=4.……5分由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM.∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM，∴DF=AG.由DE∥AC.得△BFE∽△BGA，∴==,…7分∴====,…8分(3）∵∠CPG=60°，過C,P,G作外接圓，圓心為Q∴△CQG是頂角為120°的等腰三角形。①當(dāng)⊙Q與DE相切時(shí)，如圖1，過Q點(diǎn)作QH⊥AC，并延長(zhǎng)HQ與DE交于點(diǎn)P，連接QC，QG。設(shè)⊙Q的半徑QP=r，則QH=r，r+r=2，解得r=，∴CG=×=4,AG=2.易知△DFM∽△AGM，可得==,則=?！郉M=..…9分②當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，如圖2，過C點(diǎn)作CK⊥AB，垂足為K.設(shè)⊙Q的半徑QC=QE=r，則QK=3-r.在Rt△EQK中，12+（3-r）2=r2，解得r=，∴CG=×=.易知△DFM∽△AGM，可得DM=.……10分③當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖3，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，且給好在點(diǎn)A處，可得DM=4……11分∴綜上所述，當(dāng)DM=或<DM≤4時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè).……12分4.（2019·金華）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O，求證：BD＝2DO．（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長(zhǎng)．②若AD＝6BD，是否存在點(diǎn)E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長(zhǎng)；若不存在，試說明理由．（第24題圖）解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD＝CF，∠DCF＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝BD，∴∠ADO＝90°，CD＝BD＝AD．∴∠DCF＝∠ADC．在△ADO和△FCO中∴△ADO≌△FCO．∴DO＝CO．∴BD＝CD＝2DO．（2）①如答圖1，連結(jié)BF，分別過點(diǎn)D，F(xiàn)作DN⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥BC于點(diǎn)M．∴∠DNE＝∠EMF＝90°．又∵∠NDE＝∠MEF，DE＝EF，∴△DNE≌△EMF．∴DN＝EM．又∵BD＝，∠ABC＝45°，∴DN＝EM＝7，∴BM＝BC―ME―EC＝5，∴MF＝NE＝NC－EC＝5．∴BF＝．∵點(diǎn)D，分別為AB，的中點(diǎn)．∴DG＝BF＝．②過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H．∵AD＝6BD，AB＝14，∴BD＝2．Ⅰ）當(dāng)∠DEG＝90°時(shí)，有如答圖2，3兩種情況，設(shè)CE＝t．∵∠DEF＝90°，∠＝DEG°，∴點(diǎn)E在線段AF上．∴BH＝DH＝2，BE＝14－t，HE＝BE－BH＝12－t．∵△DHE∽△ECA，∴＝，即＝，解得t＝6±2，∴CE＝6＋2或CE＝6－2．Ⅱ）當(dāng)DG∥BC時(shí)，如答圖4．過點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DG交AC于點(diǎn)N，延長(zhǎng)AC并截取MN＝NA，連結(jié)FM．則NC＝DH＝2，MC＝10．設(shè)GN＝t，則FM＝2t，BK＝14－2t．∵△DHE≌△EKF．∴KE＝DH＝2，∴KF＝HE＝14－2t．∵M(jìn)C＝FK，∴14－2t＝10，t＝2．∵GN＝EC＝2，GN∥EC，∴四邊形GECN是平行四邊形．而∠ACB＝90°，∴四邊形GECN是矩形．∴∠EGN＝90°．∴當(dāng)EC＝2時(shí)，有∠DGE＝90°．Ⅲ）當(dāng)∠EDG＝90°時(shí)，如答圖5．過點(diǎn)G，F(xiàn)分別作AC的垂線，交射線AC于點(diǎn)N，M，過點(diǎn)E作EK⊥FM于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作GN的垂線，交NG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．則PN＝HC＝BC－HB＝12．設(shè)GN＝t，則FM＝2t，∴PG＝PN－GN＝12－t．由△DHE≌△EKF可得FK＝2，∴CE＝KM＝2t－2．∴HE＝HC－CE＝12－（2t－2）＝14－2t，∴EK＝HE＝14－2t，AM＝AC＋CM＝AC＋EK＝14＋14－2t＝28－2t，．∴MN＝AM＝14－t，NC＝MN－CM＝t．∴PD＝t－2．由△GPD∽△DHE可得＝，即＝，解得t1＝10－，t2＝10＋（舍去），∴CE＝2t－2＝18－2．所以，CE的長(zhǎng)為6＋2，6－2，2或18－2.5.（2019·自貢）（1）如圖1，E是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，連接BD、DE，將∠BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點(diǎn)F和點(diǎn)G.①線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是；②寫出線段BE，BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系.（2）當(dāng)四邊形ABCD是菱形，∠ADC=60°，點(diǎn)E是菱形ABCD邊AB所在直線上一點(diǎn)，連接BD、DE，將∠BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點(diǎn)F和點(diǎn)G.①如圖2，點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；②如圖3，點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE交射線BC于點(diǎn)M，若BE=1,AB=2，直接寫出線段GM的長(zhǎng)度.解：（1）①答案：DB=DG.∵∠BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=90°，∠BDE=∠GDF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC=∠DBA=12∠ABC∵∠BDG=90°，∴∠DBG=∠G=45°.∴DB=DG.②線段BE，BF和DB關(guān)系為：BF+BE=2BD，理由如下：∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△EDB≌△FDG.∴BE=GF.故答案為DB=DG.在Rt△BDG中，∵∠DBG=45°，∴cos∠DBG=BDBG即BG=2BD，又∵BG=BF+FG=BF+BE,∴BF+BE=2BD.（2）線段BE，BF和DB關(guān)系為：BF+BE=3BD，理由如下：∵∠BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=120°，∠BDE=∠GDF，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠ADC=60°，BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBG=12∠ABC∴∠G=180°-∠DBG-∠BDG=30°，∴∠G=∠DBG，∴BD=GD，∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△DBE≌△DGF,∴BE=GF,∴BG=BF+GF=BF+BE.過D作DH⊥BG于H，又∵DB=DG,∴BH=12BG在Rt△BDH中，∠DBG=30°，∴cos∠HBD=BHBD∴BH=32BD又∵BH=12BG∴BG=3BD.又∵BG=BF+BE，∴BF+BE=3BD.GM=193由旋轉(zhuǎn)可知，∠BDF=1200，又∵∠ABC=600，四邊形ABCD為菱形，∴∠CDB=∠CBD=12∠ABC=300∴∠FDC=∠BDF-∠BDC=900，在Rt△CDF中，∠DCF=1800-∠BCD=600，∴FC=CDCOS∠∵AB∥CD，∴△CDM∽△BEM，∴CMBM∴CM=23BC=由（2）可知，△BDE≌△FDG，∴GF=BE=1.∴GM=FG+FC+CM=1+4+43=196.（2019·涼山）如圖，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，過點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的長(zhǎng)．解：（1）證明：∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC，∵∠ABD=∠BCD=90°，∴△DAB∽△DBC，∴=,∴BD2=ADCD.(2)由（1）可知：BD2=ADCD.∵CD=6,AD=8，∴BD=4,又AD=8，∴AB=，∴AB=AD，∴∠ADB=30°，∠BDC=∠ABD=30°，又∠ABD=∠BCD=90°，∴∠A=∠DBC=60°，∵BM∥CD，∴∠BDC=∠MBD=30°，∠ABM=∠ABD-∠MBD=60°，∴△ABM是等邊三角形，故BM=AB=4，∵△ABD∽△BCD，∴，∴，∵BM∥CD，∴∠CBM=180°-∠BCD=90°，∴CM=，∵BM∥CD，∴△BMN∽△DCN，∴，∴CN=1.5MN，又CN+MN=CM=，∴MN=．7.（2019·樂山）在△中，已知是邊的中點(diǎn)，是△的重心，過點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)、.（1）如圖①，當(dāng)∥時(shí)，求證：；（2）如圖②，當(dāng)和不平行，且點(diǎn)、分別在線段、上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.②③解：（1）是△重心，,又∥,,,則.（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：如圖，過點(diǎn)作∥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則，，，又，而是的中點(diǎn)，即，，，又，，故結(jié)論成立；（3）（1）中結(jié)論不成立，理由如下：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),,,則，同理：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，∴結(jié)論不成立.8.（2019·達(dá)州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3.（1）尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡.①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；②過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為E.（2）在（1）作出的圖形中，求DE的長(zhǎng).解：（1）（2）解：∵DE⊥AC，∠ACB=90°∴DE∥AC∴∠ACD=∠CDE∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCE∴∠DCE=∠CDE∴ED=EC∵DE∥AC∴△BED∽△BCA∴設(shè)ED=EC=x，則BE=3-x.解得：x=.∴DE的長(zhǎng)為.9.（2019·濰坊）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點(diǎn)A作AH∥DG，交BG于點(diǎn)H，連接HF，AF，其中AF交EC于點(diǎn)M．（1）求證：△AHF為等腰直角三角形．（2）若AB=3，EC=5，求EM的長(zhǎng)．解：（1）證明：∵AD∥CG，AH∥DG∴四邊形ADGH為平行四邊形．∴AD=HG．∵AD=BC，∴BC=HG∴BC+CH=GH+HC即BH=CG∴GF=BH在△ABH和△HGF中AB=HG∠B=∠HGFBH=GF∴△ABH≌△HGF∴∠BAH=∠GHFAH=HF∵∠BAH+∠BHA=90°∴∠AHF=90°∴△AHF為等腰直角三角形．（2）∵AB=3，EC=5∴AD=CD=3，CE=EF=5∴DE=2∵AD∥EF∴∴EM=DE=．10.(2019·泰安)在矩形ABCD中,AE⊥BD于點(diǎn)E,點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn).(1)若BP平分∠ABD,交AE于點(diǎn)F,如圖①,證明四邊形AGFP是菱形(2)若PE⊥EC,如圖②,求證：;(3)在(2)的條件下,若AB＝1,BC＝2,求AP的長(zhǎng).解：(1)∵BP平分∠ABD,PF⊥BD,PA⊥AB,∴AP＝PF,∠ABP＝∠GBE,又∵在Rt△ABP中,∠APB+∠ABP＝90°,在Rt△BGE中∠GBE+∠BGE＝90°,∴∠APB＝∠BGE,又∵∠BGE＝∠AGP,∴∠APB＝∠AGP,∴AP＝AG,∴AG＝PF,∵PF⊥BD,AE⊥BD,∴PF∥AG,∴四邊形AGFP是平行四邊形,∴¨AGFP是菱形;∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AEP+∠PED＝90°,∠CED+∠PED＝90°,∴∠AEP＝∠CED,又∵∠PAE+∠ADE＝90°,∠CDE+∠ADE＝90°,∴∠PAE＝∠CDE,∴△AEP∽△DEC,∴,∴,又∵CD＝AB,∴;∵AB＝1,BC＝2,∴在Rt△ADE中,,由(2)知,∴.24．（2019浙江省溫州市，24，14分）（本題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，正方形AOCD的頂點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，E是BC中點(diǎn)，OF⊥DE于點(diǎn)F，連結(jié)OE．動(dòng)點(diǎn)P在AO上從點(diǎn)A向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在直線BC上從某點(diǎn)Q1向終點(diǎn)Q2勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和OE的長(zhǎng)；（2）設(shè)點(diǎn)Q2為(m，n)，當(dāng)tan∠EOF時(shí)，求點(diǎn)Q2的坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）的條件，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合．①延長(zhǎng)AD交直線BC于點(diǎn)Q3，當(dāng)點(diǎn)Q在線段Q2Q3上時(shí)，設(shè)Q3Q=s，AP=t，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)PQ與△OEF的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的AP的長(zhǎng)．【解題過程】（1）令y=0，則=0，∴x=8，∴B(8，0).∵C(0，4)，在Rt△BOC中，BC==4.又∵E為BC的中點(diǎn)，∴OE=BC=2.（2）如圖1，作EM⊥OC于點(diǎn)M，則EM∥CD，∴△CDN∽△MEN，∴，∴CN=MN=1，∴EN==.∵EN·OF=ON·EM，∴OF=.由勾股定理得EF=，∴tan∠EOF=，∴=×=.∵n=-m+4，∴m=6，n=1，∴Q2(6，1).（3）①∵動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，∴s關(guān)于t成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)s=kt+b，將和代入得，解得，∴s=t-；②(i)當(dāng)PQ∥OE時(shí)(如圖2)，∠QPB=∠EOB=∠OBE，作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則PH=BH=PB.∵BQ=6-S=6-t+=7-t，又∵cos∠QBH=，∴BH=14-3t，∴PB=28-6t，∴t+28-6t=12，∴t=；(ii)當(dāng)PQ∥OF時(shí)(如圖3)，過點(diǎn)Q作QG⊥AQ3于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥GQ于點(diǎn)H，由△Q3QG∽△CBO得Q3G：QG：Q3Q=1：2：.∵Q3Q=S=t-，∴Q3G=t-1，QG=3t-2，∴PH=AG=AQ3-Q3G=6-(t-1)=7-t，QH=QG-AP=3t-2-t=2t-2.∵∠HPQ=∠CDN，∴tan∠HPQ=tan∠CDN=，∴2t-2=(7-t)，∴t=.(iii)由圖形可知PQ不可能與EF平行.綜上所述，當(dāng)PQ與△OEF的一邊平行時(shí)，AP的長(zhǎng)為或．24．（2019年浙江省紹興市，第24題，14分）如圖，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)M,N分別在邊AB,CD上，點(diǎn)E,F分別在BC,AD上，MN,EF交于點(diǎn)P，記=MN∶EF.（1）若a∶b的值是1，當(dāng)MN⊥EF時(shí)，求k的值.（2）若∶的值是，求的最大值和最小值.（3）若的值是3，當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，∠MPE=60°，MP=EF=3PE時(shí)，求∶的值.【思路分析】（1）因?yàn)閍∶b的值是1，從而可得四邊形ABCD是正方形；可過M作MQ⊥CD，F(xiàn)H⊥BC，由題意可證明△FHE≌△MQN，從而可得MN＝EF，從而可求出k的值.（2）由∶的值是，可得b=2a，要求的最大值和最小值，只要求出MN和EF的取值范圍，由題意可知MN的取值范圍是2a≤MN≤a，EF的取值范圍是a≤EF≤a.所以要求的最大值，則MN取最長(zhǎng)，EF最短；要求的最小值，則MN取最短，EF最長(zhǎng)從而可求出的最大值和最小值.（3）連接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，得＝3，得＝＝2，由△PNF∽△PME，得＝＝2，ME∥NF，設(shè)PE＝2m，則PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，再分兩種情形：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)M恰好與B重合．②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)N與C重合，分別求解即可．【解題過程】24．（2019山東煙臺(tái)，24，11分）【問題探究】(1)如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：；②若，，則線段AD的長(zhǎng)為．【拓展延伸】(2)如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，，，，，，將△DEC繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．【解題過程】（1）本題的答案是①②4探究過程如下：①因?yàn)椤鰽BC和△DEC均為等腰直角三角形，所以，，所以，在△ACD與△BCE中，因?yàn)?，，，所以△ACD≌△BCE，所以,因?yàn)樗?，所以即所以，所以．②由①可得△ACD≌△BCE，所以,在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，設(shè)，則，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或（舍去），所以,即線段AD的長(zhǎng)為4．（2）解：情況1：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)的圖形如圖（1）所示，第24第24題答圖（1）因?yàn)樗运?，因?yàn)?，，所以在△ACD與△BCE中，因?yàn)?，，所以△ACD∽△BCE，所以,，所以因?yàn)樗?，所以即所以，在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，設(shè)，則，所以，