浙江省2018屆中考數(shù)學(xué)：第18講《三角形與全等三角形》名師講練(含答案)

第18講三角形與全等三角形1．三角形的概念及其分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(概念：由不在同一直線上的三條線段相接,所得到的圖形叫做三角形.,分類\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按角分類\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(角三角形,角三角形,角三角形)),按邊分類\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(不等邊三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底與腰不相等的等腰三角形,三角形))))))))2．與三角形有關(guān)的線段考試內(nèi)容考試要求高_(dá)___________________三角形的三條高相交于三角形的內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于____________________；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部．b中線三角形的三條中線相交于____________________，每一條中線都將三角形分成面積____________________的兩部分．角平分線三角形的三條角平分線相交于____________________，這個(gè)點(diǎn)是三角形的____________________，這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離____________________．三邊關(guān)系三角形的兩邊之和____________________第三邊，三角形的兩邊之差____________________第三邊．c穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性．a(chǎn)三角形的中位線定義連結(jié)三角形兩邊____________________的線段叫做三角形的中位線.c性質(zhì)三角形的中位線____________________第三邊，并且等于第三邊的____________________．3.與三角形有關(guān)的角考試內(nèi)容考試要求定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于____________________．bc推論直角三角形的兩個(gè)銳角____________________．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的____________________．4.全等三角形的性質(zhì)與判定考試內(nèi)容考試要求性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊____________________，對(duì)應(yīng)角_____________．c判定判定1：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”)；判定2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”)；判定3：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”)；判定4：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”)；判定5：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”)．考試內(nèi)容考試要求基本方法1.分析問(wèn)題思考方法：(1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運(yùn)用相應(yīng)的定理，聯(lián)合幾個(gè)已知條件加以發(fā)展，一步一步地去靠近欲證目標(biāo)；(2)逆推分析：從欲證結(jié)論入手，分析達(dá)到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法；(3)順推分析與逆推分析相結(jié)合；(4)聯(lián)想分析：對(duì)于一道與證明過(guò)的題目有類似之處的新題目，分析它們之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，嘗試把對(duì)前一道題的思考轉(zhuǎn)用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法．c2.“截長(zhǎng)法”和“補(bǔ)短法”是證明和差關(guān)系的重要方法，無(wú)論用哪一種方法都是要將線段的和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，因此添加輔助線構(gòu)造全等三角形是通向結(jié)論的橋梁．1．(2017·舟山)長(zhǎng)度分別為2，7，x的三條線段能組成一個(gè)三角形，x的值可以是()A．4B．5C．6D．92．(2017·衢州)如圖，直線AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E等于()A．30°B．40°C．60°D．70°(2016·麗水)如圖，在△ABC中，∠A＝63°，直線MN∥BC，且分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，若∠AEN＝133°，則∠B的度數(shù)為_(kāi)___________________．4．(2017·溫州)如圖，在五邊形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求證：△ABC≌△AED；(2)當(dāng)∠B＝140°時(shí)，求∠BAE的度數(shù)．【問(wèn)題】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，作射線AD.(1)若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？若AD是∠BAC的角平分線呢？(2)在線段AD及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E、F，DE＝DF，連結(jié)CE、BF.添加一個(gè)條件，使得△BDF≌△CDE，并加以證明．你添加的條件是________．(不添加輔助線)．【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理中線、高、角平分線，以及三角形全等的判定，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．類型一三角形的三邊關(guān)系eq\a\vs4\al(例1)(2017·金華)下列各組數(shù)中，不可能成為一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的是()A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，10【解后感悟】三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊．只要滿足兩短邊的和大于最長(zhǎng)的邊，就可以構(gòu)成三角形．1．(1)(2016·杭州市下城區(qū)模擬)已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且AB＝2，BC＝6，則△ABC的周長(zhǎng)可能是()A．12B．14C．16D．17(2016·義烏模擬)如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框(形狀不限)，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩個(gè)螺絲間的距離的最大值為()A．6B．7C．8D．9(3)小明和小麗是同班同學(xué)，小明的家距學(xué)校2千米遠(yuǎn)，小麗的家距學(xué)校5千米遠(yuǎn)，設(shè)小明家距小麗家x千米遠(yuǎn)，則x的值應(yīng)滿足()A．x＝3B．x＝7C．x＝3或x＝7D．3≤x≤7類型二三角形的內(nèi)角、外角的性質(zhì)eq\a\vs4\al(例2)(2017·衢州模擬)如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC的垂直平分線，直線m為∠ABC的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，則∠ABP的度數(shù)為()A．24°B．30°C．32°D．36°【解后感悟】本題是線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠ABP的方程是解題的關(guān)鍵．(1)(2017·寧波模擬)已知：△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足∠A＝2∠B＝3∠C，則△ABC是____________________三角形．(填“銳角”、“直角”、“鈍角”)(2017·舟山模擬)將正三角形、正四邊形、正五邊形按如圖所示的位置擺放．如果∠3＝32°，那么∠1＋∠2＝____________________度．3．將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過(guò)點(diǎn)C作CF平分∠DCE交DE于點(diǎn)F.(1)求證：CF∥AB；(2)求∠DFC的度數(shù)．類型三三角形的角平分線、中線和高eq\a\vs4\al(例3)如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，∠B＝30°，∠C＝80°，BE＝2，AF＝3，填空：(1)AB＝________．(2)∠BAD＝________．(3)∠DAF＝________．(4)S△AEC＝________．【解后感悟】理解三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理．揭示三線構(gòu)建圖形之間的聯(lián)系．4．(1)(2015·長(zhǎng)沙)如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，以下作法正確的是()(2)(2015·綿陽(yáng))如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，則∠BFC＝()A．118°B．119°C．120°D．121°(2015·廣州)如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3eq\r(3)，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)___________________．6．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E.(1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大??；(2)若∠B<∠C，則2∠EAD與∠C－∠B是否相等？若相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．類型四三角形全等的判定的運(yùn)用eq\a\vs4\al(例4)如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上(F，C之間不能直接測(cè)量)，點(diǎn)A，D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)指出圖中所有平行的線段，并說(shuō)明理由【解后感悟】解題的關(guān)鍵是正確尋找證明三角形全等的條件，聯(lián)想平行線的判定方法．7．(2017·溫州模擬)在梯形ABCD中，AD∥BC，連結(jié)AC，且AC＝BC，在對(duì)角線AC上取點(diǎn)E，使CE＝AD，連結(jié)BE.(1)求證：△DAC≌△ECB；(2)若CA平分∠BCD，且AD＝3，求BE的長(zhǎng)．8．(2017·桂林模擬)如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝BD，連結(jié)AE、DE、DC.(1)求證：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．類型五三角形全等的性質(zhì)的運(yùn)用eq\a\vs4\al(例5)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE.(1)求證：CE＝CF；(2)若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？【解后感悟】證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等，在第二問(wèn)中通過(guò)全等找出和GE相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立．如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測(cè)量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測(cè)出其長(zhǎng)度的線段是()A．POB．PQC．MOD．MQ10．如圖，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上．(1)已知：BD＝CE，CD＝BE，求證：AB＝AC；(2)分別將“BD＝CE”記為①，“CD＝BE”記為②，“AB＝AC”記為③.添加條件①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件②、③，以①為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是________________命題，命題2是________________命題．(填“真”或“假”)【反思研究題】(2017·義烏模擬)已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AQ交BC于點(diǎn)F，求證：△PDF≌△QDC；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動(dòng)的過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度是否保持不變？若保持不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)度，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【方法與對(duì)策】運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)等，注意對(duì)比信息，嘗試著用前一題的結(jié)論與方法去完成下一題，該題型是中考熱點(diǎn)題型之一．【忽視全等三角形判定中邊、角位置性】AB＝AC，D、E分別在AB、AC上，連結(jié)CD、BE，且CD＝BE，判斷∠ADC和∠AEB是否相等？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案第18講三角形與全等三角形【考點(diǎn)概要】首尾順次銳直鈍等邊2.銳角直角頂點(diǎn)一點(diǎn)相等一點(diǎn)內(nèi)心相等大于小于中點(diǎn)平行一半3.180°互余和4.相等相等【考題體驗(yàn)】1．C2.A3.70°4.(1)∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝ED，,∠ACB＝∠ADE,AC＝AD，))，∴△ABC≌△AED(SAS)；(2)當(dāng)∠B＝140°時(shí)，∠E＝140°，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴五邊形ABCDE中，∠BAE＝540°－140°×2－90°×2＝80°.【知識(shí)引擎】【解析】(1)BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，S△ABD＝S△ADC；∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC等．(2)由已知∠EDC＝∠FDB，因?yàn)槿切稳葪l件中必須是三個(gè)元素，并且一定有一組對(duì)應(yīng)邊相等．故添加的條件是：BD＝CD(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．證明：在△BDF和△CDE中∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝BD,∠EDC＝∠FDB,DE＝DF))，∴△CDE≌△BDF.【例題精析】例1C例2∵直線m為∠ABC的角平分線，∴∠ABP＝∠CBP.∵直線l為BC的中垂線，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC中，3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝180°，即3∠ABP＋60°＋24°＝180°，解得∠ABP＝32°.故選C.例3(1)∵在△ABF中，AF是高，∠B＝30°，AF＝3，∴AB＝2AF＝6；(2)∵在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，∴∠BAC＝70°，∵AD是角平分線，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝35°；(3)∵在△AFC中，AF是高，∠C＝80°，∴∠FAC＝10°，∴∠DAF＝∠DAC－∠FAC＝35°－10°＝25°；(4)∵在△ABC中，AE是中線，∴EC＝BE＝2，∴S△AEC＝eq\f(1,2)EC·AF＝eq\f(1,2)×2×3＝3.故答案為：6；35°；25°；3.例4(1)∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,AC＝DF，,BC＝EF，))∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)結(jié)論：AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF.例5(1)證明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.【變式拓展】(1)B(2)D(3)D2.(1)鈍角(2)70(1)證明：由題意知，△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠B＝45°.∵CF平分∠DCE，∴∠DCF＝∠ECF＝45°，∴∠B＝∠ECF，∴CF∥AB.(2)由三角板知，∠E＝60°，由(1)知，∠ECF＝45°，∵∠DFC＝∠ECF＋∠E，∴∠DFC＝45°＋60°＝105°.(1)A(2)C5.3(1)∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°，∵AE是角平分線，∴∠EAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝40°，∵AD是高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°－∠C＝20°，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝40°－20°＝20°；(2)由(1)知，∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC－(90°－∠C)①，把∠BAC＝180