剛體轉(zhuǎn)動及角動量守恒

關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動及角動量守恒第1頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三剛體運動的分類

剛體：形狀固定的質(zhì)點系（含無數(shù)質(zhì)點、不形變、理想固體。）剛體運動的分類平動剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的相同，可當(dāng)作質(zhì)點處理。定軸轉(zhuǎn)動剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運動

剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點運動

剛體上各質(zhì)點都以某一定點為球心的各個球面上運動。一般運動

復(fù)雜的運動與平動的混合。第2頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三定軸轉(zhuǎn)動參量剛體轉(zhuǎn)軸1.角位置轉(zhuǎn)動平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+△t)參考方向剛體中任一點剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程2.角位移3.角速度常量靜止勻角速變角速4.角加速度變角加速常量勻角加速勻角速用矢量表示或時，它們與剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右螺旋定則描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量第3頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動方程求導(dǎo)例題單位：rad-1rads-2rads已知rad

50p

51p

52p

53p1radstsrad100p150pst

50p

p

2radstsp解法提要-1rads-2rads勻變角速定軸轉(zhuǎn)動第4頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三積分求轉(zhuǎn)動方程已知任意時刻的恒量且

t

=0時得解法提要得或勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的運動方程第5頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三線量與角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動剛體在某時刻t

的瞬時角速度為，瞬時角加速度為，已知剛體中一質(zhì)點P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點P

的大小瞬時線速度瞬時切向加速度瞬時法向加速度這是定軸轉(zhuǎn)動中線量與角量的基本關(guān)系解法提要第6頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三公式對比質(zhì)點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度位移角位移勻速直線運動勻角速定軸轉(zhuǎn)動勻變速直線運動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動第7頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三剛體轉(zhuǎn)動定律引言剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動定律質(zhì)點的運動定律或剛體平動F

=

m

a慣性質(zhì)量合外力合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動，服從怎樣的運動定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動慣量第8頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三合外力矩外力在轉(zhuǎn)動平面上對轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩與合外力矩方向第9頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動定律某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=ai=ribtnFiOrifiijqi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以ri并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=二、剛體的轉(zhuǎn)動定律第10頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動慣量某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=ai=ribtnFiOrifiijqi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以ri并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=二、剛體的轉(zhuǎn)動定律Mbri∑=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用表示稱為轉(zhuǎn)動慣量I剛體的轉(zhuǎn)動定律即剛體所獲得的角加速度

的大小與剛體受到的

合外力矩的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。第11頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動慣量的計算二、轉(zhuǎn)動慣量及其計算Mb=I將剛體轉(zhuǎn)動定律與質(zhì)點運動定律F=am對比轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度II∑

與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求I為體積元

處的密度II的單位為第12頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三分立質(zhì)點的算例轉(zhuǎn)動慣量的計算舉例可視為分立質(zhì)點結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸

若連接兩小球（視為質(zhì)點）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則∑轉(zhuǎn)軸∑sinsin0.75第13頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對中垂軸的勻直細(xì)桿對端垂軸的質(zhì)心新軸質(zhì)心軸平行移軸定理對新軸的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量新軸對心軸的平移量例如：時代入可得端第14頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的取半徑為微寬為的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元第15頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三球體算例勻質(zhì)實心球?qū)π妮S的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量的迭加距為、半徑為、微厚為的薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為其中第16頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I=m

R123I=m

L1轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直第17頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三其它典型勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I

=

m

R

2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I

=2m

R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I

=2m

R3第18頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動定律例題一三、轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用選例合外力矩應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成。合外力矩與合角加速度方向一致。在定軸轉(zhuǎn)動中，可先設(shè)一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復(fù)。與時刻對應(yīng)，何時何時則何時，則何時恒定恒定。

勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放coscos第19頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動定律例題二已知T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aab

T1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Ib

a=RbI=mR22轉(zhuǎn)動平動線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉(zhuǎn)動摩擦力矩

Mr,則轉(zhuǎn)動式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再聯(lián)立求解。第20頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動定律例題三Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度b細(xì)繩線加速度a解法提要（A）（B）第21頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動定律例題四Rm1m2m已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要對m1m2m分別應(yīng)用和質(zhì)點運動和剛體轉(zhuǎn)動定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及

a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m2)2

(rad)gt物體從靜止開始運動時，滑輪的轉(zhuǎn)動方程第22頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動定律例題五已知qq從等傾角處靜止釋放兩勻直細(xì)桿地面兩者瞬時角加速度之比解法提要213sinq1sinq1321根據(jù)短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)第23頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)動動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系∑剛體中任一質(zhì)元的速率該質(zhì)元的動能對所有質(zhì)元的動能求和∑轉(zhuǎn)動慣量

II得剛體轉(zhuǎn)動動能公式一、轉(zhuǎn)動動能第24頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三力矩的功二、力矩的功和功率力

的元功cossinsin力對轉(zhuǎn)動剛體所作的功用力矩的功來計算若在某變力矩的作用下，剛體由轉(zhuǎn)到，作的總功為力矩的瞬時功率第25頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三力矩的功算例撥動圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小解法提要總摩擦力矩是各微環(huán)帶摩擦元力矩的積分環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功得已知粗糙水平面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤第26頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三剛體的動能定理三、剛體轉(zhuǎn)動的動能定理回憶質(zhì)點的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理由

力矩的元功轉(zhuǎn)動定律則合外力矩的功轉(zhuǎn)動動能的增量剛體轉(zhuǎn)動的動能定理稱為第27頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三動能定理例題一勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸圓盤下擺時質(zhì)點的角速度、切向、法向加速度的大小解法提要對系統(tǒng)外力矩的功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動動能增量其中sin得由轉(zhuǎn)動定律得cos則第28頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三動能定理例題二解法提要外力矩作的總功cos從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關(guān)系還可算出此時桿上各點的線速度已知水平位置靜止釋放擺至垂直位置時桿的勻直細(xì)桿一端為軸第29頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三動能定理例題三解法提要段，外力矩作正功cos段，外力矩作負(fù)功cos∑合外力矩的功從水平擺至垂直由得轉(zhuǎn)軸對質(zhì)心軸的位移

代入得已知擺至垂直位置時桿的水平位置靜止釋放第30頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三含平動的轉(zhuǎn)動問題四、含的功能原理質(zhì)點平動剛體定軸轉(zhuǎn)動機械外力非保守內(nèi)力矩力力矩動勢動勢平動轉(zhuǎn)動平動轉(zhuǎn)動系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守內(nèi)力矩力平動轉(zhuǎn)動勢平動轉(zhuǎn)動勢可求或此外勢第31頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三質(zhì)點的角動量質(zhì)點的動量質(zhì)點對參考點O的角動量大小sin位矢慣性系中某給定參考點取小于的轉(zhuǎn)向質(zhì)點對某參考點的角動量的定義sin方向垂直于所決定的平面，指向右螺旋叉乘的旋進(jìn)方向。角動量

又稱

動量矩質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量第32頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三引例角動量sin大小質(zhì)點對參考點的地球上的單擺大小會變變太陽系中的行星sin大小未必會變?？渴裁磁袛?？變變變第33頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理導(dǎo)致角動量隨時間變化的根本原因是什么？思路：分析與什么有關(guān)？由則兩平行矢量的叉乘積為零得角動量的時間變化率質(zhì)點對參考點的位置矢量所受的合外力等于叉乘第34頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三續(xù)4是力矩的矢量表達(dá)：而即力矩大小sin方向垂直于所決定的平面，由右螺旋法則定指向。得質(zhì)點對給定參考點的角動量的時間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點的角動量定理

的微分形式

如果各分力與O點共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)順時針為正向，用代數(shù)法求合力矩。第35頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三例題大小sin

若忽略其它天體的作用力，太陽系中某一行星所受的合外力總是指向太陽。若以太陽為參考點，則合外力矩大小角動量的大小不隨時間變化張力通過點力矩為零重力的力矩大小為sin等于合外力矩sin除了在通過平衡位置（）的一瞬間，角動量的時間變化率為零外，其它位置均不為零。第36頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三定理的積分形式由質(zhì)點的角動量定理也可用積分形式表達(dá)稱為沖量矩角動量的增量這就是質(zhì)點的角動量定理

的積分形式例如，單擺的角動量大小為L=

mvr,v為變量。

在t=0時從水平位置靜止釋放，初角動量大小為L0=mv0r=0；時刻t

下擺至鉛垂位置，

角動量大小為L⊥

=

mv⊥r。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于L-L0=mv⊥r=

mr2gr。第37頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律根據(jù)質(zhì)點的角動量定理

若則即常矢量當(dāng)質(zhì)點所受的合外力對某參考點的力矩為零時，質(zhì)點對該點的角動量的時間變化率為零，即質(zhì)點對該點的角動量守恒。質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律稱為若質(zhì)點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。第38頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積第39頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三定律的證明證：時刻m對O的角動量大小為sin即因行星受的合外力總指向是太陽，角動量守恒。瞬間位矢掃過的微面積則常量（稱為掠面速率）故，位矢在相同時間內(nèi)掃過的面積相等第40頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系的角動量定理與角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量定理與角動量守恒定律一、質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系的角動量各質(zhì)點對給定參考點的角動量的矢量和慣性系中某給定參考點第41頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三質(zhì)點系的角動量定理二、質(zhì)點系的角動量定理將對時間求導(dǎo)內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點內(nèi)外外內(nèi)外得外質(zhì)點系的角動量的時間變化率質(zhì)點受外力矩的矢量和質(zhì)點系的角動量定理稱為微分形式第42頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三續(xù)12二、質(zhì)點系的角動量定理將對時間求導(dǎo)內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點內(nèi)外外內(nèi)外得外質(zhì)點系的角動量的時間變化率質(zhì)點受外力矩的矢量和質(zhì)點系的角動量定理稱為微分形式外質(zhì)點系的角動量的時間變化率質(zhì)點受外力矩的矢量和質(zhì)點系的角動量定理的微分形式質(zhì)點系所受的質(zhì)點系的沖量矩角動量增量質(zhì)點系的角動量定理的積分形式

若各質(zhì)點的速度或所受外力與參考點共面，則其角動量或力矩只含正反兩種方向，可設(shè)順時針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。第43頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三質(zhì)點系的角動量守恒定律三、質(zhì)點系的角動量守恒定律外由若則或恒矢量當(dāng)質(zhì)點系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動量系統(tǒng)的末態(tài)角動量得不論體力強弱，兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點系角動量定理進(jìn)行具體分析討論。第44頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三剛體的角動量剛體的角動量剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量是無數(shù)質(zhì)點對公共轉(zhuǎn)軸的角動量的疊加

所有質(zhì)點都以其垂軸距離為半徑作圓周運動任一質(zhì)元（視為質(zhì)點）的質(zhì)量其角動量大小全部質(zhì)元的總角動量∑∑對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體∑定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量大小方向與同繞向或與沿軸同指向角動量第45頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三剛體的角動量定理1.剛體的角動量定理合外力矩角動量的時間變化率（微分形式）（積分形式）沖量矩角動量的增量剛體的角動量定理剛體的角動量定理回憶質(zhì)點的角動量定理（微分形式）（積分形式）第46頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三剛體系統(tǒng)的角動量定理2.剛體系統(tǒng)的角動量定理若一個系統(tǒng)包含多個共軸剛體或平動物體系統(tǒng)的總合外力矩∑∑系統(tǒng)的總角動量的變化率系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動量增量∑系統(tǒng)：輕繩（忽略質(zhì)量）總合外力矩對O的角動量對O的角動量∑∑∑由得同向而解得例如靜止釋放求角加速度第47頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三主要公式歸納剛體（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)角動量定理∑∑∑剛體的歸納：角動量關(guān)鍵式：是矢量式與質(zhì)點平動對比第48頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量定理由剛體所受合外力矩若則即常矢量

當(dāng)剛體所受的合外力矩等于零時，

剛體的角動量保持不變。剛體的角動量守恒定律第49頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三回轉(zhuǎn)儀定向原理萬向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理其中轉(zhuǎn)動慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會受基座改向的影響基座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動慣量）第50頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三角動量守恒的另一類現(xiàn)象角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小

用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂大小第51頁，講稿共58頁，2023年5月2日，星期三花樣滑冰中常見的例子角動量守