2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊期末考前基礎(chǔ)練-圓（55題）（人教版）（解析版）

期末考前基礎(chǔ)練練練?圓

圓的認(rèn)識（共2小題）

1.已知。0中最長的弦為10,則。。的半徑是（）

A.10B.20C.5D.15

【分析】根據(jù)圓的直徑為圓中最長的弦求解.

【解答】解：?.?最長的弦長為10,

??.00的直徑為10,

二。。的半徑為5.

故選：C.

【點評】本題考查了圓的認(rèn)識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、

等圓、等弧等）.

2.下列說法，其中正確的有（）

①過圓心的線段是直徑

②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形

③大于半圓的弧叫做劣弧

④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)項分析即可.

【解答】解：①過圓心的弦是直徑，故該項錯誤；

②由一條弧和經(jīng)過這條弧的兩個端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形，故該項正確；

③小于半圓的弧叫做劣弧，故該項錯誤；

④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓，故該項正確.

故選：B.

【點評】本題考查了圓的認(rèn)識，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

二.垂徑定理（共3小題）

3.如圖，AB是。O的弦，半徑OCLAB于點D,若。。的半徑為\0cm,AB=l6cm,則OD的長是（)

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】連接04,先由垂徑定理得4。=80=」乂8=8。"，再由勾股定理求出。。的長即可.

2

【解答】解：如圖，連接。4,則0A=l(kro,

'：OCLAB,AB=\6cm,

AZODA=90°,AD=BD=lAB=Scm,

2

在RtZSODA中，由勾股定理得：0.={0慶2_人口2={］。2_82=6(cm),

【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解此題的關(guān)鍵.

4.如圖，48,CD是。。的兩條平行弦，且AB=4,CD=6,AB,C￡)之間的距離為5,則00的直徑是()

A.A/13B.2^/13C.8D.10

【分析】作OM_LAB于M,延長M0交CD于N,連接。8,0D,由垂徑定理，勾股定理即可求解.

【解答】解：作OMJ_A8于例，延長交CO于M連接08,0D,設(shè)OM=x,

：.MB=1AB=2,DN=LCD=3,

22

■：OB2=OM2+MB2,

.,.OB2—J^+22,

?/0。2=0儲+。儲，

：.0D2=(5-X)2+32.

,:OB=OD,

二/+4=(5-x)2+9,

??x=3,

.?.052=32+4=13,

：.0B=yTL3,

.?.00直徑長是205，

故選：B.

【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是作。歷，AB于M,延長M。交C。于M連接。8,0D

構(gòu)造直角三角形，以便應(yīng)用垂徑定理，勾股定理.

5.(1)解方程：x2-4x=0.

(2)如圖，已知弓形的弦長A8=8,弓高CC=2(C￡>_LAB并經(jīng)過圓心0).求弓形所在。。的半徑r

的長.

C

【分析】設(shè)OO的半徑為r,根據(jù)垂徑定理得到AD=6,由于0D=r-2,則利用勾股定理得到62+(r

-2)2=/，然后解方程即可.

【解答】(1)解：(x-4)=0,

，x=0或x-4=0,

??X1=O,JC2=4;

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,

并經(jīng)過圓心0,

.,MD=BD=JUB=AX8=4,OD=OC-CD=r-2,

22

在RtZ\OA力中，42+(r-2)2=^,解得/'=5,

即。。的半徑的長為5.

【點評】本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定

理.

三.圓心角、弧、弦的關(guān)系(共3小題)

6.如圖，AB為。。的直徑，C是BA延長線上一點，點。在0。上，且CQ=OA,C。的延長線交。。于

點E,若NC=23°,試求NE03的度數(shù).

【分析】利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得NEQO,從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解.

【解答】W：'：CD=OA=OD,NC=23°,

.?./0￡>E=2/C=46°,

?；OD=OE,

:.NE=NEDO=46°,

.?./EOB=/C+/E=46°+23°=69°.

【點評】本題考查了圓的認(rèn)識及等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和

三角形外角性質(zhì)是關(guān)鍵.

7.如圖，AB是。0直徑，BC=BD.連接c。，過點O作射線CB的垂線，垂足為點G,交AB的延長線于

點尸.

(1)求證：AE=EF；

(2)若。。=七尸=10,求8G的長.

【分析】(1)連接A。，證明NA=NR再根據(jù)三線合一即可證明AE=Ea

(2)先求出￡>E=CE=5,由NC的正切求出總，從而得到8F的值，在RtZXBG尸中即可求出答案.

2

【解答】(1)證明：如圖，連接AD,

是直徑，BC=BD?

：.AB±CD,

.../C+NCBE=90°,

VCG±DF,

ZF+ZFfiG=90°,

又，：ZCBE=4FBG

.?.NC=NF,

VBC=BD.

ZA=ZC,

NA=NF,

又：AF_LOE,

.*.4E=EF；

(2)解：?:CD=EF=1。,ABLCD,

：.DE=CE=^EF=5,

2

tanZF=tanZC=A,

2

.,.BE=ACE=A,

22

-BE=10-5=里

22

8G=^3近

娓2

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系等圓的有關(guān)知識和三角函數(shù)，第(2)問解題的關(guān)鍵是求出

BF的長.

8.如圖.在四邊形ABCF中.FAVAB.8cLAB.oO經(jīng)過點A,B,C,分別交邊AF.FC于點O,E.且

E是而的中點.

(1)求證：E是FC的中點.

(2)連結(jié)4E,當(dāng)4B=6.AE=5時，求4尸的長.

【分析】(1)連接4C,根據(jù)4c為圓。的直徑，得到NAEC為直角，根據(jù)E為弧CO的中點，得到弧

相等，根據(jù)等弧對的圓周角相等，利用ASA得到三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；

(2)連接8,利用面積法求出FC與AF比值，設(shè)尸C,根據(jù)勾股定理求出x的值，即可求出AF的長.

【解答】(1)證明：連接AC,

'：BCLAB,

：.ZABC^90Q,

；.AC是圓。的直徑，

ZAEC=9Q0,

NAEF=1800-ZAEC=90°=ZAEC,

為面的中點，

???DE=CE.

：.ZFAE^ZCAE,

在△AEC和AAE尸中，

，ZCAE=ZFAE

,AE=AE，

ZAEC=ZAEF

.?.△AECg/XAEF(ASA),

：.EC=EF,

，E為fC的中點;

(2)連接CD,

'：FA±AB,CB±AB,

.?./A￡>C=N4EC=90°,

四邊形ADC8是矩形，

：.CD=AB=6,

'：S&AFC=上FC?4E=1AF-CD,

22

：.5FC=6AF,

?FC=_6

■市5,

設(shè)FC=12r,則AF=10x,

為FC的中點，

：.FE=^FC=6x,

2

在RtZ\4E尸中，根據(jù)勾股定理得：AE^+EF2=AF2,

即52+(6JV)2=(10x)2,

解得：》=旦

8

.?.AF=10x=空.

4

【點評】此題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，矩形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，全等三角形

的判定與性質(zhì)，知識點較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

四.圓周角定理（共3小題）

9.如圖，已知A8是半圓0的直徑，點C和點。是半圓上的兩點，且O￡?〃BC.求證：AD=CD.

【分析】利用直徑所對的圓周角是90°,可得再利用OC〃8C,可得OCAC,最后利用垂

徑定理即可求證.

【解答】證明：是半圓。的直徑，

C.ACLBC,

又：0￡>〃8C,

OD1AC,

?,.AD=CD，

：.AD=CD.

【點評】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理得到益=而.

10.已知：如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點E,連結(jié)AD

（1）若而=104°,求/區(qū)4。的度數(shù).

（2）點G是AC上任意一點，連結(jié)GA,G。求證：ZAGD=ZADC.

G.

【分析】(I)由圓周角定理的推論即可計算；

(2)由垂徑定理，圓周角定理的推論，即可證明.

【解答】(1)解：是。。的直徑，弦于點E,

?■-BC=BD?

VCD=104°,

.?⑤=52。，

：.ZBAD=^X52°=26°；

2

(2)證明：是。。的直徑，弦CC_LA8于點E,

AAC=^.

:.ZAGD=ZADC.

【點評】本題考查垂徑定理，圓周角定理的討論，關(guān)鍵是掌握：乖宜于弦的直徑平分弦對的兩條?。煌?/p>

弧或等弧所對的圓周角相等，圓周角等于它所對弧度數(shù)的一半.

11.如圖，C是奇的中點，ZA0C=4ZB,0C=4.

(1)求乙4的度數(shù)；

(2)求線段AB的長度.

【分析】(1)延長CO交A8于〃，連接8C,根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)推

出乙4=30°：

(2)解直角三角形求出4〃=2如，根據(jù)垂徑定理即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖，延長CO交A8于”，連接8C,

；C是仄適的中點，

VAC=BC-

：.CH±AB,AH=BH,

：.ZAHO=90°,

'：OA=OB,

：.ZA=ZOBA,

VZAOC=90°+ZA=4ZOBA,

：.ZA=30°；

(2)'：OA=OC=4,CHLAB,ZA=30°,

.?.OH=JLOA=2,

2

:.AH=yl0A2-OH242-22=2V3>

：.AB=2AH=A43-

【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助

線，屬于中考?？碱}型.

五.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(共3小題)

12.如圖，四邊形4BCZ)內(nèi)接于一圓，CE是邊8c的延長線.

(1)求證/￡)48=/￡>CE；

(2)若NOAB=60°,NACB=70°,求NA8。的度數(shù).

D

C

A\~~/B

【分析】(I)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到ND48+NOC8=I80°,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明結(jié)論；

(2)根據(jù)圓周角定理得到NADB=NACB=70°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【解答】(1)證明：：四邊形ABCD內(nèi)接于圓，

ND48+NDC8=I8O°,

'：ZDCE+ZDCB=\SO°,

:.NDAB=NDCE；

(2)解:VZACB=70°,

/.ZADB=ZACB=70Q,

；.乙48。=180°-60°-70°=50°.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。0,。是弧4c的中點，延長BC到點E,使CE=AB,連接8。，ED.

(1)求證：BD=ED.

(2)若/A8C=60°,AZ)=5,則。0的直徑長為10.

【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到840=NECO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BO=EQ；

(2)連接。。并延長交。。于F,連接CR則NFC0=9O°,根據(jù)已知條件得到NA8O=NCR),AD

=CD=5,求得/尸=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：???翁=而，

：.AD=DC,

:四邊形A8co內(nèi)接于OO,

，N8AO+N8c。=180°,

"：ZECD+ZBCD=\S0°,

"BAD=NECD,

在△A8力和中，

rAD=DC

<ZBAD=ZECD>

AB=CE

:.△ABDQ/XCED(SA5),

:.BD=ED：

(2)解：連接。。并延長交。。于凡連接CF,

則/"0=90",

:。是弧AC的中點，

AAD=CD.

:.NABD=/CBD,AD=CD=5,

VZABC^60°,

.../CBC=30°,

：.ZF=ZDBC=30°,

：.DF=2CD=\0,

.??OO的直徑長為10,

故答案為：10.

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

14.如圖，點A、B、C、。都在。。上，OC_LAB,ZADC=30°.

(1)求/8OC的度數(shù)：

(2)求/4CB的度數(shù)；

A

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出窟=和，再利用圓周角定理得出/80C的度數(shù);

（2）連接BQ,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)便可求得結(jié)果.

【解答】解：（1）?點A、B、C、。都在。。上，OCLAB,

AC=BC?

VZ4DC=30°,

AZAOC=ZBOC=2ZADC=60°,

.?.NBOC的度數(shù)為60°；

（2）連接BD,

vAC=BC?

AZADC=ZBDC=30°,

：.ZADB=60°,

VZACB+ZADB^\S00,

/.ZACB=120°.

【點評】此題主要考查了鬧內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理和圓周角定理等知識，熟練掌握和運(yùn)用這些定

理是解決問題的關(guān)鍵.

六.點與圓的位置關(guān)系（共2小題）

15.已知點P在圓外，它到圓的最近距離是lev",到圓的最遠(yuǎn)距離是7a”,則圓的半徑為（）

A.3cmB.4cmC.3cm4cmD.6cm

【分析】搞清楚p點到圓上點的最近距離與到圓上點的最遠(yuǎn)距離的關(guān)系為差為直徑(P為圓外一點)，

本題易解.

【解答】解：。為圓外一點，且P點到圓上點的最近距離為1CH,到圓上點的最遠(yuǎn)距離為7cm則圓的

直徑是7-1=6(cm),因而半徑是3C?J.

故選：A.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點到圓的最大距離和最小距離，可以得到圓的直徑，然后確

定圓的半徑.

16.平面直角坐標(biāo)系中，點A(2,9)、B(2,3)、C(3,2)、D(9,2)在O尸上.

【分析】點P的坐標(biāo)是弦A8,CO的垂直平分線的交點.

【解答】解：(1)弦A8的垂直平分線是y=6,弦CO的垂直平分線是x=6,因而交點P的坐標(biāo)是(6,

6).

(2)點尸的坐標(biāo)是，。尸的半徑是P的半徑是以的長，PA=V(6-2)2+(6-9)2=5,

故答案為：(6,6),5.

【點評】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，掌握圓心是圓的垂直平分線的交點，是解決本題的關(guān)鍵.

七.確定圓的條件（共2小題）

17.下列語句中正確的有（）①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③三點確定

一個圓；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理等對每一項進(jìn)行分析即可求出正確答案.

【解答】解：①同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故本選項錯誤；

②平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，故此選項錯誤；

③三點必須不在同一條直線上，故此選項錯誤；

④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，此選項正確；

故正確的有1個,

故選：A.

【點評】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理和圓的有關(guān)定理；解題時要注意圓心角、弧、

弦的關(guān)系是在同圓或等圓中才能成立.

18.某地出土一個明代殘破圓形瓷盤，為復(fù)制該瓷盤需確定其圓心和半徑，請在圖中用直尺和圓規(guī)畫出瓷

盤的圓心（不要求寫作法、證明和討論，但要保留作圖痕跡）.

【分析】根據(jù)垂徑定理，在殘破的圓形瓷盤上任取兩個弦，分別作弦的垂直平分線即可.

【解答】解：在圓上取兩個弦，根據(jù)垂徑定理，

垂直平分弦的直線一定過圓心，

所以作出兩弦的垂直平分線即可.

【點評】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論這樣敘述：-條直線①過

圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧.在應(yīng)用垂徑定理解題時，只要具備上述5條

中任意2條，則其他3條成立.

A.三角形的外接圓與外心（共4小題）

19.如圖，是△ABC的外接圓，NOCB=30°,則NA的大小為（）

A.30°B.60°C.80°D.120°

【分析】由O8=OC,得/08c=NOCB=30°,則N8OC=120°,即可根據(jù)圓周角定理求得/4=2?/

2

BOC=60°,得到問題的答案.

【解答】解：:。。是△A8C的外接圓，

:.OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=3Q0,

...N8OC=180°-ZOBC-ZOCB=120°,

：.Z/i=AzBOC=60o,

2

故選：B.

【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理等知識，根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)求出/80。的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，ZXABC的三個頂點在OO上，。。的半徑為5,N4=60°,求弦BC的長.

【分析】連接C。并延長交。。于力，根據(jù)圓周角定理得到NO=N4=60°,NCBD=90。，根據(jù)勾股

定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接CO并延長交。0于D,連接BD,

則/O=NA=6()°,ZCBD=90°,

的半徑為5,

：.CD=10,

：.BD=^CD=5,

2

?*-BC=VCD2-BD2=V102-52=5>/3,

故弦8c的長為5禽.

【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，AABC是。0的內(nèi)接三角形，直徑A8=4,CQ平分NACB交。0于點。，交AB于點E,連接

AD,BD.

(1)若NC4B=25°,求N4EO的度數(shù);

(2)求AQ的長.

c

D

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NAC8=90°,再利用角平分線的定義可得N4CD=N

BCZ）=45°,然后再利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答；

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/AC8=90°,再利用（1）的結(jié)論可得益=箴，從而可得4。

=DB,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）??SB是。。的直徑，

NAC8=90°,

「CQ平分NACB,

/.ZACD^ZBCD=1ACB=45°,

,：ZCAB=25°,

AZAED^ZACE+ZCAE=70°,

...NAEO的度數(shù)為70°；

（2）是。。的直徑，

AZACB=90Q,

\*ZACD=ZBCD,

AAD=BD.

：.AD=DB,

；48=4,

."O=BO=圾=2&,

V2

...A。的長為2&.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在△ABC中，4E平分NB4C,BE平分NABC,AE的延長線交AABC的外接圓于點D,連接BD.求

證：DB=DE.

【分析】根據(jù)角平分線定義得到NA8E=/C8E,ZBAE=ZCAD,得到而=俞，根據(jù)圓周角定理得到

ZDBC^ZBAE,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：平分N84C,8E平分N48C,

:.NABE=NCBE,ZBAE=ZCAD,

???而和俞所對的圓心角相等，

?,.CD=BD>

：.ZDBC=ZCAD,

:.NDBC=/BAE,

?/NDBE=NCBE+/DBC,NDEB=ZABE+^BAE,

:.NDBE=NDEB,

：.DE=DB.

【點評】本題考查了三角形外接圓和外心，圓周角定理，等腰三角形的判定，熟練掌握角平分線定義是

解題的關(guān)鍵.

九.直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）

23.如圖，己知/O=30°,C為08上一點，且OC=6,以點C為圓心，試判斷半徑為3的圓與0A的位

置關(guān)系，并說明理由.

【分析】利用直線/和。。相切=d=r,進(jìn)而判斷得出即可.

【解答】解：相切,

理由；過點C作CCA0于點。，

VZO=30°,0C=6,

：.DC=3,

以點C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是：相切.

【點評】此題主要考查了直線與圓的位置，正確掌握直線與圓相切時d與r的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

24.如圖，AB是OO的直徑，AN、AC是QO的弦，P為A8延長線上一點，AN、PC的延長線相交于點M,

且ZPCB=ZPAC.

（1）試判斷直線尸C與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若43=10,ZP=30°,求MN的長.

【分析】（1）連結(jié)OC,則OA=OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/出C=NACO.求得NPC8=NACO.根

據(jù)圓周角定理得到NAC8=90°,求得OCLPC.根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/COF=60°.解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）直線PC與。。相切.

理由：連結(jié)OC,則0A=OC,

：.ZPAC^ZACO.

'：ZPCB^ZPAC,

：.ZPCB=ZACO.

：.ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOCB+NACO=NACB.

為。。的直徑，

Z4Cfi=90°,

：.ZOCP=90°,

即OC_LPC.

???0C為半徑，

，直線PC與oo相切.

(2)VZP=30°,NOCP=90°,

.\ZCOP=60a.

'：AB=\Of

：.AN=5,

???吟

【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：熟練掌

握圓的切線的判定方法.

25.如圖，在△ABC中，BD=DC,以4B為直徑的。。交BC于點。，過點。作力EJ_4C,垂足為E.

(1)求證：AB=AC；

(2)判斷直線DE與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)利用4L證明RtZ\ABC絲RtzMCQ,可得結(jié)論；

(2)連接0Z),利用三角形中位線定理可得OC〃AC,從而證明OQ_LOE,即可證明結(jié)論.

【解答】(I)證明：為。。的直徑，

J.ADLBC,

在Rt/\ADB和RtAADC中,

[AD=AD

IAB=AC，

ARt^ABD^Rt/\ACD(HL),

：.AB=AC

(2)解：直線OE與OO相切，理由如下：

連接on如圖所示：

-------5c

由△ABO也△4CD知：BD=DC,

又：04=08,

/.。。為△ABC的中位線，

OD//AC,

,：DELAC,

IODIDE,

為。。的半徑，

...DE與。。相切.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，圓的切線的判定等知識，熟練掌握切線的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

一十.切線的性質(zhì)(共3小題)

26.如圖，菱形OABC的頂點A,B,C在。。上，過點B作。。的切線交04的延長線于點O.若。。的

半徑為2,則BD的長為()

DB

A.4B.3C.2V3D.2V2

【分析】連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到NOB￡>=90°,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理

得到△048為等邊三角形，得到NAO8=60°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案.

【解答】解：如圖：連接08,

是。。的切線，

AZOBD=90a,

?.?四邊形OA8c為菱形，

：.OA^AB,

?：OA=OB,

：.OA=OB=AB,

C./XOAB為等邊三角形，

408=60°,

：.ZODB=30°,

：.OD=2OB=4,

22=2,

由勾股定理得，^=VOD-OBV3

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過

切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，4B是。。的弦，直線8c與。。相切于點B,4O_LBC,垂足為￡>,連接04、OB.

(1)求證：AB平分N0AD；

(2)點E是。。上一動點，且不與點A、8重合，連接AE、BE,若NAOB=100°,求NAEB的度數(shù).

*

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到0B1BC,證明AD//OB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NZMB=N08A,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N048=NO8A,等量代換證明結(jié)論；

(2)分點E在優(yōu)弧A8上、在劣弧AB上兩種情況，根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解答】(1)證明：?.?直線8c與。。相切于點8,

OBLBC,

'."ADLBC,

：.AD//OB.

：.ZDAB^ZOBA,

'：OB=OA,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZDAB=ZOAB,

；.AB平分N04￡＞；

(2)解：當(dāng)點E在優(yōu)弧A8上時，ZAEB=1.ZAOB=50°,

2

當(dāng)點E'在劣弧AB上時，ZAE18=180°-50°=130°,

綜上所述，NAE8的度數(shù)為50°或130°.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，PA,PB是的切線，A,B是切點，4c是直徑.

(1)連接BC,OP,求證：。尸〃BC；

(2)若OP與48交于點。，OD：DP=l：4,4。=2,求直徑AC的長.

【分析】(1)連接OB,根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到根據(jù)圓周角定理得到NABC=

90°,根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。4尸=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到A￡?2=OQ.OP,求出。。，根據(jù)勾

股定理求出04,進(jìn)而求出AC.

【解答】(1)證明：如圖，連接08,

,：PA,P8是。。的切線,

：.PA=PB,

?：OA=OB,

：.OP±AB,

是OO的直徑,

AZABC=90",

ZABC=AADO,

：.OP//BC；

(2)解：設(shè)OD=x,則￡>P=4x,

,：PA是。。的切線，

：.ZOAP=90°,ADLOP,

：.AD2=OD-DP,即22=X?4X,

解得：x=l(負(fù)值舍去)，

。。=1,

由勾股定理得：04=在口24002=遙，

:.AC=2娓.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半

徑是解題的關(guān)鍵.

一十一.切線的判定(共3小題)

29.如圖，在RtaABC中，NAC8=90°,CO是斜邊A8上的中線，以C0為直徑的。0分別交AC、BC

于點M、N,過點N作NELAB,垂足為點E.

(1)若。0的半徑為」旦，AC=5,求BN的長；

4

(2)求證：NE是。0的切線.

B

【分析】(I)由直角三角形的性質(zhì)可求48,由勾股定理可求8C,由等腰三角形的性質(zhì)可得8N=6；

(2)欲證明NE為。0的切線，只要證明0N1NE.

【解答】解：(1)連接￡W,ON,

的半徑為13,

4

8=區(qū)，

2

?.?NAC8=90°,CQ是斜邊A8匕的中線,

80=8=40=里

2

，AB=13,

.,.BC=^AB2_AC2=12,

；CD為直徑,

/.ZC^D=90°,且BO=CO.

：.BN=NC=6.

(2)-：ZACB=90°,Q為斜邊的中點，

:.CD=DA=DB=1AB.

2

：.4BCD=4B,

;OC=ON,

：.ZBCD=ZONC.

：.ZONC=ZB.

：.ON//AB,

,：NE1AB,

ONA.NE.

為O。的切線.

【點評】本題考查切線的判定，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考

題型.

30.如圖，以△ABC的邊8C的長為直徑作。0,交AC于點。，^ZA=ZDBC,求證：AB是。。的切線.

【分析】根據(jù)圓周角定理得到/3DC=90°,根據(jù)題意得到根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】證明：為。。的直徑，

：.ZBDC=90°,

AZA+ZABD=90Q,

,/ZA-ZDBC,

：.ZDBC+ZABD=90°,

：.AB±BC,

：BC為。。的直徑，

是。。的切線.

【點評】本題考查的是切線的判定定理、圓周角定理，熟記經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是

圓的切線是解題的關(guān)健.

31.如圖，A,B,C,。是00上的四個點，NAQB=NB￡?C=60°,過點A作AE〃BC交CQ延長線于點

E.

(1)求/A8C的大??；

(2)證明：AE是。。的切線.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到NCA8=N8DC=60°,ZACB=ZADB=60°,根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)解答即可；

（2）連接A0并延長交8C于F,根據(jù)垂徑定理的推論得到AFLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到A八LAE,

根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】（1）解：由圓周角定理得：ZCAB=ZBDC=60°,/ACB=/4）2=60°,

:.△ABC為等邊三角形，

AZABC=60°；

（2）證明：連接AO并延長交BC于廣，

：AB=AC,

???AB=AC,

：.AF±BC,

'：AE//BC,

：.AF±AE,

：。4是。0的半徑，

是OO的切線.

【點評】本題考查的是切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑

的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵.

一十二.切線的判定與性質(zhì)（共2小題）

32.如圖，AB是半圓。的直徑，。為8c的中點，延長0。交標(biāo)于點E,點F為0。的延長線上一點且滿

足/B=NF.

(1)求證：C尸是OO的切線；

(2)若AB=4,ZB=30°,連接AO,求A。的長.

【分析】(I)欲證明C尸為OO的切線，只要證明即OCLCF即可;

(2)利用圓周角定理和勾股定理求解即可.

【解答】(1)證明：連接CO,

?。為2C的中點，

/.OD1.BC,

,:OB=OC,

：.ZB=ZOCB,

,:4B=NF,

；.NOCB=NF,

\'OD±BC,

，N￡)CF+NF=90°,

：.ZDCF+ZOCB=90°.

即OCJ_C凡

；.CF是。。的切線.

(2)解：是半圓。的直徑,

/.ZACB=90°.

；AB=4,NB=30°,

,,,AC=2BC={/_22=273，

BD=M，

在RtA/lCD中，

【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的基本性質(zhì)，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形是

解決問題的關(guān)鍵.

33.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于AB為。。的直徑，過點C作CE_LAO交4。的延長線于點E,延長

EC,A8交于點F,NECD=NBCF.

(1)求證：CE為。。的切線;

(2)若。。的半徑為5,DE=1,求C￡)的長.

【分析】(1)如圖1,連接0C,先根據(jù)四邊形ABC。內(nèi)接于。0,得/C￡>E=/OBC,再根據(jù)等量代

換和直角三角形的性質(zhì)可得/OCE=90°,由切線的判定可得結(jié)論；

(2)如圖2,過點。作。GLAE于G,連接OC,0D,則NOGE=90°,先根據(jù)三個角是宜角的四邊

形是矩形得四邊形OGEC是矩形，設(shè)。。的半彳仝為x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖1,連接OC,

?：OB=OC,

:"0CB=40BC,

?.?四邊形ABC。內(nèi)接于。0,

：.ZCDE=ZOBC,

'：CE±AD,

.?./E=NCDE+NECO=9(r,

；NECD=NBCF,

.?./OCB+/8CF=90°,

.?./OCE=90",EPOC±EF,

；oc是。。的半徑，

，CE為。。的切線；

（2）解：如下圖，過點。作OG_LAE于G,連接OC,0D,則NOGE=90°,

:NE=NOCE=90°,

四邊形OGEC是矩形，

；.OC=EG,GD=5-1=4,

.?.EC=OG=^52-42=3,

【點評】本題考查了切線的判定，圓的有關(guān)知識，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握切線

的判定是本題的關(guān)鍵.

一十三.切線長定理（共3小題）

34.如圖，。。為△ABC的內(nèi)切圓，AC=10,AB=8,8c=9,點。，E分別為3C,AC上的點，且DE為

。0的切線，則△CCE的周長為（）

【分析】設(shè)AB,AC,BC,OE和圓的切點分別是P,N,M,Q.根據(jù)切線長定理得到NC=MC,QE=

DQ.所以三角形CQE的周長即是CM+CN的值，再進(jìn)一步根據(jù)切線長定理由三角形ABC的三邊進(jìn)行求

解即可.

【解答】解：設(shè)A8,AC,BC,OE和圓的切點分別是尸，MM,Q,CM=x,根據(jù)切線長定理，得

CN=CM=x,BM=BP=9-x,AN=AP=\O-x.

則有9-x+10-x=8,

解得：x=5.5.

所以△CDE的周長=CD+CE+QE+DQ=2x=11.

【點評】此題主要是考查「切線長定理.要掌握圓中的有關(guān)定理，才能靈活解題.

35.如圖，圓0的圓心在梯形ABC。的底邊AB上，并與其它三邊均相切，若A8=10,A￡>=6,則CB長

()

A.4B.5C.6D.無法確定

【分析】方法1、設(shè)圓。的半徑是R,圓。與A。、DC、C8相切于點E、F、H,連接OE、OD、OF、

OC、OH,則圓的半徑心可以看作△80C,△CO。，△AOO的高，根據(jù)S梯彩旗6=弘8℃+5△<70/>+弘

DOA,以及梯形的面積公式即可求解.

方法2、利用切線的性質(zhì)得出/4OO=/OOC,進(jìn)而得出即可得出。4=6,即：08=

4,同理：8c=。8即可得出結(jié)論.

【解答】解：方法1、

設(shè)圓。的半徑是R,圓。與AD、DC、CB相切于點E、尸、H,連接Of、OD、OF、OC.OH.

設(shè)CD=y>CB—x.

設(shè)Sw.ABCD=S

則5=工(CD+/4B)R=1(y+10)R----------(1)

22

S=SABOC+SACOD+S八DOA

=JLR+LH+JLX6R----------(2)

222

聯(lián)立(1)(2)得x=4；

方法2、連接。力.0C

,：AD,CO是。。的切線,

:.NADO=NODC,

9：CD//AB,

：.ZODC=ZAOD,

：.ZADO=NA。。

：.AD=OA

'：AD=6,

???OA=6,

VAB=10,

J08=4,

同理可得

0B=BC=4,

【點評】此題主要考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出04=6.

36.如圖，%和P8是。0的兩條切線，A,3是切點.。是弧A3上任意一點，過點。畫OO的切線，分

別交附和尸8于。，E兩點，己知外=尸8=5。相，求的周長.

【分析】根據(jù)切線長定理得到%=尸&DA=DC,EB=EC,根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：???附和尸3是。0的兩條切線,

:?PA=PB,

同理可得：DA=DC,EB=EC,

???△尸。后的周長=尸。+￡>￡：+尸￡：=2。+。。+￡。+尸￡：=尸。+。4+仍+尸￡：=%+尸3=10(cm).

【點評】本題考查的是切線長定理，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

一十四.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心(共2小題)

37.如圖，△ABC的內(nèi)切圓。。與A8,BC,CA分別相切于點。，E,F,S.AD=BD=2,EC=3,則AABC

的周長為（）

A.10B.12C.14D.16

【分析】根據(jù)切線長定理得出4F=4O=2,BE=BD=2,CF=CE=3,再求出△ABC的周長即可.

【解答】解：:△ABC的內(nèi)切圓。。與AB,BC,CA分別相切于點Q,E,F,AD=BD=2,EC=3,

：.AF=AD^2,BE=BD=2,CF=CE=3,

.,.△ABC的周長=48+8C+4c

=AD+BD+BE+CE+AF+CF

=2+2+2+3+3+2

=14,

故選：C.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，能熟記從圓外一點引圓的兩條切線，它們的

切線長相等是解此題的關(guān)鍵.

38.如圖，點/為等邊△ABC的內(nèi)心，連接4/并延長交AABC的外接圓于點。，已知外接圓的半徑為2,

則線段DB的長為（）

A.2B.3C.4D.273

【分析】連結(jié)B/,先由AABC是等邊三角形證明NA8C=N8AC=/C=60°,則N￡>=/C=60°,再

根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義證明N/A8=_l/BAC=30°,N/BA=』/A8C=30°,即可證明AO是△ABC

22

外接圓的直徑，再證明△OB/是等邊三角形，則即可證明。/=4=」乂。=2,則BO=O/=2.

【解答】解：如圖，連接8/,

「△ABC是等邊三角形，

.../ABC=N54C=NC=60°,

/.ZD=ZC=60°,

???點/為等邊△ABC的內(nèi)心，

...//AB="l/84C=30°,//6A=>l/A8C=30°,

22

AZABD=180°-ZD-Z/AB=90°,NDIB=NIAB+NIBA=60°,

是△ABC外接圓的直徑，

；ND8/=180°-ZD-ZD/B=60°,

/是等邊三角形，

:.DI=Bh

:N/AB=NIBA,

：.AI=BI,

；.O/=A/=LO=2,

2

:.BD=DI=2,

線段QB的長為2,

故選：A.

【點評】此題重點考查三角形的內(nèi)心與三角形的外心的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、90°的圓周角

所對的弦是直徑、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，正確地作出所需要的輔助

線是解題的關(guān)鍵.

一~H五.正多邊形和圓（共5小題）

39.如圖，有一個直徑為4cm的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊

形紙片的邊心距是（)

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形圓心角的求法求出/A08的度數(shù)，最后根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)求出0”即可.

【解答】解：如圖所示，連接0A,過點。作于點從

???。。的直徑為公切，

：.0B=0A=2an,

多邊形ABCDEF是正六邊形，

.?.408=60°,

...△AO