2021年陜西高考數(shù)學(xué)理試卷附解析

2021年陜西高考數(shù)學(xué)理試卷附解析

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.)

1.設(shè)集合/={x|d=x},N={x|lgx<0},則MUN=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-oo,l]

【答案】A

【解析】

試題分析:乂={尤卜2=司={0,1},N={x|gx<0}={xp<x〈l},所以MUN=[0,1],

故選A.

考點：1、一元二次方程；2、對數(shù)不等式；3、集合的并集運算.

2.某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女

教師

的人數(shù)為()

A.167B.137C.123D.93

[解析]

■I

灑分析：該校女老師的人數(shù)是110xZ0%>+150x(l-6Q%)=137,故選B.」

考點：扇形圖.

3.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin("x+°)+4,據(jù)

6

此函數(shù)

可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為()

A.5B.6C.8

D.10

【答案】c

【解析】

試題分析：由圖象知：ymin=2,因為》min=—3+女，所以一3+左=2,解得：攵=5,所

以這段時間水深的最大值是％m=3+左=3+5=8,故選C.

考點：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

4.二項式(x+l)"(〃eM)的展開式中V的系數(shù)為15,則〃=()

A.4B.5C.6

D.7

【答案】C

'【解析】',

武題分析，二?式(x+1)"的展開式的通項是T,“=C；;乙令r=2得P的系數(shù)是U,因為，的系數(shù)為15.

釀C：=I5,即/-”-30=0,解如〃=6或因為kCN..耐”=6.故選C..

考點：二項式定理.

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

A.3%B.4萬C.2%+4

D.3乃+4

2

__1U

^—2—

主視圖左視圖

r

【答案】D

【解析】

試題分析：由三視圖知：該兒何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為1,母線長為2,所以

該兒何體的表面積是Jx2?xlx(l+2)+2x2=3?+4,故選D.

2

考點：1、三視圖；2、空間幾何體的表面

積.6."sina=cosa"是"cos2a=0”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也

不必要條件

【答案】A

試題分析：因為852&=802(2-5布2&=0,所以sina=cosa或sina=-cosa,因為

**sina-cosan=>“cos2a=0",但"sina=costz""cos2a=0",所以

“sina=cosa"是"cos2a=0”的充分不必要條件,故選A.

考點：1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條

件.7.對任意治海。力，下列關(guān)系式中不恒成立的是()

A.|a-Z?|<r?H|B.\a-b\<\\a\-\b\\

C.(a+b)2—\a+b|2D.(?+b)(a-b)=a~-b--

【答案】B

■【解析】■1

試題分析,因為卜葉同同<6值研4同同，所以選項A正瑜當(dāng)d與反方向相反時，卜-小忖-同

I■

不成立,所以選項B錯誤?向置的平方等于向量的模的平方，所以選項C正瑜(石+$)(,-，)=東-7,

用以選項D正確.故選B...

考點：1、向量的模；2、向量的數(shù)量積.

8.根據(jù)右邊的圖，當(dāng)輸入x為2006時，輸出的y=()

A.28B.10C.4D.2

嘩

/戳h/

I產(chǎn)3：+lI

/<fey7

【答案】B

【解析】

試題分析：初始條件：X=2006；第1次運行：x=2004；第2次運行：龍=2002；第3

次運行：%=2000；……；第1003次運行：x=0;第1004次運行：x=-2.不滿足條

件xNO?,停止運行，所以輸出的y=32+l=10,故選

B.考點：程序框圖.

9.設(shè)/(x)=Inx,。<。<人，若p=gb),q=/(,_r=(/(a)+/(勿)，則下

22

列關(guān)系

式中正確的是()

A.q=r<pB.q=r>pC?p=r<q

D.p-r>q

【答案】C

'【解析】■'

litfi分析:p=f(y/ab)=In>/abfq—/(—y—)=In,+=dn，

■■

函數(shù)/(x)=lnx在(0,+a)上單調(diào)速電，因為空>相，所以/(空)>〃疑)，所以q>p=r.

盤選C...

考點：1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性.

10.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天

原料

的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企

業(yè)每天可獲得最

大利潤為()

A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18

萬元

甲乙原料限額

A(噸)3212

B（噸）128

【答案】D

【解析】

試題分析：設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為了、y噸，則利潤z=3x+4y

3x+2y?12

x+2y<8

由題意可列｛,其表示如圖陰影部分區(qū)域:

%>0

”0

當(dāng)直線3x+4y—z=0過點A(2,3)時，z取得最大值，所以2?皿=3x2+4x3=18,故選

D.

考點：線性規(guī)劃.

11.設(shè)復(fù)數(shù)z=a—l)+yi(x,yeH),若|z區(qū)1,則yNx的概率為()

3111

A._+B.-_

42%42%271

11

D._+_

271

【答案】B

【解析】

試題分析：z=(x—1)+yi=>|z|=J(x-l￥+y2?1=(%—1y+V41

如圖可求得8(1,0),陰影面積等于』；rxl2-』xlxl=Z—1

4242

?_111

若|z區(qū)1,則yNx的概率是土2=_-_,故選B.

axF4In

考點：1、復(fù)數(shù)的模；2、幾何概型.

12.對二次函數(shù)/(x)=af+fex+c(a為非零常數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中

有且僅有

一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是()

A.-1是/(x)的零點B.1是/㈤的極值點

C.3是/(%)的極值D.點(2,8)在曲線y=/(x)上

【答案】A

,1

試題分析，若選項A修誤時,選囁B、C、D正確,r(x)=lax+b,因為I是〃x)的極11點，3是，(x)

?極值,叫需=3叫…+』’解得因為點。⑻在曲叱小)上，叱

4a+2b+c=S.即4a+2x(-2a)+a+3=8,解得：a=5.所以b=-10,c=8.所以

/(x)=5?-10x+8,因為〃-l)=5x(-l)；-10x(-l)+8=23w0,所以-1不是/(x)的零點，所以

選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A...

考點：1、函數(shù)的零點；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極

值.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20

分.)

13.中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015,則該數(shù)列的首項為.

【答案】5

【解析】

試題分析：設(shè)數(shù)列的首項為勾，則6+2015=2X1010=2020,所以為=5,故該數(shù)列的

首項為5,所以答案應(yīng)填：5.

考點：等差中項.

14.若拋物線V=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線f_V=1的一個焦點，則p=.

【答案】20

r解析】■1

試題分析，拋物線爐=2內(nèi)(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-(,雙曲^/-爐=1的一個焦點耳卜血,0),

向為拋物妓，=2px(P>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線V-F=I的一個焦點，所以-t=7L解得廣=2".’

所以答案應(yīng)俄,2萬.

■■■

考點：1、拋物線的簡單幾何性質(zhì)：2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì).

15.設(shè)曲線y=/在點(0,1)處的切線與曲線y=L(x>0)上點p處的切線垂直，則p的

X

坐標(biāo)

為一

【答案】（1,1）

【解析】

試題分析：因為y=e>所以y'=，，所以曲線y=，在點（0,1）處的切線的斜率

k=y'I=e°=1，設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y）（x〉0）,則y=，因為y=1，所以

1\x=00000——

/X

>'=—、所以曲線y=1芋點P處的切線的斜率氏=y'|因為人=一1,

y2丫2|x=x（）v212

所以一=即f=l,解得x=±l,因為x>0,所以x=l,所以y=l,即P的

~00000

%

坐標(biāo)是（1,1）,所以答案應(yīng)填：（1,1）.

考點：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、兩條直線的位置關(guān)系.

16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中

虛線表

示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為_.

【答案】1.2

【解析】

試題分析：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

原始的最大流腦是1x（10+10—2x2）x2=16,設(shè)拋物線的方程為無2=2py（p>0）,

225252

因為該拋物線過點（5,2）,所以2Px2=52,解得p=_，所以f即y=」2,

4225

所以當(dāng)前最大流量是

5/2，^dx^lx--爐、5=/2x5-2X53、_「2X(_5)_2x(-5)3^—,

J-5125力175卜(75八75』3

16

故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是布=L2，所以答案應(yīng)填：L2.

T

考點：1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.)

17.(本小題滿分12分)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,8，c.向量

m=(a,或》)

與1=(cosA,sinB)平行.

(I)求A；

(II)若a=8=2求AABC的面積.

【答案】(I)—'(")3’.

32

St題分析，(I)先利用而〃五可得asinB-庭sinA=0,再利用正弦定理可得tanA的值,進而可得A的

(II)由余弦定理可用c的值,進而利用三角形順積公式可得AABC的面積..

試題解析：(I)因為比〃/，所以asinB-@AcosA=0.

由正弦定理，得sinAsinB-陰sinBcosA=0

又sinBwO,從而tanA=/.

由于0<A<n,所以A="

3

(II)解法一：由余弦定理，得/=y+c2-2hccosA

71

而a=/b=2,A=

3

得7=4+/-2c,即c2-2c-3=0因

為c>0,所以c=3.

?ojT

故AABC的面積為一bcsinA=工

22

2

解法二：又正弦定理，得

從而sinE=,

7

'又由a>b,知AAB,所以COSE=2包

7

I不、=sinBcos-+cosffsin-=^i

故sinC=sin(A+B)=sin；B+§JJJ

3314

所以AABC的面積為；besinA=孚.

考點：1、平行向量的坐

標(biāo)運算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式.

18.(本小題滿分12分)如圖1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,NBAD=%

2

AB=BC=I,

AD=2,E是AD的中點，0是AC與BE的交點.將AABE沿BE折起到AhBE的

位置，如圖2.

圖2

(1)證明：CDJ_平面AQC；

(II)若平面A|BE,平面BCDE,求平面A|BC與平面AjCD夾角的余弦值.

【答案】(I)證明見解析；(II)選

3

■【解析】:-1

iit題分析：(I)先證BEJ.0A1，BE_OC,再可證BR_平面AQC,進而可證CDJ_平面AQCi(II)

■I

先建立空回直角坐標(biāo)系，再葭出平面ARC和平面A￡D的法向量,進而可得平面AjBC與平面AgD夾

串的余弦值..,

試題解析：(I)在圖1中，

因為AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點，ZBAD=_所以BE_LAC

2',

即在圖2中，BE_L0A],BE1OC

從而BE±平面AQC

又CDdBE,所以CDL平面A0C

圖1

（II）由已知，平面AiBEJ.平面BCDE,又由（1）知，BE1OA^BE10C

所以NAOC為二面角A-BE-C的平面角，所以NAOC=Z.

1112

如圖，以0為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為A1B=A1E=BC=ED=1,BC口ED

所以B^,o,O),E(--y,0,0),A,(0,0,1),C(0，￥，0),

CD=BE=(-0,o,o).

得肥（一手（0）,A函2,正與

設(shè)平面ABC的法向量百=（X]，M，Z]）,平面AQD的法向量正=（%2，%，22），平面ABC與

平面AQD夾角為。，

[n.-BC=0[-x,+￥1=0

則43，得4八，取勺=（1,Li）,

y—z=0

[a-AjC=oIIi

依您8,得（rz2'取W（°，I，D，

17T〔22

——2/

從而cose=icos。],a）i=——==——>

陰x&3

即平面ABC與平面ACD夾角的余弦值為一.

1'~T

考點：1、線面垂直：2、二面角：3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.

19.(本小題滿分12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路暢通

狀況有關(guān)，

對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下:

T(分鐘)25303540

頻數(shù)(次)20304010

(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET；

(II)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校

區(qū)，求劉教授從

離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.

【答案】(I)分布列見解析，32；(II)0.91.

【解析】

試題分析：(I)先算出T的頻率分布，進而可得T的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望公式可得數(shù)

學(xué)期望ET：(II)先設(shè)事件A表示“劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分

鐘”，再算出A的概率.

試題解析：(1)由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分步為

(II)設(shè)分別表示往、返所需時間，的取值相互獨立，且與T的分布列相同.設(shè)事

件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應(yīng)

于“劉教授在途中的時間不超過70分鐘”.

解法一：P(A)=P(3+%<70)=P(Ti=25,7,<45)+P((=30,7^<40)

+P(3=35,乙435)+P((=40,T2<30)=lx0.2+lx0.3+0.9x0.4+0.5x0.1=0.91.

解法二：

P「=?AT+2)+P((=40,乙=40)

=0.4x0.14-0.1x0.4+0.1x0.1=0.09

故尸(A)=l-P(A)=0.91.

考點：1、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期里；2、獨立事件的概率.

x2y2

20.(本小題滿分12分)已知橢圓E：j+4=1(?！地啊?)的半焦距為c,原點。至U

a~b~

經(jīng)過兩點

(c,0),(0,〃)的直線的距離為」c.

2

(I)求橢圓E的離心率；

(II)如圖，AB是圓乂：(工+2)2+仃-1)2=!_的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,

2

求橢圓E的方

【答案】(I)更；(II)f+亡i.

2123

【解析】

試題分析：(I)先寫過點(c,0),(0,b)的直線方程，再計算原點0到該直線的距離，進

而可得橢圓E的離心率；(II)先由(I)知橢圓E的方程，設(shè)AB的方程，聯(lián)立

[y=Z(x+2)+l

〈，消去y,可得％+/和％兩的值，進而可得左，再利用|AB|=而可

[三+小二破

得層的值，進而可得橢圓E的方程.

試題解析：(I)過點(c,0),(0,b)的直線方程為"+cy-bc=O,

則原點0到直線的距離d=產(chǎn)——*

y/b2+C2a

由d=l0得a=2b=2而不，解得離心率￡=史.

2a2

(ID解法一：由(I)知，橢圓E的方程為f+4y2=4/.(1)

依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點，且|AB|=麗.

易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為y=Z(x+2)+l,代入(1)得

(1+4女2)x2+8kQk+l)x+4(2k+1)2-4/?2=0

8%(2左+1)4(24+1)2-4/

設(shè)4(再,y.),B(X,y),則x,+x=-?，^=----7TTP----

2221+4K21十t■鼠

8k(2k+1)八山口11

由x+x=-4,得-=-4,斛得&=_.

121+4/2

2

從而x}x2=S-2b.

=也伊一2）.

由|ABI=M，得JIo（/_2）=用？解得/=3.

故橢圓E的方程定.+lt=i.

123

解法二：由（I）知，橢圓E的方程為尤2+今2=46.⑵

依題意，點A,B關(guān)于圓心M（-2,1）對稱,且|AB|=M

設(shè)A(x,y),B(x,y),則/+外2-4b1,x2+4y2-4b2,

11221I22

兩式相減并結(jié)合Xi+x2=-4,y1+必=2,得-4(x「々)+8(%-%)=°?

易知，AB不與x軸垂直，則xwx,所以AB的斜率k=y\-y2_1

I2AB~-XX--2，

12

因此AB直線方程為y=：(%+2)+1,代入⑵得f+4x+8-2h2=0.

所以x+x=-4,xx=8-2b2.

1212

J%|AB|=J1+圖于廠引=乎,&+%)2-=40(/-2).

由|AB|=JRJ,得110(/-2)=M，解得k=3.

故橢圓E的方程為二+其=1.

123

考點：1、直線方程：2、點到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程：

5、圓的方程：6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.

21.（本小題滿分12分）設(shè)〃x）是等比數(shù)列1,X,爐，…，X"的各項和，其中》>0,

nGN,

n>2.（i\

/2/正明：函數(shù)F（x）（x）—2在J,「內(nèi)有且僅有一個零點（記為x）,且

1.1M+1

X=_+_X;

n2-2M

設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為

g〃(x),比較力(X)

與g"(x)的大小，并加以證明.

【答案】(I)證明見解析；(ID當(dāng)x=l時，￡(x)=g,(x),當(dāng)1時，力(x)<g"(x)，

證明見解析.

【解析】

試題分析：(I)先利用冬點定理可證F(x)在J內(nèi)至少存在一個零點，再利用函數(shù)的

單調(diào)性可證F(x)在「［，)內(nèi)有且僅有一個零點，進而利用x是F(x)的零點可證

x=1+，％"，(口)先設(shè)〃("=/(力一8(x),再對尤的取值范圍進行討論來判斷/"x)

“22〃”〃

與0的大小，進而可得fn(X)和gn(X)的大小.

2

試題解析：(I)工(x)=/,(x)-2=l+x+x+…/'-2,則^(1)=/?-1>0,

11ri?nri-yri

居(2)=1+2+Q2%廠2=1一；_2=_2.<。，

所以尸(X)在［1,1)內(nèi)至少存在一個零點X.

又F'(x)=l+2x+加1>0,故在'1,1、內(nèi)單調(diào)遞增，

所以尸(x)在［1,1)內(nèi)有且僅有一個零點x.

1?n+l11n+1

因為尤"是工(X)的零點，所以工(x“)=0,即1-X"-2=0,故無“=_+_龍”.

If,22

(ID解法一：由題設(shè),

設(shè)〃(x)=/,(X)-g“(無)=1+X+%2+…X,,x>0.

當(dāng)x=l時，力(x)=g“(x)

當(dāng)XW1時，//(x)=]+2x+…i_仆；)J.

若

0<x<1,〃'(x)>/+2xn-'+…娥-_e=〃(〃+1)y-i，(〃+1)尸=o

222

若x>l,〃,(x)<一+2/梟-=〃(〃+1)尸-/〃+])尸=0.

222

所以g)在(0,1)上遞增,在(1,+8)上遞減，

所以〃(x)</?(1)=0,即力(x)<gn(x).

綜上所述，當(dāng)x=l時，<(x)=g"(x)；當(dāng)XX1時工(x)<g,(x)

(n+1)(1+￡)

解法二由題設(shè)，于“(%)=!+%+?+...Z,4(%)-2'X>°，

當(dāng)x=l時，，(九)=g"(x)

當(dāng)xHi時，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明工(x)<g.a).

當(dāng)“=2時，￡(x)-g2(x)=-；(1-X)%。，所以/2(x)<g2(x)成立.

假設(shè)〃=MAN2)時,不等式成立,即加x)<gG).

那么，當(dāng)〃=%+1時，

(k+1)(1+/A2?+i+(左+1)M+Z+l

幾G)=A(x)+x<g*a)+x?r__^+x**=--------------------

2尸+(Z+l)f+Z+1_我I(1+l)f+l

gk+i⑺-22

令〃式x)=〃+i-(Z+l)x*+l(x>0),則

4'(%)=%(1<+1)幺一人(％+1)/7=A。+1)/6—1)

所以當(dāng)0<x<l,/<(x)<0,4(x)在(0,1)上遞減；

當(dāng)x>1,h：(x)>0,hk(x)在(1,+oo)上遞增.

2/,+1+(Z+1)xk+k+l

所以4(x)>為⑴=0,從而gk+i(x)>

2

故fk+](X)<gjfc+1(X)?即〃=%+1，不等式也成立.

所以，對于一切〃22的整數(shù)，都有<(x)<g“(x).

解法三：由已知，記等差數(shù)列為｛4｝,等比數(shù)列為色｝,k=l,2,…,〃+1.則q=4=1,

%=〃用=乂,，

￡-1k-\

所以《=1+(^-1)-(2<Zr<n),bk=xQ&k&n),

n

令m(x)=a—b=1+"可'1)一尸.x〉0(2?kV").

kkkn

當(dāng)x=1時，4=%，所以力(元)=g?(x).

當(dāng)xH1時，」'(x)=~一~nx"~'—(k-l)xA-2=(k--1)

*n

而所以后-l>0,〃-Z+121.

nA+1

若0<尤<1,x<l,m；(x)<0,

當(dāng)x>l,>1,(x)>0,

從而恤(x)在(0,1)上遞減，叫(x)在(1,+00)上遞增.所以外(x)>/⑴=0,

所以當(dāng)x>0且xwl時,。*>%(24女《"),又=或1，故￡(x)<g”(x)

綜上所述，當(dāng)X=1時，￡(x)=g“(x)；當(dāng)XH1時工(x)<g“(x)

考點：1、零點定理；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時用2B

鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，AB切||0于點B,直線AD交||0于D,E兩點，BC1DE,垂足為C.

(I)證明：ZCBD=ZDBA；

(H)若AD=3DC,BC=/,求IIO的直徑.

【答案】(I)證明見解析；(II)3.

【解析】

試題分析：(1)先證NCBD=NBED,再證NDBA=NBED,進而可證NCBD=NDBA；

（II）先由（I）知BD平分NCBA,進而可得AD的值，再利用切割線定理可得AE的值,

進而可得