數(shù)列極限的概念

第二章數(shù)列極限§2.1數(shù)列極限的概念§2.2收斂數(shù)列的性質(zhì)§2.3數(shù)列極限存在的條件1a§2.1數(shù)列極限的概念一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四、應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法2a一、概念的引入引例

1如何用漸近的方法求圓的面積S？用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1

A2

A3

A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積,

,

.

顯然n越大,An越接近于S.

因此,需要考慮當(dāng)n時,An的變化趨勢.3a2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭〞4a二、數(shù)列的定義例如5a注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)6a數(shù)列極限來自實踐，它有豐富的實際背景.我們的祖先很早就對數(shù)列進行了研究，早在戰(zhàn)國時期就有了極限的概念

例1戰(zhàn)國時代哲學(xué)家莊周所著的?莊子.天下篇?引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。〞也就是說一根一尺長的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以一直無限制的進行下去。將每天截后的木棒排成一列,如下圖,三、數(shù)列的極限7a〔c11(k)〕其長度組成的數(shù)列為,024681000.20.40.60.81隨著n無限的增加,木棒的長度無限的趨近于零。

8a例如當(dāng)n無限增大時,如果數(shù)列{xn}的一般項xn無限接近于常數(shù)a,那么常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a,記為數(shù)列極限的通俗定義9a三、數(shù)列的極限10a三、數(shù)列的極限11a三、數(shù)列的極限12a三、數(shù)列的極限13a三、數(shù)列的極限14a三、數(shù)列的極限15a三、數(shù)列的極限16a三、數(shù)列的極限17a三、數(shù)列的極限18a三、數(shù)列的極限19a三、數(shù)列的極限20a三、數(shù)列的極限21a三、數(shù)列的極限22a問題:當(dāng)無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近〞意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:23a24a當(dāng)n無限增大時,

xn無限接近于a

.當(dāng)n無限增大時,|xn-a|無限接近于0.

當(dāng)n無限增大時,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當(dāng)n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),那么當(dāng)n無限增大時,xn無限接近于常數(shù)a.當(dāng)n無限增大時,如果數(shù)列{xn}的一般項xn無限接近于常數(shù)a,那么數(shù)列{xn}收斂a.下頁25a數(shù)列極限的精確定義設(shè){xn}為一數(shù)列如果存在常數(shù)a對于任意給定的正數(shù)e總存在正整數(shù)N使得當(dāng)n>N時不等式|xna|<e總成立那么稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限或者稱數(shù)列{xn}收斂于a記為如果不存在這樣的常數(shù)a就說數(shù)列{xn}沒有極限

0,NN當(dāng)nN時有|xna|.極限定義的簡記形式26a如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：27a幾何解釋:其中28a注①定義1習(xí)慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫了極限的實質(zhì)，用|xn－a|＜ε定量地刻畫了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小〞的要求，用n＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：10，正數(shù)ε，20，正數(shù)N，30，不等式|xn－a|＜ε〔n＞N〕②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性表達(dá)了xn逼近a時要經(jīng)歷一個無限的過程〔這個無限過程通過ε的任意性來實現(xiàn)〕，但這個無限過程又要一步步地實現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的〔這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現(xiàn)〕。29a③定義中的N是一個特定的項數(shù)，與給定的ε有關(guān)。重要的是它的存在性，它是在ε相對固定后才能確定的，且由|xn－a|＜ε來選定，一般說來，ε越小，N越大，但須注意，對于一個固定的ε，符合定義要求的N不是唯一的。用定義驗證xn以a為極限時，關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的ε，求出一個相應(yīng)的N，使當(dāng)n＞N時，不等式|xn－a|＜ε成立。在證明極限時ε，n，N之間的邏輯關(guān)系如以下圖所示|xn－a|＜εn＞N30a④定義中的不等式|xn－a|＜ε〔n＞N〕是指下面一串不等式都成立，而對那么不要求它們一定成立數(shù)列極限的幾何意義使得N項以后的所有項31a都落在a點的ε鄰域因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個點這就說明數(shù)列xn所對應(yīng)的點列除了前面有限個點外都能凝聚在點a的任意小鄰域內(nèi)，同時也說明數(shù)列xn中的項到一定程度時變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂〞。32aOK!N找到了??！n>N目的：NO,有些點在條形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●數(shù)列極限的演示33aN數(shù)列極限的演示e越來越小，N越來越大！34a數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：35a分析:

例1

證明

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0,NN當(dāng)nN時有|xna|.36a利用定義驗證數(shù)列極限，有時遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考慮，往往采用把|xn－a|放大的方法。假設(shè)能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單的不等式去尋找項數(shù)指標(biāo)N放大的原那么：①放大后的式子較簡單②放大后的式子以0為極限例2證明證明37a那么當(dāng)n＞N時，有38a例3.證明分析，要使〔為簡化，限定n只要證.當(dāng)n>N時有由定義適當(dāng)予先限定n＞n。是允許的！但最后取N時要保證n＞n。39a.例4.證明〔K為正實數(shù)〕證：由于所以對任意ε＞0，取N=,當(dāng)n＞N時,便有40a例5證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.41a例6證42a例7證43a

由上面數(shù)列極限的證明可總結(jié)出數(shù)列極限證明的步驟：2適當(dāng)放大

，通常放大成

的形式，求出需要的

1

化簡

3解

總結(jié)用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份。44a四收斂的否認(rèn):＞數(shù)列發(fā)散

＞＞＞45a五數(shù)列極限的記註:1滿足條件“〞的數(shù)列:。2改變或去掉數(shù)列的有限項,不影響數(shù)列的收斂性和極限.

重排不改變數(shù)列斂散性:46a3數(shù)列極限的等價定義:

對

對任正整數(shù)47a六無窮小數(shù)列:

定義極限為0的數(shù)列稱為無窮小量〔無窮小量是指一