高等數(shù)學(xué)課件：D9-8極值與最值

第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故時(shí),具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)P(x0,y0,z0)函數(shù)f在點(diǎn)處取得極大(小)值，等價(jià)于對(duì)不同的，函數(shù)在v=0處取得極大（小）值。P(x0,y0,z0)因?yàn)樗援?dāng)，且時(shí),1)對(duì)不同的的符號(hào)不變，故函數(shù)取得極值。時(shí),

2)存在使得故函數(shù)沒極值。3)時(shí),不能確定,需另行討論.例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為二、最值應(yīng)用問題

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)例3.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,y,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:

設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件例5.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？的長方體開口水箱,試問得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對(duì)稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡(jiǎn)單問題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn).

作業(yè)習(xí)題9-8

3,6已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停備用題

1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為x,y,z,則