化工數(shù)學(xué)：第一章 隨機(jī)事件與概率

《化工數(shù)學(xué)》涉及的內(nèi)容微分（高等數(shù)學(xué)已學(xué)）積分（高等數(shù)學(xué)已學(xué)）試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)處理（8學(xué)時(shí)）線性代數(shù)（21學(xué)時(shí)）概率論（16學(xué)時(shí)）數(shù)理統(tǒng)計(jì)（9學(xué)時(shí)）數(shù)值分析（研究生階段）

引例：市場上有華泰、金星、榮光三家化工廠生產(chǎn)的同一品牌的化工產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/2和1/4，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3%。試求：

（1）

若任買一化工產(chǎn)品，問買到的是合格品的概率是多少？

（2）

若查出某一產(chǎn)品不合格，問該產(chǎn)品最有可能是何廠家的？

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

李捷等編著西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社參考書：1.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

浙江大學(xué)盛驟等編高等教育出版社2.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解題思路與方法》

袁蔭棠主編世界圖書出版公司現(xiàn)象確定性(必然)現(xiàn)象非確定性現(xiàn)象確定性(必然)現(xiàn)象的特點(diǎn)：可事前預(yù)言非確定性現(xiàn)象的特點(diǎn)：不可事前預(yù)言非確定性現(xiàn)象出現(xiàn)的原因：微小變化因素的綜合影響序言概率論是研究什么的？

在非確定性現(xiàn)象中有一類很重要的現(xiàn)象－－隨機(jī)現(xiàn)象。

對于隨機(jī)現(xiàn)象有多種可能結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)那種結(jié)果，但大量重復(fù)觀察時(shí)，所得到的結(jié)果卻呈現(xiàn)某種規(guī)律。稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)－－研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量特征及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。第一章隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件事件的概率條件概率事件的獨(dú)立性

§1.1隨機(jī)事件

一、隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)1.重復(fù)性：可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.預(yù)知性：試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果;3.隨機(jī)性：一次試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。隨機(jī)試驗(yàn)可表為E隨機(jī)試驗(yàn)的例子E1:擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).E2:連續(xù)拋一枚硬幣三次,觀察出現(xiàn)正面和反面的情況.E3:在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品,觀察其等級.E4:記錄某電話總機(jī)一小時(shí)內(nèi)接到的呼叫次數(shù).E5:觀察并記錄某地每天中午12點(diǎn)的氣溫.本書以后的試驗(yàn)都是隨機(jī)試驗(yàn).二、樣本空間和隨機(jī)事件

1、樣本空間：實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為Ω

；

2、樣本點(diǎn):試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為ω.例題：給出E1-E5的樣本空間Ω1={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},這里ωi表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”,i=1,2,…,6.也可簡記為Ω1={1,2,3,4,5,6}.Ω2={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.Ω3={ω0,ω1,ω2,ω3},其中假設(shè)這批產(chǎn)品中有一、二、三等品和等外品,從中任取一件觀察其等級,記ωi=“取得i等品”(i=1,2,3),ω0=“取得等外品”.Ω4={ω0,ω1,ω2,…},這里ωi表示“一小時(shí)內(nèi)接到的呼叫次數(shù)為i次”,i=1,2,….也可簡記為Ω4={0,1,2,…}.Ω5={ω|5≤ω≤35},其中假設(shè)該地每天中午12點(diǎn)的氣溫介于5～35℃.E1-E5的樣本空間隨機(jī)事件1.定義我們將樣本空間Ω中滿足某些條件的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集稱為隨機(jī)事件,簡稱事件.通常用A,B,C,…表示例如,E1中,“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”=A={2}={ω2},“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”=B={2,4,6}={ω2,ω4,ω6};試驗(yàn)E2中,“出現(xiàn)正面兩次”=C={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)}等等都是隨機(jī)事件.

任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素

2.兩個(gè)特殊事件:必然事件Ω

、不可能事件.

3.由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個(gè)基本事件,也記為ω.

例如對于試驗(yàn)E6:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況，以下A

、

B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件:A＝“至少出一個(gè)正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，試驗(yàn)E7：在一批燈泡中任取一只，測其壽命.D＝“燈泡壽命超過1000小時(shí)”＝{x:1000<x<T(小時(shí)）}。注意

1.可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實(shí)質(zhì)，且更便于今后計(jì)算概率

2.同一樣本空間中,不同的事件之間有一定的關(guān)系,如上述試驗(yàn)E6，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是HHH時(shí)，可以說事件A和B同時(shí)發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時(shí)發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點(diǎn)所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述。

三、事件的關(guān)系和運(yùn)算

1.事件的包含與相等“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為AB1’若AB且BA,則稱事件A與B相等,記為A=B.2.事件的和:“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”,記作A∪B2’n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作3.事件的積:A與B同時(shí)發(fā)生，記作A∩B＝AB3’n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生，記作4.

事件的差：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生思考：何時(shí)A-B=?何時(shí)A-B=A？5.互斥事件：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生,即AB=φ,則稱事件A與B互斥,或互不相容.6.逆事件設(shè)A,B為兩事件,若AB=φ且A∪B=Ω,則稱事件A與B互為逆事件,或?qū)α⑹录?事件的運(yùn)算律1、交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A∪B)C＝(AC