現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件

第一章：緒論

第一章：緒論1一．設(shè)計與設(shè)計過程

設(shè)計就是提出或擬訂把某些人工制品組裝起來的方案，或者是對人工制品提出改進(jìn)的措施，以便最佳地滿足人們某些特殊的需求。（如機(jī)械設(shè)計，工業(yè)造型設(shè)計等)AUTOCAD,VG,SOLIDEDGE一．設(shè)計與設(shè)計過程設(shè)計就是提出或擬訂把某些人工制品組裝起來2任何設(shè)計活動都具有如下特征：1).時空性（設(shè)計活動受到時間空間的限制）2).設(shè)計活動的物質(zhì)性（所有的設(shè)計活動都是在特定的物質(zhì)條件約束下進(jìn)行的，如工程材料，資源）3).設(shè)計的需求性特征（科學(xué)研究和工程設(shè)計的最大區(qū)別）4).創(chuàng)造性5).設(shè)計活動的過程性任何設(shè)計活動都具有如下特征：3設(shè)計過程：將物資資源轉(zhuǎn)化為技術(shù)裝置以滿足客觀需求的實踐活動就是一個設(shè)計過程。設(shè)計過程：4二．設(shè)計方法的發(fā)展設(shè)計方法的研究包括設(shè)計步驟和程式以及與之相聯(lián)系的解決具體設(shè)計問題的方法和手段的研究。設(shè)計的發(fā)展分為四個階段:1.直觀發(fā)展階段（設(shè)計過程是憑當(dāng)事人的智力和靈感，是一種具有很大偶然性的自發(fā)設(shè)計）2.經(jīng)驗發(fā)展階段（傳統(tǒng)設(shè)計階段）建立在經(jīng)驗與技巧能才的積累上。二．設(shè)計方法的發(fā)展設(shè)計方法的研究包括設(shè)計步驟和程式以及與之相53.中間試驗輔助設(shè)計階段局部試驗，模擬試驗，作為設(shè)計過程的輔助手段。通過中間試驗可取得可靠的數(shù)據(jù)，選擇合適的結(jié)構(gòu)，從而縮短試制周期，提高設(shè)計的可靠性。4.現(xiàn)代設(shè)計階段現(xiàn)代設(shè)計方法：即研究現(xiàn)代設(shè)計規(guī)律，方法，程式等的學(xué)問，是一門多元性的新興交叉學(xué)科3.中間試驗輔助設(shè)計階段6傳統(tǒng)的設(shè)計方法和現(xiàn)代設(shè)計方法的比較：靜態(tài)的，經(jīng)驗的，手工的方法。動態(tài)的，科學(xué)的，計算機(jī)的方法（CAD，CAE等）

傳統(tǒng)的設(shè)計方法和現(xiàn)代設(shè)計方法的比較：7三．現(xiàn)代設(shè)計方法的范疇主要介紹狹義的現(xiàn)代設(shè)計方法：從一件產(chǎn)品的設(shè)計角度來看，可理解為各個環(huán)節(jié)具體應(yīng)用的現(xiàn)代方法和技術(shù)具體包括：

1）信息論方法2）系統(tǒng)論方法3）控制論方法4）優(yōu)化論方法5）對應(yīng)論方法三．現(xiàn)代設(shè)計方法的范疇主要介紹狹義的現(xiàn)代設(shè)計方法：從一件產(chǎn)品8

6）智能論方法7）功能論方法8）離散論方法9）模糊論方法10）突變論方法11）藝術(shù)論方法6）智能論方法9四．現(xiàn)代設(shè)計方法的主要內(nèi)容1.計算機(jī)輔助設(shè)計.1）現(xiàn)代CAD技術(shù)的內(nèi)涵及其主要內(nèi)容2）工程數(shù)據(jù)處理及數(shù)據(jù)庫技術(shù)（LISP等）3）繪圖基本原理（圖形學(xué)）及工程圖的繪制2.產(chǎn)品設(shè)計理論與方法四．現(xiàn)代設(shè)計方法的主要內(nèi)容1.計算機(jī)輔助設(shè)計.103.計算機(jī)輔助工程（CAE）1）彈性力學(xué)基本知識2）有限元法3）應(yīng)用有限元軟件4.最優(yōu)化設(shè)計5.可靠性設(shè)計3.計算機(jī)輔助工程（CAE）11五.目前常用的設(shè)計方法有：技術(shù)預(yù)測法.創(chuàng)造性設(shè)計.小統(tǒng)論設(shè)計法.信號分析法.相似設(shè)計法.模糊設(shè)計法.動態(tài)分析法.有限單元法和邊界元分析設(shè)計.優(yōu)化設(shè)計法.可靠性設(shè)計.CAD與藝術(shù)造型設(shè)計法.五.目前常用的設(shè)計方法有：技術(shù)預(yù)測法.創(chuàng)造性設(shè)計.小統(tǒng)論設(shè)計12六.學(xué)習(xí)現(xiàn)代設(shè)計的意義與任務(wù)降低制造成本，保證產(chǎn)品使用性能和使用壽命，增強產(chǎn)品的市場競爭力，降低制造與使用能耗，減少制造與使用過程對環(huán)境的負(fù)面影響，便于資源回收與再利用，有利于可持續(xù)發(fā)展。任務(wù)：掌握理論與相關(guān)原理，了解其作用與局限性，解決實際問題。六.學(xué)習(xí)現(xiàn)代設(shè)計的意義與任務(wù)降低制造成本，保證產(chǎn)品使用性能和13第二章計算機(jī)輔助設(shè)計（CAD）第二章計算機(jī)輔助設(shè)計（CAD）14§1概述CAD是采用硬件與計算機(jī)軟件系統(tǒng)輔助人們對產(chǎn)品或工程進(jìn)行設(shè)計的方法與技術(shù)，包括設(shè)計、繪圖、工程分析、文檔制作等設(shè)計活動，是一種新的設(shè)計方法，也是一門多學(xué)科綜合應(yīng)用技術(shù)。

現(xiàn)代CAD的研究內(nèi)容：（1）研究現(xiàn)代設(shè)計理論與方法學(xué)；（2）研究與設(shè)計環(huán)境相關(guān)的技術(shù)。當(dāng)前，CAD的應(yīng)用主要有以下幾個方面：工程設(shè)計與分析、幾何造型、繪圖、工程數(shù)據(jù)庫和設(shè)計文檔。

§1概述CAD是采用硬件與計算機(jī)軟件系統(tǒng)輔助人們對產(chǎn)品或工程151.工程計算與分析.在產(chǎn)品或工程設(shè)計中，往往包含著大量而復(fù)雜的分析計算工作.如產(chǎn)品性能分析、強度及剛度計算、機(jī)構(gòu)參數(shù)計算等。CAD系統(tǒng)往往包含或者連接某些功能強大的工程分析軟件，如有限元分析、優(yōu)化設(shè)計、動力學(xué)分析等軟件，利用這些軟件可以對機(jī)械零件以及整機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)應(yīng)力應(yīng)變場.溫度場以及流體內(nèi)部的壓力場速度場等的分析計算，從而大大提高設(shè)計精度。1.工程計算與分析.162.幾何造型把物體的形狀及其屬性轉(zhuǎn)變?yōu)橛嬎銠C(jī)的內(nèi)部表示。對于機(jī)械CAD系統(tǒng)，幾何造型是其核心功能。幾何造型分為線框造型、曲面造型和實體造型。

3.繪圖繪圖工作量占設(shè)計工作的50-60﹪，用計算機(jī)繪圖代替?zhèn)鹘y(tǒng)的手工繪圖可提高速度和質(zhì)量，是CAD技術(shù)的重要應(yīng)用。2.幾何造型174.工程數(shù)據(jù)庫在產(chǎn)品或工程設(shè)計中的信息量很大，信息的形式、屬性、關(guān)系復(fù)雜多樣。CAD中利用數(shù)據(jù)庫技術(shù)建立各種數(shù)據(jù)庫，統(tǒng)一管理工程數(shù)據(jù)和圖形，為設(shè)計過程提供各種基本數(shù)據(jù)及保存結(jié)果5.設(shè)計文檔許多設(shè)計屬性需制成文檔說明或輸出報表，有些設(shè)計參數(shù)需用文檔直方圖、餅圖或線圖等表示，由專門軟件完成。4.工程數(shù)據(jù)庫18§2工程數(shù)據(jù)的計算機(jī)處理在計算機(jī)輔助設(shè)計時，需將設(shè)計中要引用的工程數(shù)據(jù)（實驗曲線、圖表、各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范、零部件模型數(shù)據(jù)和加工工藝數(shù)據(jù)等）存入計算機(jī)內(nèi)存、數(shù)據(jù)文件或數(shù)據(jù)庫中去，以便在設(shè)計時由計算機(jī)按設(shè)計要求自動檢索，結(jié)合程序進(jìn)行運算、加工處理和輸出?！?工程數(shù)據(jù)的計算機(jī)處理在計算機(jī)輔助設(shè)計時，需將設(shè)計中要19一.數(shù)據(jù)組成數(shù)據(jù)是與現(xiàn)實世界中的某些客觀實體相關(guān)。實體可以是某些具體的東西，也可以是可觸及的抽象概念。我們把實體的特征稱之為屬性，標(biāo)識屬性的名稱稱之為屬性名。每個屬性所能測量或記錄的值稱之為屬性值。數(shù)據(jù)是描述客觀實體的數(shù)值、字符及其它符號的集合。

一.數(shù)據(jù)組成20如齒輪是個實體，由編號、模數(shù)、齒數(shù)材、料牌號等幾個屬性描述。零件號

材料牌號

模數(shù)mm

齒數(shù)

外徑mm

孔徑mm

齒寬mm

106845324782530.0.....................304540Cr4281203035.0如齒輪是個實體，由編號、模數(shù)、齒數(shù)材、料牌號等幾個屬性描述。21如P13平鍵是個實體，由軸徑、鍵寬、鍵高、軸、輪轂等幾個屬性描述（表2.2）如P13平鍵是個實體，由軸徑、鍵寬、鍵高、軸、輪轂等幾個屬性22軸徑d

鍵寬b

鍵高h(yuǎn)

軸t

輪轂t1

>6~8

221.21.0>8~10

331.81.4>10~12

442.51.8>12~17

553.02.3>17~22

663.52.8>22~30

874.03.3>30~38

1085.03.3>38~44

1285.03.3>44~50

1495.53.8>50~58

16106.04.3軸徑d鍵寬b鍵高h(yuǎn)軸t輪轂t1>6~8221.223從復(fù)雜性或?qū)哟渭墑e來看，我們可將數(shù)據(jù)分為以下幾種形式：1.字段字段是數(shù)據(jù)中最基本的用來描述實體某個屬性的數(shù)據(jù)元素，也稱數(shù)據(jù)項，如一個零件名稱或材料牌號（如40Cr）。2.記錄描述某個實體各個屬性字段的集合，上表中每行各個字段的集合就構(gòu)成了一條記錄。從復(fù)雜性或?qū)哟渭墑e來看，我們可將數(shù)據(jù)分為以下幾種形式：24

3.文件（記錄的集合）相同性質(zhì)記錄的集合就是文件。如一臺機(jī)器中各個齒輪的記錄集合就組成了這臺機(jī)器的齒輪文件。4.數(shù)據(jù)庫一個組織內(nèi)的數(shù)據(jù)庫就是指其全部文件的集合，一般還包括對這些文件的組合管理，以便減少某些文件中的重復(fù)數(shù)據(jù)，增強文件間的聯(lián)系。3.文件（記錄的集合）25二、數(shù)據(jù)公式化在實際工程應(yīng)用問題中，常將通過實驗得到的一系列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，然后再根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗公式。這種建立經(jīng)驗公式的過程稱為數(shù)據(jù)公式化，或稱曲線擬合。已知m個結(jié)點數(shù)據(jù),用一個n次多項式Pn(x)擬合。二、數(shù)據(jù)公式化在實際工程應(yīng)用問題中，常將通過實驗得到的一系列26設(shè)方程式的形式為：

則殘差為設(shè)方程式的形式為：27由線擬合問題可歸納為多元函數(shù)極值問題：

令

得由線擬合問題可歸納為多元函數(shù)極值問題：28……

解出n+1個獨立方程，可求得多項式Pn(x)中的各個系數(shù)aj現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件29經(jīng)實際測量，某發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速N與軸上轉(zhuǎn)矩T的關(guān)系如表所示：

試編制程序用最小法進(jìn)行多項式擬合。設(shè)多項式形式為：轉(zhuǎn)速N（r/min）800120016002000240028003200軸轉(zhuǎn)矩T(N.m)12.513.113.514.1轉(zhuǎn)速N（r/min）36004000440048005200軸轉(zhuǎn)矩T(N.m)13.813.0經(jīng)實際測量，某發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速N與軸上轉(zhuǎn)矩T的關(guān)系如表所示：轉(zhuǎn)速30三、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是數(shù)據(jù)，是對數(shù)據(jù)對象及元素之間相互關(guān)系的描述。

1、數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)如車床的分級結(jié)構(gòu)圖，反映了一種邏輯上的結(jié)構(gòu)關(guān)系。將數(shù)據(jù)元素之間可以抽象出的這種獨立于數(shù)據(jù)的存儲介質(zhì)的邏輯關(guān)系稱為邏輯結(jié)構(gòu)。三、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是數(shù)據(jù)，是對數(shù)據(jù)對象及元素之間相互關(guān)系的31現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件32（1）邏輯結(jié)構(gòu)的兩種表示方法

1）圖形表示。把數(shù)據(jù)間的邏輯關(guān)系用符號組成的圖表示，記錄歸結(jié)為圖上的結(jié)點，用圓或方框表示，兩記錄之間關(guān)系用連線表示。

2）關(guān)系表示。用關(guān)系代數(shù)的方法描述數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)間的關(guān)系。（1）邏輯結(jié)構(gòu)的兩種表示方法33（2）數(shù)據(jù)邏輯關(guān)系的分類1）順序關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)最簡單，數(shù)據(jù)結(jié)點順序排列如線性表邏輯上表示為一個星期中的7天的名稱(Mon,Tue,Wed,Thu,Fri,Sat,Sun)2）層次關(guān)系的結(jié)構(gòu)表層次的邏輯關(guān)系，常稱之為樹結(jié)構(gòu)，如上表機(jī)床組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是一種樹結(jié)構(gòu)。（2）數(shù)據(jù)邏輯關(guān)系的分類34樹結(jié)構(gòu)的特點是：下一層中的結(jié)點只能有一邊與它上一層的一個結(jié)點相連，上一層中的結(jié)點則可有幾邊與它下一層的幾個結(jié)點相連，最高一層的結(jié)點只有一個，稱為樹根。3)網(wǎng)狀關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比樹狀結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的一類結(jié)構(gòu)。與樹狀結(jié)構(gòu)相比，下一層結(jié)點與上一層幾個結(jié)點同時相連。結(jié)點間的聯(lián)系是任意的。

樹結(jié)構(gòu)的特點是：下一層中的結(jié)點只能有一邊與它上一層的一個結(jié)點35現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件362.數(shù)據(jù)的物理結(jié)構(gòu)在作業(yè)過程中所使用的數(shù)據(jù)都要以一定的形式存人計算機(jī)系統(tǒng)。用戶根據(jù)數(shù)據(jù)間的邏輯結(jié)構(gòu)以一定的語言進(jìn)行構(gòu)造，把數(shù)據(jù)及其關(guān)系按一定的形式存人存儲器，構(gòu)成這些數(shù)據(jù)的物理結(jié)構(gòu)既存儲結(jié)構(gòu)。把邏輯結(jié)構(gòu)的物理結(jié)構(gòu)的過程叫“映象”。在物理結(jié)構(gòu)設(shè)計時，除考慮數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)外，還應(yīng)考慮存儲資源的充分利用，減少存取時間，便于數(shù)據(jù)的增加、刪除、修改和可靠性等問題。2.數(shù)據(jù)的物理結(jié)構(gòu)37四、工程數(shù)據(jù)及其管理系統(tǒng)在現(xiàn)代CAD系統(tǒng)中，為了適應(yīng)CAD作業(yè)的需要，須把各類工程數(shù)據(jù)按照數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和文件組織方式建立起數(shù)據(jù)庫及其管理系統(tǒng)。1.數(shù)據(jù)庫的特點數(shù)據(jù)庫是在文件系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是一個通用的、綜合性的、減少冗余度的數(shù)據(jù)集合。數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)是實現(xiàn)有組織的、動態(tài)的存儲大量的關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)，方便多用戶訪問計算機(jī)軟、硬件資源的系統(tǒng)。四、工程數(shù)據(jù)及其管理系統(tǒng)在現(xiàn)代CAD系統(tǒng)中，為了適應(yīng)CAD作38特點：(1)數(shù)據(jù)的物理存儲獨立于應(yīng)用程序，數(shù)據(jù)擴(kuò)充修改并不需要相應(yīng)地修改應(yīng)用程序。(2)同一個物理存儲數(shù)據(jù)可根據(jù)不同的需要用不同的路徑來存取，因此可根據(jù)實體對象的某些屬性來組織數(shù)據(jù)。(3)由于同一數(shù)據(jù)可組織在不同的文件中，因此每個數(shù)據(jù)在物理上只需存儲一次，減少了數(shù)據(jù)的重復(fù)存儲，充分利用了存儲資源。

特點：39

(4)數(shù)據(jù)可在記錄或數(shù)據(jù)項的級別上定地址，使用時可按地址取得有關(guān)的記錄和數(shù)據(jù)項，不必把整個文件調(diào)入內(nèi)存，減少了解題時內(nèi)存的需用量。

2、工程數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)（EDBMS）的功能CAD過程中所涉及的數(shù)據(jù)量大，有非圖形數(shù)據(jù)和圖形數(shù)據(jù)，形式多樣，結(jié)構(gòu)關(guān)系復(fù)雜，不僅數(shù)據(jù)變化頻繁，而且數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)也會有所改變。動態(tài)性強，為了有效的存取數(shù)據(jù)，需用EDBMS來負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)庫中工程數(shù)據(jù)的建立，運用管理、維護(hù)等功能的實現(xiàn)。

(4)數(shù)據(jù)可在記錄或數(shù)據(jù)項的級別上定地址40軸的常用材料及其主要機(jī)械性能材料牌號熱處理毛坯直徑（mm）硬度（HB）抗拉強度極限屈服極限彎曲疲勞極限扭轉(zhuǎn)疲勞極限等效系數(shù)備注不小于4402402001050.150.05用于不重要的或載荷不大的軸45正火正火，回火正火，回火正火，回火正火，回火調(diào)質(zhì)25100>100~300>300~500>500~750200241170~217152~217162~217156~217217~2556006005805505406503603002902802703602602752702602503001501401351301251550.200.10應(yīng)用最為廣泛40Cr調(diào)質(zhì)調(diào)質(zhì)調(diào)質(zhì)25100>100~300241~266241~26610007507008005505505003503402802001850.250.15用于載荷較大的無很大沖擊的重要軸軸的常用材料及其主要機(jī)械性能材料牌號熱處理毛坯直徑（mm41(1)對數(shù)據(jù)庫結(jié)構(gòu)進(jìn)行定義，進(jìn)行數(shù)據(jù)庫更新，再組織結(jié)構(gòu)維護(hù)以及性能監(jiān)視等。(2)能被多個工程應(yīng)用程序同時訪問，而且還為新的應(yīng)用程序的開發(fā)提供環(huán)境。(3)模式靈活，能被修改和擴(kuò)充，有較高的數(shù)據(jù)獨立性。(4)提供與高級語言的接口，支持工程應(yīng)用程序?qū)?shù)據(jù)庫的訪問。(5)存儲和管理圖形相關(guān)信息，為CAD系統(tǒng)訪問數(shù)據(jù)提供各種視圖。(6)復(fù)雜的設(shè)計任務(wù)按樹形結(jié)構(gòu)分解，劃分成簡單的設(shè)計步驟處理，再組合完成。(1)對數(shù)據(jù)庫結(jié)構(gòu)進(jìn)行定義，進(jìn)行數(shù)據(jù)庫更新，再組織結(jié)構(gòu)維42§3圖形的生成與變換目前，CAD工作中的人機(jī)交換信息主要是通過圖形功能實現(xiàn)。一方面，設(shè)計對象的集合形狀必須采用圖形進(jìn)行描述，另一方面，圖形是表達(dá)和傳遞信息的直觀有效形式。一．坐標(biāo)系，窗口與視區(qū)，圖形與剪裁

1.坐標(biāo)系圖形的描述和輸入.輸出都是在一定的坐標(biāo)系中進(jìn)行的，應(yīng)根據(jù)不同的需要，建立不同的坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換關(guān)系，最終使圖形顯示于屏幕上?！?圖形的生成與變換目前，CAD工作中的人機(jī)交換信息主要是43

(1)世界坐標(biāo)系。由用戶定義的應(yīng)用坐標(biāo)系，是一個二值或三值的直角坐標(biāo)系，取值范圍無限，與任何物理設(shè)備無關(guān)。用戶的圖形定義均在這個坐標(biāo)系中完成（a）。(2)設(shè)備坐標(biāo)系（屏坐標(biāo)?。﹫D形輸出在該坐標(biāo)系下完成，常為二值的。以屏幕的左下角為坐標(biāo)原點，水平右方向為X，垂直上為Y。坐標(biāo)刻度為屏幕的分辨率刻度值。由于實際設(shè)備不同，其有效工作范圍的最大值不同。

(1)世界坐標(biāo)系。由用戶定義的應(yīng)用坐標(biāo)系，44

(3)規(guī)格化坐標(biāo)系。是人為規(guī)定的假想坐標(biāo)系，其坐標(biāo)軸方向幾原點與設(shè)備坐標(biāo)系相同，但其最大工作范圍的坐標(biāo)值規(guī)范化為1。對于既定的圖形輸出設(shè)備，其規(guī)范化坐標(biāo)與實際坐標(biāo)相差一個固定的倍數(shù)，設(shè)備的分辨率。(3)規(guī)格化坐標(biāo)系。是人為規(guī)定的假想坐標(biāo)系452、窗口與視區(qū)窗口是用戶在世界坐標(biāo)系中確定顯示內(nèi)容的矩形區(qū)域。在這個區(qū)域的圖形顯示于屏幕上。改變窗口大小.位置，可方便地觀察局部圖形，控制圖形的大小。視區(qū)是用戶在屏幕上定義的一個矩形區(qū)域，用于顯示窗口中的圖形，它規(guī)定了窗口中的內(nèi)容要顯示于屏幕上的位置、范圍。2、窗口與視區(qū)46現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件473、圖形剪裁（1）概念將圖形在屏幕指定視區(qū)內(nèi)顯示時，將視區(qū)外的圖形去掉，稱為圖形剪裁。剪裁處理的基礎(chǔ)是圖形元素與視區(qū)邊界交點的計算和點在區(qū)域內(nèi)外的判斷，常見的是矩形剪裁。（2）COHEN—SUTHERLAND算法1）確定矩形剪裁區(qū)域的邊界延長線將邊界劃分為九個區(qū)域。3、圖形剪裁48現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件492）給每個區(qū)域以一個四位二進(jìn)制數(shù)字3)按上述算法確定各直線端點所在區(qū)域代碼。2）給每個區(qū)域以一個四位二進(jìn)制數(shù)字504）判斷直線可見性，將該直線兩端點的代碼按相同位數(shù)進(jìn)行與操作〈1〉不為零，剪裁〈2〉為零，按下述求交分段作進(jìn)一步處理5）求直線與剪裁區(qū)域邊界線的交點，去掉區(qū)域外的線段部分，對留下部分線段重新進(jìn)行3）以下處理。4）判斷直線可見性，將該直線兩端點的代碼按相同位數(shù)進(jìn)行與操作51二.幾何造型按其描述和儲存內(nèi)容的特征可分為線框造型，表面造型和實體造型。

1.線框造型.物體各外表面之間的交線組成了物體外輪廓的框架，線框造型只在計算機(jī)內(nèi)儲存這些框架線段信息。信息少，運算簡單迅速，幾何定義不確定。二.幾何造型52

2.表面造型.除存儲線框線段外，還存儲各個外表面的幾何信息。雖然具有比較全面的外表面幾何信息，對物體仍沒有構(gòu)建起完整的三維幾何關(guān)系。

3.實體造型儲存物體完整的三維幾何信息，可區(qū)分內(nèi)部和外部可提取幾何位置和相互的信息。2.表面造型.53三.二維圖形變換

圖形變換是用一定的數(shù)學(xué)運算實現(xiàn)變化圖形的過程。它是計算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用的基本內(nèi)容之一。利用圖形變換可以用一些簡單的圖形組合成比較復(fù)雜的圖形。三.二維圖形變換54

1.齊次坐標(biāo)用一個n+1維矢量表示一個n維矢量的方法，稱之為齊次坐標(biāo)法。點p(x.y)在齊次坐標(biāo)系中表示為p(hx.hy.h)，h是任一不為零的實數(shù)。當(dāng)給定一個點的其次坐標(biāo)p(u.v.w)，就能求得這個點的二維直角坐標(biāo)x==。同時，若(u.v.w)是一個點的齊次坐標(biāo)，則坐標(biāo)(λu.λv.λw)(λ)也是該點的齊次坐標(biāo)。因此一個點的齊次坐標(biāo)表示并不唯一。

如：二維空間內(nèi)點的齊次坐標(biāo)（u.v.w）中使w=0，可知點的普通坐標(biāo)x或y值為無窮大，齊次坐標(biāo)（u.v.w）所表示的點為無窮遠(yuǎn)點。當(dāng)w=1時，點p(x.y.1)就是點的正?；R次坐標(biāo)。1.齊次坐標(biāo)552.變換與變換矩陣對于平面上一點p,用一行矢量[x.y.1]來表示。將這一矢量與一個3×3的變換矩陣A相乘，形成一個新點p,[u.v.w],其中2.變換與變換矩陣56正?；螅cp,的坐標(biāo)為[x,.y,.1]=[u/w.v/w.1]將點P轉(zhuǎn)變?yōu)镻’的過程稱為變換，矩陣A稱為變換矩陣。矩陣A中a、b、c、d可以產(chǎn)生比例變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換、錯切變換。e、f產(chǎn)生透視變換。S產(chǎn)生全比例變換。3、二維圖形變換正常化后，點p,的坐標(biāo)為[x,.y,.1]=[u/w.v/57（1）各種二維圖形變換及變換矩陣（1）各種二維圖形變換及變換矩陣58現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件59現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件60現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件61現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件62現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件63（2）組合變形對一個點連續(xù)進(jìn)行多個基本變形時，形成組合變形。T為組合變換矩陣以點為中心的旋轉(zhuǎn)變換。（2）組合變形64（1）將整個圖形平移，使旋轉(zhuǎn)中心（xo,yo）與坐標(biāo)原點重合：（2）圖形繞原點旋轉(zhuǎn)角；（1）將整個圖形平移，使旋轉(zhuǎn)中心（xo,yo）與坐標(biāo)原點重合65將整個圖形反平移使旋轉(zhuǎn)中心（xo,yo）回到初始位置；其變換矩陣一個圖形由許多點構(gòu)成，進(jìn)行圖形變換時，對圖形的各點都應(yīng)進(jìn)行矩陣乘法運算。將整個圖形反平移使旋轉(zhuǎn)中心（xo,yo）回到初始位置；66四、三維圖形變換三維圖形的變換是二維圖形變換在三維空間的擴(kuò)展，坐標(biāo)點(x,y,z)的正常化齊次坐標(biāo)是(x,y,z,1)三維圖形變換可用4×4矩陣表示。表三維圖形變換及變換矩陣（p31表2.13）四、三維圖形變換67§4Autolisp程序語言設(shè)計Autolisp語言是一種嵌人在AutoCAD內(nèi)部的lisp編程語言。具有人工智能語言lisp的特性，又針對Autolisp強大的圖形編輯功能的特點，增加了許多新的功能，是一種人工智能繪圖語言。一、Autolisp數(shù)據(jù)類型

△ 整數(shù)型、實型、符號、字符串、表、文件描述符、子程序、AutoCAD的選擇集、AutoCAD的實體名、函數(shù)分頁表、外部子程序（ADS函數(shù)）。當(dāng)AutoCAD要求用戶輸入某個類型的數(shù)據(jù)時如點式比例函數(shù)，用戶可以使用該類型的Autolisp表達(dá)式，由此所需的數(shù)值：

§4Autolisp程序語言設(shè)計Autolisp語言是68

△ 整數(shù)：012………，9“+”“-”不允許出現(xiàn)其他字符?！?”可有可無。如+256，103，-15，0△ 實型數(shù)：22精度浮點數(shù)0·1251·234是錯誤的符號原子：簡稱符號在AutoLIisp語言中，符號原子可以包含除以下字符以外的任何打印字符

（）用作表的定義。用作點對，用作QuoTe函數(shù)的簡寫，）字符串函數(shù)的定界符；用作程序的注釋標(biāo)點△ 整數(shù)：012………，9“+”“-”不69Autolisp中，符號的大小寫是等效的。ABCD、Abcd、AbcD都表示一個符號原子，盡量不要用超過六個字符的符號名。如果一個符號的長度超過六個字符，符號就不能用節(jié)點存儲，在節(jié)點中含有一個指向另一個包含實際符號的內(nèi)存指針。占用大量額外內(nèi)存。符號名越長，代碼的執(zhí)行速度越慢。表達(dá)式：(SetqX25)X為整型(SetqX25.0)X為實型(SetqX“25.0)X為字符Setq是一個賦值函數(shù)。Autolisp中，符號的大小寫是等效的。ABCD、Abcd70察看某一個符號的當(dāng)前約束值，在AutoCAD的命令提示符下鍵入“！”，后面跟要查看的符號。Command:!X“25.0”Autolisp保存一個名為ATOMLIST的符號原子表，它初始化時包含系統(tǒng)定義的所有函數(shù)和符號的名稱。當(dāng)建立新的函數(shù)和變量時，其符號名稱被加到ATOMLIST的尾部在AutoCAD的“Command:”提示符下查看其內(nèi)容。Command:!ATOMLIST察看某一個符號的當(dāng)前約束值，在AutoCAD的命令提示符下鍵71

△表：Autolisp廣泛使用表。二維點（X,Y）如（Setqa6.0）為表，有三個元素，第一個元素Setq為函數(shù)名，第二個元素為變量，第三個元素為實數(shù)?！魑募枋龇⊿etqf1(open“myfile.dat”“w”)）△實體名（Setqenl(entlast)）將圖形最后一個實體名賦予符號enl.△表：Autolisp廣泛使用表。72

△

選擇集（SetSsprev(Ssget”p”)）將選擇對象賦予符號Ssprev.

△子程序和外部子程序ADS定義的子程序。Command:(load“c:\\dtor”).Command(dtor90)(defundtor(a)(Setqa(*a_(/pi180.0))))△選擇集73二、AutoCAD語言程序例：參數(shù)化繪制深溝球軸承的Autolisp程序。

上機(jī)練習(xí)在程序運行中，用戶按提示輸入外徑d

孔徑d寬度b二、AutoCAD語言程序例：74輸入標(biāo)入點后，程序自動進(jìn)行各坐標(biāo)點計算，按深溝球軸承的繪圖標(biāo)準(zhǔn)簡化方法繪出圖形。上機(jī)內(nèi)容：P49～P51及l(fā)isp語言繪圖。參考教材：機(jī)械CAD技術(shù)基礎(chǔ)，單忠臣，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社P108～P110.輸入標(biāo)入點后，程序自動進(jìn)行各坐標(biāo)點計算，75

講例：下面定義的是一個用多義線畫正方形的函數(shù)：(defun:c:PSQUare(/pt1pt2pt3pt4len)(Setqpt1(getpoint”Lowerleftcorner:”))(Setqlen(getdistpt1“l(fā)engthofoneside:”))(Setqpt2(polarpt10len))(Setqpt3(polarpt2(/pi2.0)len))

(Setqpt4(polarpt3pilen))(command“pline”pt1pt2pt3pt4“C”))講例：下面定義的是一個用多義線畫正方形的函數(shù)：76

命令調(diào)用：Command:PsquareLowerleftCorner:(用先標(biāo)輸入一個點)Lengthofoneside:（輸入一個距離）函數(shù)引用AutoCAD的Pline命令畫出所需要正方形。工具--Autolisp----〉加載△（Polar<基點><角度阿a><距離d>）功能：求距基點距離為d，方向為a的點.例：Command:(Polar’(1.01.0)0.7853981.414214)(2.0;2.0)命令調(diào)用：77第四章計算機(jī)輔助工程CAE第四章計算機(jī)輔助工程CAE78在計算機(jī)輔助設(shè)計的過程中，在產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計及修改設(shè)計階段，對整個產(chǎn)品及其重要受力零部件進(jìn)行靜態(tài).動態(tài)的力學(xué)分析計算及其進(jìn)行優(yōu)化分析計算

力學(xué)分析法分為解析法和數(shù)值法。在計算機(jī)輔助設(shè)計的過程中，在產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計及修79其解題能力有限.用數(shù)值法本課程主要以彈性力學(xué)平面問題及有限元法的基本知識現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件80＆4.1彈性力學(xué)平面問題的基本問題類型及方程一平面應(yīng)力與應(yīng)變1.平面應(yīng)力問題均勻梁厚度方向的尺寸小于其他兩個方向的尺寸。＆4.1彈性力學(xué)平面問題的基本問題類型及方程一平面應(yīng)力與81現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件82載荷平行于XOY平面，沿Z方向均布，Z方向的應(yīng)力分量=0。[作用在垂直于X軸的面上沿著Y軸方向作用的]剩下三個平行于XOY平面的應(yīng)力分量這種問題稱為平面應(yīng)力問題。如發(fā)動機(jī)連桿，齒輪等。

x.y的函數(shù)與z無關(guān)載荷平行于XOY平面，沿Z方向均布，Z方向的應(yīng)力分量=0。832.平面應(yīng)變問題2.平面應(yīng)變問題84無限長的圓柱體，在柱面上受有平行于橫截面且沿Z軸均勻分布的載荷，則可認(rèn)為體內(nèi)各點只有沿X及Y軸方向的位移，無沿Z方向的位移，即均為０

如：花鍵，滾針軸承中的滾子等。上面兩類問題稱彈性力學(xué)平面問題。平面應(yīng)力問題中，雖然,但應(yīng)變并不等于零。平面應(yīng)變問題中，但該方向的應(yīng)力并不為零。無限長的圓柱體，在柱面上受有平行于橫截面且沿Z軸均勻分85二平面問題的基本方程

1.幾何方程-位移與應(yīng)變的關(guān)系在載荷.溫度變化或其他因素作用下，物體內(nèi)各點之間的距離發(fā)生變化，形成物體的變形。變形時物體中各點的位移互不相同，是點的位置坐標(biāo)函數(shù)。二平面問題的基本方程86

在三個坐標(biāo)上的投影為u,v,w,位移分量（連續(xù)函數(shù)）是物體變形時點M的位移，物體介質(zhì)變形后連續(xù)。物體中任一點在三個坐標(biāo)上的投影為u,v,w,位87從M點取一個棱長為dx,dy,dz的微分體，微分體在各坐標(biāo)面上的投影為矩形。物體變形時，微分體的棱邊長度和各棱邊的夾角發(fā)生改變，故而它在各坐標(biāo)面上的投影改變，對坐標(biāo)面上投影的變形進(jìn)行研究，就能推測微分體本身的變形，等于研究了M點的變形。變形為AB和AC的長度分別為dx和dy，變形后A.B.C三點分別移到的位置。從M點取一個棱長為dx,dy,dz的微分體，微分體在各88設(shè)A的位移分量為u和v.坐標(biāo)有一增量dx，B點的位移分量為：C點為設(shè)A的位移分量為u和v.坐標(biāo)有一增量dx，B點的位89在小變形的前提下，很小，可以認(rèn)為，則線段AB位移后的絕對伸長，可用線段兩端點沿X軸的位移之差表示，即：在小變形的前提下，90A1B1-AB=A1B2-AB=uB-uA=()-u=

即線段AB的正應(yīng)變=同理，線段AC的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

=A1B1-AB=A1B2-AB=uB-uA=()-u91同樣的方法研究了微分體在XOZ或YOZ坐標(biāo)面上的投影

ABCD內(nèi)，AB與AC所夾直角的變化即投影面的剪應(yīng)變兩部分：一部分與X軸平行AB向Y的轉(zhuǎn)角一部分與Y軸平行AC向X的轉(zhuǎn)角同樣的方法研究了微分體在XOZ或YOZ坐標(biāo)面上的投影ABCD92

故上式可簡化為：=同理:

=故上式可簡化為：=同理:93

+=+

平面應(yīng)變幾何方程，位移應(yīng)變

當(dāng)物體的位移分量確定時，應(yīng)變分量完全確定，反過來，當(dāng)應(yīng)變分量確定時，位移分量不完全確定。+=+平面應(yīng)變94說明：以ABCD為例令其應(yīng)變分量為零，即=0=0=0即:=0=0+=0（C）（1）將（1）式分別對X和Y積分得：u=f1(y),v=f2(x)代入（C）得:說明：以ABCD為例令其應(yīng)變分量為零，即=0=095左邊是Y的任意函數(shù)，右邊是X的函數(shù)，故兩邊等于同一常數(shù)w，故：=

－w

=w=-wy+u0=wx+v0

U=u0-wyv=v0+wx平面內(nèi)的應(yīng)變?nèi)珵?時，面內(nèi)的各點位移，與變形無關(guān)，是剛體位移。U0,v0代表沿x軸及y軸的剛體平移，w代表繞z軸的轉(zhuǎn)動（證明略）。左邊是Y的任意函數(shù)，右邊是X的函數(shù)，故兩邊等于同一常數(shù)w，故96（1）空間問題每個面上有三個應(yīng)力分量：一個正應(yīng)力，兩個剪應(yīng)力，垂直作用于表示，前表示垂直于垂直于Z軸的面上沿Z向作用。剪應(yīng)力用垂直于哪一個軸，后表示沿哪個坐標(biāo)軸，X軸沿Y軸方向移動。2,物理方程——應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系。（1）空間問題每個面上有三個應(yīng)力分量：一個正應(yīng)力，兩個剪應(yīng)力97如果某一個截面上的外法線方向是沿坐標(biāo)軸的正方向，這個截面稱一個正面，這個面上的應(yīng)力沿正向為正，負(fù)方向為負(fù)。相反如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，截面為負(fù)面，這個面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)向為正，正向為負(fù)?？臻g問題有九個應(yīng)力分量。三個正應(yīng)力六個剪應(yīng)力三個獨立應(yīng)力。

τxy=τyx

τyz=τzy

τzx=τxz空間應(yīng)力狀態(tài)有6個獨立應(yīng)力分量:對應(yīng)6個應(yīng)變分量：如果某一個截面上的外法線方向是沿坐標(biāo)軸的正方向，這個截面稱一98完全彈性,各向同性物體,應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系：（胡克定律導(dǎo)出）胡克定律：在單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于彈性階段的物體應(yīng)力與應(yīng)變是線性關(guān)系，即：（1）E彈性模量剪切彈性模量泊松比Gμ完全彈性,各向同性物體,應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系：（胡克定律導(dǎo)出）（199（2）平面應(yīng)力問題可得出應(yīng)力方程：（2）平面應(yīng)力問題可得出應(yīng)力方程：100[D]平面應(yīng)力問題的彈性矩陣，對稱與E，μ有關(guān)[D]平面應(yīng)力問題的彈性矩陣，對稱與E，μ有關(guān)101（3）平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變的物理方程。（3）平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變的物理方程。102兩類平面問題類似：平面應(yīng)力問題

得到平面應(yīng)變問題的方程式。兩類平面問題類似：得到平面應(yīng)變問題的方程式。103（4）平衡方程—應(yīng)力與外力間的關(guān)系：作用于物體的外力分為體積力和表面力，簡稱體力和面力。體力是分布在物體體積中的力，如重力和慣性力。面力是分布于物體表面上的力，如接觸力。（1）應(yīng)力與體力之間的平衡方程（4）平衡方程—應(yīng)力與外力間的關(guān)系：104現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件105現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件106（1）應(yīng)力和面力關(guān)系：

（1）應(yīng)力和面力關(guān)系：107現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件108現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件109三．虛功方程彈性力學(xué)在能量法求解中，特別是在用有限單元法求解中，要用到變形體的虛位移原理和虛功方程，這里簡介一下。

所謂虛位移，是一種假想加到系統(tǒng)上，為系統(tǒng)的約束條件所允許的任意微小位移。而元功是指實際的力在虛位移上所作的功，元功也稱為虛功。變形體虛功原理表述如下：設(shè)變形體在力的作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于別的原因產(chǎn)生符合約束條件的微小的連續(xù)變形（虛位移，虛應(yīng)變），則外力在虛位移上所做的虛功W，恒等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛變形功V。

三．虛功方程彈性力學(xué)在能量法求解中，特別是在用有限單110即：W=V其中：即：W=V111如果只有剛體的虛位移而沒有虛應(yīng)變，虛變形功V=0.故W=0，變成剛體的虛功方程PxiδuD+Pyiδvi+……

{δ}T{P}={δε}T{σ}dV(σxδεx+σyδεy+σzδεz+τxyσγzy+τyzδyz+τzxδzx)dxdydz如果變形體處于平衡狀態(tài)，當(dāng)給予虛位移時，外力在虛位移上的虛功等于整個變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功。在彈性力學(xué)與有限元法中，通常用虛位移方程代替平衡微分方程與應(yīng)力邊界條件。如果只有剛體的虛位移而沒有虛應(yīng)變，虛變形功V=0.故W=0，112注意：本節(jié)用“變形體”而沒用“彈性體”，是因為這里分析結(jié)構(gòu)并不局限于彈性范圍；虛功方程的兩種運用；（1）虛設(shè)位移求未知力。（虛位移原理）求位移。（虛功原理）給定力系.虛設(shè)位移.求未知力.（2）虛設(shè)力狀態(tài)給定位移虛設(shè)力系.求未知位移.注意：求未知力。（虛位移原理）求位移。（虛功原理）給定力系.113§4.2彈性力學(xué)平面問題的有限單元法一、彈性力學(xué)的有限元分析計算可分為三個步驟:1、結(jié)構(gòu)離散化

這是有限元法的基礎(chǔ)，用由有限個方位不同但幾何性質(zhì)及物理性質(zhì)均相似的單元組成的集合體來代替原來的連續(xù)體或結(jié)構(gòu)。每個單元僅在節(jié)點處和其他單元及外部有聯(lián)系。對于不同的問題，根據(jù)自身的特點，可選用不同類型的單元。對同一問題也可以分別或同時選用多種單元。§4.2彈性力學(xué)平面問題的有限單元法一、彈性力學(xué)的有限元分114單元與節(jié)點單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域。節(jié)點：單元與單元間的連接點。節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力。節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載。注意：1)節(jié)點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實際結(jié)構(gòu)的重大差別；2）節(jié)點力與節(jié)點載荷的差別。節(jié)點載荷節(jié)點力單元與節(jié)點單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性115非法結(jié)構(gòu)離散不同材料節(jié)點不合法非法結(jié)構(gòu)離散不同材料節(jié)點不合法116例：圖示一懸臂梁，梁的厚度為t，設(shè)泊松比μ=，彈性模量為E，試用三節(jié)點三角形單元進(jìn)行離散。例：圖示一懸臂梁，梁的厚度為t，設(shè)泊松比μ=，彈117現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件118典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點數(shù)節(jié)點自由度桿單元22梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題32板殼單元43四面體單元43典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點數(shù)節(jié)點自由度桿單元22梁單1192.單元分析主要內(nèi)容：由節(jié)點位移求內(nèi)部任意一點的位移，由節(jié)點位移求單元應(yīng)變、應(yīng)力和節(jié)點力。3.整體分析（1）由節(jié)點平衡方程，建立以整體剛度矩陣[K]為系數(shù)的，整體節(jié)點位移{δ}和外載{R}的關(guān)系式——整體平衡方程。（2）考慮幾何邊界條件，修改總體剛度矩陣，求解全部未知位移分量。2.單元分析主要內(nèi)容：由節(jié)點位移求內(nèi)部任意一點的位移，由節(jié)點120有限元法的基本步驟物體離散單元分析整體分析與求解結(jié)果分析及后處理力學(xué)模型(平面應(yīng)力問題)有限元模型有限元法是一種數(shù)值計算方法。可廣泛應(yīng)用于各種微分方程描述的場問題的求解。有限元法的基本步驟物體離散力學(xué)模型有限元模型有限元法是一種數(shù)121二.有限元求解例（一維單元）引例:用有限元法求圖1所示受拉階梯桿的位移和應(yīng)力。已知桿截面面積A（1）=2×10-4m2，A（2）=1×10-4m2，各段桿長L（1）=L（2）=0.1m；材料彈性模量E（1）=E（2）=2×105MPa，作用于桿端的拉力F3=100N。a)二.有限元求解例（一維單元）引例:用有限元法求圖1所示受拉122

b)

c)圖1受拉階梯桿a)示意圖b)有限元模型c)單元圖

c)1231.單元劃分

根據(jù)材料力學(xué)的平面假設(shè)，等截面受拉桿的同一截面的不同點上可認(rèn)為具有相同的位移和應(yīng)力，即位移只與截面的軸向坐標(biāo)（圖1中為x）有關(guān)，所以可將階梯桿看作由兩個“一維單元”組成，同一個單元內(nèi)截面積及材料特性不變，并用線段表示一維單元。最簡單的情況是，每一個單元有兩個結(jié)點，他們分別位于單元兩端。相鄰兩單元靠公共結(jié)點聯(lián)結(jié)。這樣，圖1a所視的受拉階梯桿就簡化為由兩個一維單元和三個結(jié)點構(gòu)成的有限單元模型（圖1b）。圖中①和②是單元號，1、2、3是結(jié)點號。取結(jié)點位移作為基本未知量，應(yīng)力由求得的結(jié)點位移算出。1.單元劃分1242.確定單元插值函數(shù)（形函數(shù)）

有限元法將整個求解域離散為一系列僅靠公共結(jié)點聯(lián)結(jié)的單元，而每一個單元本身卻視為光滑連續(xù)體。單元內(nèi)任一點的場變量（如本例中的位移）可由本單元的結(jié)點值根據(jù)場變量在單元中的假定分布規(guī)律（插值函數(shù)）插值求得。本例中，每單元有兩個結(jié)點，采用線性插值方式是適宜的。圖1c是一典型單元圖。兩結(jié)點分別為i和j。設(shè)單元中坐標(biāo)為x處的場變量為結(jié)點場變量值分別記為和。。2.確定單元插值函數(shù)（形函數(shù)）結(jié)點場變量值分別記為和。。125根據(jù)線性插值關(guān)系得：

（1）

是單元自由度列陣；形函數(shù)矩陣，因為它與單元的結(jié)點坐標(biāo)（即單元形狀）和單元插值形狀有關(guān)。

式中，L（e）=xj-xi是單元長度；

稱為單元根據(jù)線性插值關(guān)系得：（1）是單元自由度列陣；126形函數(shù)矩陣的分量數(shù)目應(yīng)與單元自由度數(shù)目相等。

對于兩自由度線性插值單元由式（1）可知形函數(shù)矩陣的兩分量為：

（2）形函數(shù)矩陣的分量數(shù)目應(yīng)與單元自由度數(shù)目相等。對于兩自由度線1273.單元方程（單元結(jié)點位移與結(jié)點力的關(guān)系）由等截面桿變形與拉力的關(guān)系（虎克定律）得到

式中，和分別為作用于單元e的結(jié)點i和（3）結(jié)點j的結(jié)點力。3.單元方程（單元結(jié)點位移與結(jié)點力的關(guān)系）128式（3）寫成矩陣形式為：或簡記為：

式中，稱為單元特性矩陣，在力學(xué)問題稱為單元結(jié)點力列陣。（4）（5）中常稱為單元剛度矩陣，簡稱單元剛陣；式（5）稱為單元方程。式（3）寫成矩陣形式為：或簡記為：129到目前為止，單元方程（4）或（5）尚不能求解，因為結(jié)點力列陣尚屬未知。的分量和外載荷之間的關(guān)系。

4.單元組集—建立總體方程組為獲得總體方程和總體自由度（、）的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)展。

是相鄰單元作用于單元e的結(jié)點i和j的力，即屬于單元之間的作用力。只有將具有公共結(jié)點的單元“組集”在一起才能確定上述結(jié)點力和結(jié)點和組，必須先將單元方程按照局部自由度（）和到目前為止，單元方程（4）或（5）尚不能求解，因為結(jié)點力130具體來說，單元1的擴(kuò)展方程為：

式中，各項上角碼表示單元序號；下角碼表示自由度總體序號。（6）具體來說，單元1的擴(kuò)展方程為：131單元2的擴(kuò)展方程為：

（7）由于相鄰兩單元公共結(jié)點上的基本場變量（位移）相同，所以可將擴(kuò)展后的各單元方程相加。單元2的擴(kuò)展方程為：132將式（6）和式（7）相加得：

（8）上述組集過程可記為：

式中，NE代表有限元模型的單元總數(shù)。（9）將式（6）和式（7）相加得：（8）上述組集過133組集后的結(jié)果簡記為：

式中，K稱為總體特性矩陣（力學(xué)中常稱為總體剛度矩陣和總剛陣），F(xiàn)稱為總體結(jié)點載荷列陣。需指出的是，對單元的一個公共結(jié)點而言，除了有相鄰單元作用于該結(jié)點的力之外，還可能有做用于該結(jié)點的外載荷（包括以后要講到的當(dāng)量結(jié)點載荷）。若一結(jié)點上無外載荷作用（如本例中結(jié)點2），則說明各相鄰單元作用于該結(jié)點的力是平衡的，即該結(jié)點的結(jié)點合力為零。組集后的結(jié)果簡記為：134若某結(jié)點上有外載荷作用（如本例中結(jié)點3），則各單元作用于該結(jié)點的內(nèi)力和（即方程（8）中第3式左端項的負(fù)值）與該結(jié)點的外載荷（F3）相平衡，即：這就是說，列陣F各分量的含義是作用于相應(yīng)自由度（結(jié)點位移）上的結(jié)點外載荷。將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入式（8）得：

（11）（10）若某結(jié)點上有外載荷作用（如本例中結(jié)點3），則各單元作用135

上式即為本題的總體線性代數(shù)方程組，但不能獲得唯一解，因為上式中的矩陣是奇異的。這種奇異性不是因數(shù)據(jù)巧合造成的，而是有其必然性。原因在于總體方程組式（8）只考慮了力平衡條件，而只根據(jù)力平衡不能唯一地確定系統(tǒng)的位移，因為系統(tǒng)在有任意剛性位移的情況下仍可處于力平衡狀態(tài)。為獲得各結(jié)點位移的唯一解，必須消除可能產(chǎn)生的剛體位移，即必須計入位移邊界條件。上式即為本題的總體線性代數(shù)方程組，但不能獲得唯一解，1365.計入邊界條件，解方程組

本題的位移邊界條件為那么，式（11）和說，可從式（11）中消去一個方程。譬如，代入后得：

解得：=0.25×10-6m,=0.75×10-6m。，中只剩下兩個待求的自由度去第一個方程并將。也就是舍（12）這與材料力學(xué)求得的結(jié)果相同。5.計入邊界條件，解方程組本題的位移邊界條件為那么，式（11376.計算單元應(yīng)變和應(yīng)力

由材料力學(xué)得知，單元中任一點的應(yīng)變（x）（x）

將式（1）及式（2）代入上式得

式中，B稱為單元應(yīng)變一結(jié)點位移轉(zhuǎn)換矩陣。應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系為:

（15）與位移的關(guān)系為:（13）（14）6.計算單元應(yīng)變和應(yīng)力由材料力學(xué)得知，單元中任一點的應(yīng)變（138對于單元1對于單元2對于單元1對于單元2139三．有限元求解例（線性三角形單元）（1）單元位移模式三角形三節(jié)點單元如上圖。三．有限元求解例（線性三角形單元）三角形三節(jié)點單元如上圖。140i、j、m為節(jié)點。六個位移分量需六個待定參數(shù)、……設(shè)單元位移分量是坐標(biāo)x.y的線性函數(shù)，即：寫成矩陣的形式為：i、j、m為節(jié)點。六個位移分量需六個待定參數(shù)、……寫成矩陣的141（2）由單元節(jié)點位移求位移參數(shù)設(shè)節(jié)點i,j,m坐標(biāo)分別是xi,yi;xj,yj;xm,ym。把三個節(jié)點的坐標(biāo)及其水平位移代入式（1）中得：解得：，，（2）由單元節(jié)點位移求位移參數(shù)設(shè)節(jié)點i,j,m坐標(biāo)分別是xi142對v同理可列出、、解出～的結(jié)果如下：方程。對v同理可列出、、～的結(jié)果如下：方程。143式中

為三角形單元面積。式中為三角形單元面積。144將寫成矩陣形式，有由單元節(jié)點位移求單元內(nèi)部任一點位移{f(x,y)}}=[m(x,y)][A]{}e{f(x,y)}=[m(x,y)]{將寫成矩陣形式，有由單元節(jié)點位移求單元內(nèi)部任一點位移{f(x145{f(x,y)}=

==[ⅠNi(x,y)ⅠNj(x,y)ⅠNm(x,y)]Ⅰ=二階單位陣{f(x,y)}===[ⅠNi(x,y)ⅠNj(x,y146形函數(shù)物理意義：，i節(jié)點單位位移，其他

Ni，Nj，Nm是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，它反映單元內(nèi)位移的分布狀態(tài)，稱為位移的形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)。矩陣[N]稱為形函數(shù)矩陣。節(jié)點位移分量為0，單元內(nèi)部產(chǎn)生位移分布形狀Ni(x,y)=形函數(shù)物理意義：，i節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移分量為0147形函數(shù)的性質(zhì)：

1、在單元任一點上，三個形函數(shù)之和等于1.

2、形函數(shù)Ni在i點的函數(shù)值為1，在j點及m點的函數(shù)值為零。3、三角形單元i,j,m在ij邊上的形函數(shù)與第三個頂點的坐標(biāo)無關(guān)。形函數(shù)的性質(zhì)：點的函數(shù)值為零。3、三角形單元i,j,m在ij148例：求圖示單元Ⅰ和單元Ⅱ的形函數(shù)矩陣ij如無特殊說明：約定節(jié)點編號逆時針方向例：求圖示單元Ⅰ和單元Ⅱ的形函數(shù)矩陣ij如無特殊說明：約定節(jié)149（a）單元Ⅰ、Ⅱ分別如上圖所示(b)（a）單元Ⅰ、Ⅱ分別如上圖所示(b150單元Ⅰ如圖a所示。設(shè)a=1m,b=2m.(或直接由圖形可知其面積)

單元Ⅰ如圖a所示。設(shè)a=1m,b=2m.(或直接由圖形可知其151(2)求系數(shù)ai，aj，am，bi，bj，bm，ci，cj，cm

(2)求系數(shù)ai，aj，am，bi，bj，bm，ci，cj，152

(3)求形函數(shù)矩陣代入相關(guān)常數(shù)：(3)求形函數(shù)矩陣153將a=1,b=2代入得：單元Ⅱ如圖b所示，=。將a=1,b=2代入得：單元Ⅱ如圖b所示，=。154ai=xjym-xmyj=abaj=xmyi-xiym=abam=xiyj-xjyi=-abbi=yj-ym=-abj=ym-yi=0bm=yi-yj=aci=xm-xj=0cj=xi-xm=-bcm=xj-xi=b（1）求常數(shù)（1）求常數(shù)155(2)求形函數(shù)矩陣(2)求形函數(shù)矩陣156[N]Ⅱ=將a=1,b=2m代入上式得：

[N]Ⅱ=[N]Ⅱ=將a=1,b=2m代入上式得：157四1.由節(jié)點位移求單元的應(yīng)變單元應(yīng)變矩陣{}=

四1.由節(jié)點位移求單元的應(yīng)變單元應(yīng)變矩陣}=158簡記為{}=[B]{}e

[B]可寫成分塊的形式：[B]=[BiBjBm][Bi]=

[B]稱為應(yīng)變矩陣，它的元素都只與單元的幾何性單元應(yīng)變與單元結(jié)點位移關(guān)系(i,j,m)質(zhì)有關(guān)的常量。這種單元稱為平面問題的常應(yīng)變?nèi)切螁卧：営洖閧}=[B]{}e[B]稱為應(yīng)變矩陣，它的元1592.單元應(yīng)力與結(jié)點位移關(guān)系{}=[D]{}}e

(求應(yīng)變的表達(dá)式)}e

應(yīng)力矩陣=[D][B]=[SiSjSm]=[D][B]{=[S]{2.單元應(yīng)力與結(jié)點位移關(guān)系}=[D]{}}e(求應(yīng)變的表達(dá)式160平面應(yīng)力問題：

代入[D]及[B]

得:[S]=[SiSjSm].

對于平面應(yīng)力：

[Si]=(i,j,m)*注：[D]的表達(dá)式見P724-8，[B]的表達(dá)式見P864-34平面應(yīng)力問題：(i,j,m)*注：1612)平面應(yīng)變問題.

將上式中以代E，以代則子矩陣：(i,j,m)[Si]=2)平面應(yīng)變問題.代E，以代則子矩陣：(i,j1623.單元剛度矩陣3.單元剛度矩陣163現(xiàn)代設(shè)計方法(修改)課件164{F}e={}={F}e={}=165節(jié)點虛位移列陣及虛應(yīng)變：{*}e={*}=節(jié)點虛位移列陣及虛應(yīng)變：*}e=166({*}e)T{F}e={*}T{}tdxdy}=[B]{}e知*}=[B]{*}e*}e)T{F}e=({*}e)T[B]T{}tdxdy由{{({由于{*}e中的元素為常量，提至前，故：[B]T{}tdxdy（B,為常量，dxdy為面積）{F}e=({*}e)T{F}e={*}T{}tdxdy}=[B]{167{F}e=[B]T{}t{F}e=[B]T{}t=[B]T[D]{}t=[B]T[D][B]{}et=[K]e{[K]e=[B]T[D][B]t或[K]e=[B]T[D][B]tdxdy單元剛度矩陣=}e{F}e=[B]T{}t{F}e=[B]T{}t=[B]T[168對于平面應(yīng)力問題krs=[Br]T[D][Bs]t

=(r=i,j,m;s=i,j,m)對于平面應(yīng)變問題：將上式中的E換成換成可得k，式略。,對于平面應(yīng)力問題=(r=i,j,m;s=i169求例4.2（p84）單元Ⅰ的單元剛度矩陣解：（1）求矩陣[B][B]==ab和bi,bj,bm及ci,cj,cm得:[B]=求例4.2（p84）單元Ⅰ的單元剛度矩陣=ab和bi,bj170（2）求矩陣[S][D]=[S]=[D][B]=（2）求矩陣[S][S]=[D][B]=171（3）求矩陣[k]e[k]e=[B]T[D][B]t=[B]T[S]t=

（3）求矩陣[k]e=[B]T[S]t=172==173代入a=1b=2m得：可算出，當(dāng)a=b時單元剛度矩陣與尺寸a,b無關(guān)。

代入a=1b=2m得：可算出，當(dāng)a=b時單元剛度矩174單元剛體矩陣的特性：單元剛度矩陣的物理意義：

單元剛度矩陣[k]e表示了單元抵抗變形的能力，即表示了節(jié)點位移{}e與節(jié)點力{F}e之間[krs]表示點s發(fā)生單位位移時，在節(jié)點r上的關(guān)系。產(chǎn)生的節(jié)點力。單元剛體矩陣的特性：}e與節(jié)點力{F}e之間[krs]175例：證明右圖所示中單元剛度矩陣.[k]Ⅰ=[k]Ⅱ例：證明右圖所示中單元剛度矩陣.176證明：由于單元剛度矩陣

[k]e=[B]T[D][B]t

可知：當(dāng)兩個三角形單元幾何尺寸相同時，t值和單元面積值均相同；當(dāng)兩個單元的材料不難驗證,Ⅰ.Ⅱ單元的上述br.cr(i,j,m)性質(zhì)相同時，彈性矩陣[D]也時相同的。故[k]e是否相同，取決于矩陣[B]

值均相等。[B]=證明：由于單元剛度矩陣值均相同；當(dāng)兩個單元的材料不難驗證,177結(jié)論：兩個單元剛度矩陣[k]e相等的條件為：只要兩單元的形狀、大小、方向和單元彈性常數(shù)均相同，并且編號的方式也相同，如按逆時針方向編號為i,j,m，直角頂點編號為m，則兩個單元的剛度矩陣時相等的。剛度矩陣的一些重要性質(zhì)：（1）對稱性

單元剛度矩陣是一個對稱矩陣（2）奇異性

單元剛度矩陣是一個奇異矩陣，表明其逆矩陣不存在。也就是說，如果給定了單元節(jié)點位移可以得出惟一的節(jié)點力。反之，如果給出節(jié)點力卻無法求出確定的節(jié)點位移。這是因為單一單元來考慮所受約束時，可能存在不引起單元應(yīng)力和節(jié)點力的剛性位移。（3）分塊性質(zhì)單元剛度矩陣可以分塊運算。結(jié)論：兩個單元剛度矩陣[k]e相等的條件為：只要兩單元的形狀178五.單元載荷的移置（離散時每個單元受載作用于節(jié)點上）1.原則：將單元載荷向節(jié)點處移置，按照虛功等效的原則進(jìn)行。對于變形體，虛功等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任何虛位移上做的虛功相等。當(dāng)位移模式確定后，載荷移置是唯一的。靜力等效是虛功等效的特例。1.原則：將單元載荷向節(jié)點處移置，按照虛功等效的原則進(jìn)行。對1792.載荷移置公式（1）集中力設(shè)單元i,j,m中任一點M(x,y)處受有集中力{P}=[PxPy]T移置到該單元各節(jié)點處載荷列陣為{R}e=[假設(shè)該單元發(fā)生一微小虛位移，M點相應(yīng)的虛位移為{f*}該單元各節(jié)點處相應(yīng)虛位移為{}由靜力等效原理，載荷與節(jié)點等效載荷載虛位移上所作虛功相等：({}e)T{R}e={f*}T{p}]T2.載荷移置公式由靜力等效原理，載荷與節(jié)點等效載荷載虛位180{R}e=[N]T{p}{R}e=[XiYiXjYjXmYm]T由