工業(yè)考研-北工180元課本binder

第五章頻率分析法§5-1頻率特基本概念G(s)

sn sn1as (5-得到另外一個復(fù)變函數(shù)G(jG(j)G(s)s

(5-復(fù)變函數(shù)G(j的自變量為頻率，因此將其稱為頻率特性。(G(j)P()jQ( (5-式 P()Re[G(j)]，為G(j)的實部Q(Im[Gj)]，為Gj的虛部。另外還可以用G(j的模和幅角來表示為G(j)G()arg[G()]A()( (5-式 A()G(j)，為G(j)的幅值(arg[Gj，為Gj線性系統(tǒng)在輸入一個正弦信號sint時，它的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也是一個同頻率的正弦信號，但是幅值與相位不同，如圖5-1所示。 5-1性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦響在式(5-4)中，幅值A(chǔ)()是頻率的函數(shù)，隨頻率的變化而變化，因此稱為G(j)的幅頻特性。幅角()也是頻率的函數(shù)，隨頻率的不同有不同的相位角，因此稱為G(j)的相頻特性。這樣，以復(fù)變函數(shù)G(j)來表示的頻率特性又常常以A()和(來表示。RCRC Uo jCRjC

UU1111j

1j

1j

(5-12T12T1jTU

1jT111212T

(5-

1T()[arctanT (5-(5-3

--頻率特性的定義G(j)R

(5-時間信號的正弦信號f(t)sin

時域表如果在頻域表示的話，則在正頻率段只有一條譜 實際上，采用實信號的復(fù)數(shù)表示法，正弦函數(shù)在正、負(fù)頻率段對稱位置是各有一條譜線的，人為地省略去頻域中的負(fù)頻率段譜線對時域表示沒有什么影響。

5-4弦信號在不周期非正弦信號 nf(t)a0n

sinn0t

(5- T1T

a0an

2fT f( f(t)cosn2TTT

(5-(5-

T A

T b

f(t)sinn

5T 5T2

7由于n0,1,2波信號展開成級數(shù)時，其各頻譜分量是基頻的整數(shù)倍，在頻域中表示時是離散譜線。也就

0357由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理，所以周期信號作用于線性系統(tǒng)，其輸出應(yīng)為各頻率5-5非周期信號

ttTt ttTt；各頻譜分量的幅值an，bn趨于零，成為無窮小量 1f(t) F()e

(5-2F()f(t)e

(5-f(t)在它的傅氏變換F(f(t)頻率特性的定已知線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)，輸入信號為r(t)，其傅氏變換存在為R(j)。系統(tǒng)的輸出信號為c(t)，其傅氏變換為C(j)數(shù)G(s)則成為G(j

j，線性系定義線性定常系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號的傅氏變換Cj與輸入信號的傅氏變換R(j)之比，表為C(jG(j)R(j (5-關(guān)于頻率特性的討論f(t)dt

(5-但是，在定義系統(tǒng)的頻率特性Gj旦定義了頻率特性Gj，則Gj就成為系統(tǒng)的固有特性，信號的傅氏變換是否ay(i)(t)bx(j)i

i

(5-類 a(j)i]Y(j)b(j)j]X(

(5-i

b(j)G(j)Y(

X(

) (5-ia(ji即為線性定常系統(tǒng)的頻率特性。所以頻率特性Gj是在頻率域中來表示線性定常有些時域函數(shù)不滿足狄里赫萊條件，因此沒有傅氏變換。但是在增加衰減因子et5-7所示。t1(t)e-t F(j)[f(t)et]e

t

f(t)e( sf(t)estdtF (5-0這樣，傅氏變換就演變?yōu)槔献儞Q了。所以，傅氏變換是拉氏變換在0時的特例。可以將傳遞函數(shù)G(s)中的自變量s代以j直接得到控制系統(tǒng)的頻率特性G(j)G(s)s (5-頻率特性的數(shù)學(xué)表示及作圖頻率法分析是基于頻率特性Gj，借助于各種作圖法來進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合極坐標(biāo)頻率特性Gj是以G(j)Re[G(j)]Im[G(jP()jQ(G(j)G()A()

(5-(5-當(dāng)頻率從變到時，G(j在由實軸與虛軸構(gòu)成的復(fù)平面上走過的軌跡就稱為G(j)的極坐標(biāo)圖如圖5-8所示。由于實部函數(shù)Re[Gj)]是頻率Re[G(j)]Re[G(j虛部函數(shù)Im[Gj)]是頻率Im[G(j)]Im[G(jG(j)平0因此，當(dāng)頻率G(j)平0同理，幅頻特性A(是的偶函數(shù)，而相頻性(是G(j)的極坐標(biāo)圖繪制時需要取的增量逐點完成G(j的極坐標(biāo)圖繪制。Gj

5-8坐對數(shù)坐標(biāo)圖G(j)G()A()

(5-A()稱為頻率特性的幅頻特性，是的函數(shù)。當(dāng)由0時，它展示了G(j)幅值的變化規(guī)律；(稱為頻率特性的相頻特性，也是的函數(shù)。當(dāng)由0時，它展示了G(j)相位角的變化規(guī)律；通常，A(與()的作圖需要逐點作出，應(yīng)用不便。因此，分別將A(對數(shù)幅頻特性L(20lgA([lgA()] - 2 2 50100- -- -如圖5-9所示。L()lg [Bell(貝爾 (5-L()20lg dB(分貝 (5-橫軸坐標(biāo)作對數(shù)變換后成為lg，為等分刻度。如圖橫坐標(biāo)上邊所示是以lg作經(jīng)對數(shù)變換之后的幅頻特性L(稱為對數(shù)幅頻特性。對數(shù)相頻特性()原相頻特性()縱軸坐標(biāo)不作任何變換，仍然以角度等為了與對數(shù)幅頻特性L(的橫軸坐標(biāo)相一致，將橫軸坐標(biāo)作對數(shù)變換為lg，其函數(shù)表示符號(不變。對數(shù)相頻特性(如圖5-10所示。對數(shù)幅頻特性L()和對數(shù)相頻特性()兩條曲線統(tǒng)稱對數(shù)頻率特性，又稱為波德圖。--

2

50100由于橫坐標(biāo)軸作了對數(shù)變換，其效果是：將高頻頻段各十倍頻程拉近，展寬了可帶寬度。另一方面，又將低頻頻段的各十倍頻程分得很細(xì)，展寬了表示頻帶寬G(j) (1j)(111L()20lgG(11

-----

1001111

20

--()(1j)(1由于L()和()

-

§5-2G(j)極坐標(biāo)A()

(5-(5-

dBL()0--()

-K0

100對數(shù)頻

L()20lgA()20lgK (5-() (5-G(j)極坐標(biāo)

11ssj1s

(5-A(j)1

00()

(5-當(dāng)由090，幅值的大小與成反比。因此，曲線在負(fù)虛軸上。積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-14所示。對數(shù)頻對數(shù)幅頻特性L(11L()20lg20(5-對數(shù)相頻特性(

---- (()=-

100()

(5-

---

性如圖5-15所示。

5-15積分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特微分環(huán)節(jié)G(j)ssj極坐標(biāo)

j(5-0

A(j)

j (5-(j 5-16由090，幅值的大小與成正比。因此，曲線對數(shù)頻對數(shù)幅頻特性L(L()20lg 為每十倍頻增加20dB。對數(shù)相頻特性(()j

L(dB0--

10

慣性環(huán)節(jié)1111s G(j) 1s

(5-極坐標(biāo)

G(j)12T2j12T

(5-12TG(j) 12T12T12T

(5-0+1A()00+1()arctan

(5- ( ( 對數(shù)幅頻12TL(12T

1(5-

L()dB---1T1---L()020lg1(5-

--

11(5-T對數(shù)相頻

(5-

()arctan (5-當(dāng)頻率0時，有()當(dāng)頻率1時，有(T當(dāng)頻率時，有()

d[( 相頻特性()是單調(diào)減的，而且以轉(zhuǎn)折頻率為中心，兩邊的角度是稱的。依照上述分析作出慣性環(huán)節(jié)的相頻特性曲線如圖5-19所示。1從對數(shù)幅頻特性L()上可以看出，用漸近線作圖是有近似誤差的，最大誤差發(fā)生1在轉(zhuǎn)折頻率處。將其坐標(biāo)L(T112T112T220lg2

1

----(5-

11 1

5-20所示，來對漸近線作圖所產(chǎn)生

10T5 2 0.04dB。所以兩端十倍頻程之外的誤差可以忽略不計。一階微分環(huán)節(jié)G(j)1

極坐標(biāo)A()

(5-

12T12T()arctan (5-的極坐標(biāo)圖比較特殊如圖5-21所示。對數(shù)頻

L()2012T(12T

(5-(5-二階振蕩環(huán)節(jié)

L()dB01-1

100G(s)

s22s

-1令Tn

(5-

G(s)

1 2112s2112s22snnTn

12Ts

(5-1G(j)

T2(j)2j2T1T2 (1T22)2(2T)2j(1T22)2(2T) arctan2T

(5-

1T2二階振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)1(11(1T22)2(2T01單位A()()arctan1T2

(5-(5-

A(0) (0)當(dāng)時A()0 ()所以曲線的模以幅角180趨于零應(yīng)的條件下，在某一振蕩頻率r處，二階振蕩環(huán)節(jié)會產(chǎn)生諧振峰值Mr。dd

A()

(5-1T121T12MrA(r)

1

(5-及無峰值時的系統(tǒng)參數(shù)臨界值為r0,0.7070.707和0.707的無諧振峰值、臨界諧振峰值和有諧振峰值的三條極坐標(biāo)圖的曲線如圖5-23中所示。二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻(1T22)2(2T(1T22)2(2TL()020lg1

(5-L()20lgA()20 T2

1(11(1T22)2(2T為-40dB/dec。1時幅頻特性L()的準(zhǔn)確曲線如5-24()arctan

L()-0---1T2(5-1當(dāng)0時， (0)1當(dāng)T

----

0.1 1(T)1當(dāng)

(

tg

111

并且由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，(在T鄰域的角度變化率也不同，阻尼比越小，變化率就越大。阻尼比分別為0.707， 01 01二階微分環(huán)節(jié)G(j)T2s22Ts

s

T2(j)2j2T

(5-階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性翻轉(zhuǎn)畫出如圖5-26所示。0-

0.1 延遲環(huán)節(jié)

G(j)eA()e

(5- (5-()ej[rad] (5- 05-27延遲環(huán)節(jié)

5-28延遲環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特§5-3控制系統(tǒng)的頻率特性包括開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性，兩者都可以用于系統(tǒng)分析。由于開環(huán)對數(shù)頻率特性作圖簡單、方便，因此開環(huán)系統(tǒng)分析應(yīng)用比較普遍。而閉環(huán)頻率特性由于徒手作圖，需要借助于計算機(jī)以及格式的圖表，近些年來應(yīng)用逐漸減少。

++Go(s) (5-Go(j)G(j)H(j)(5-

5-29制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Go(j)的分子多項式與分母多項式作因式分解如下(s(2s22s

lG(s) k

(5-

2(Ts

s2Tsi

該式包括增益因子、一階因子和二階共軛復(fù)數(shù)因子，都是基本環(huán)節(jié)，所以Goj)的kkG(j)G1(j)G2(j)Gk(j)Gk(

(5-Go(j)G1(j)G1(j)G2(j)G2(j Gk(j)Gk( (5-

k

Lo()20lg[Gi(j)]20lgGi(j)Li(

L1()L2k

Lkk

(5-o()Gi(j)i 1()2()k (5-式(5-80)和(5-81)說Lo()和o()分別都是各典型環(huán)節(jié)的疊加。典型環(huán)節(jié)疊加作分別作出各基本環(huán)節(jié)的Lk()，在圖上疊加得到Lo()，以及分別作出各基本節(jié)的k()，在圖上疊加得到o()

100(sG(s)s(s1)(s100(j

+5-30制+10(1G(j)(j)(j1)(j20)(j)(1j)(1G1(j) L1()20lg101()10.52G2(j)1 L210.522()arctan

2，轉(zhuǎn)折斜率為20dB1G3(j)1

L3()3()11G4(j)

1

L4()4()一階慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為1，轉(zhuǎn)折斜率為20dBG5(j)

1

L5()20

10.052

1

5()arctan20，轉(zhuǎn)折斜率為20dBL()L1()L2()L3()L4()L5

0---

------- 5-31數(shù)幅頻特()1()2()3()4()5--轉(zhuǎn)折漸進(jìn)作

5-32數(shù)相頻特轉(zhuǎn)折漸進(jìn)作圖主要是依照轉(zhuǎn)折漸進(jìn)表作出Lo()，而開環(huán)對數(shù)相頻特性o(仍o()的作圖。這樣，轉(zhuǎn)折漸進(jìn)作圖就是又快又方便了(s(2s22s

lG(s) k

2(Ts

s2Tsi

koG (5-

G(j)

G(

(5-在低頻段作出Lo低和o低。步驟2，由于

(

( (s1)(2s22skGn(s)k

l (5-(Ts1)(T2s22Tsi

解低頻段特性為

(s) 1.58(110s)(1s)s(150s)(10.2s0.52s2)G(s) 這是在1.580dB20dB/dec，過(110s)(1Gn(s)(150s)(10.2s0.52s2將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率從小到大填入轉(zhuǎn)折漸進(jìn)表如下表所示，并填入相應(yīng)的轉(zhuǎn)折斜率。在圖上按照表上的順序依次將對數(shù)幅頻特性各段完成，完成后的折線近似特性如圖33o)的各段斜率分別簡略標(biāo)注為(1(1(1(10.2s052s212--12另外，由于二階振蕩因子的阻尼比為12rrT

MrA(r)1 11 1

Go

--- 8dB---- 8dB-所以低頻段相位角

o90

000---

-Go

0.01 0.1 10

- 圖5-33例5-3系統(tǒng)的波德o之后從低頻段相位角出發(fā)，在每一個轉(zhuǎn)折頻率處，對于每一個一階因子45在圖上作出特征點，對于每一個二階因子90在圖上作出特征點，繪制控制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖可以利用計算機(jī)繪圖工具準(zhǔn)確作出。利用開環(huán)頻率特性o(j的一些特點也可以近似地描繪出它的草圖。盡管不太準(zhǔn)確，但是用于系統(tǒng)的定性分析還是非常有用的。下面定性地來討論控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Go(j)的一些特點。Go(j)可以表 G(s) s

k

l2

(5-(Ts1)(T

2Ts極坐標(biāo)圖

極坐標(biāo)圖的起點是0時Goj0在復(fù)平面上的位置。當(dāng)前向通路積分環(huán)節(jié)的個數(shù)大于零，0時有Go

(5- (

0

0(

2

(5-有關(guān)。為不同值時，極坐標(biāo)圖的起點位置如圖5-34

5-36坐標(biāo)圖的0n-

0n-0n-圖5-34極坐標(biāo)圖的起點 圖5-35極坐標(biāo)圖的終點極坐標(biāo)圖的終點極坐標(biāo)圖的終點是時Go(j)在復(fù)平面上的位置，當(dāng)

Go

(5-

(5-(( (j

(nm) (5- 多項式次數(shù)之差nm來決定。各種趨近情況如圖5-35所示。坐標(biāo)軸穿越點與單位圓在坐標(biāo)軸穿越點鄰域需要確定的是x時，Gojx在單位圓穿越點鄰域需要確定的是y時，Gojy是以幅值增加方式還是以在不需要準(zhǔn)確地作圖時，根據(jù)上述三條，可以定性地作出開環(huán)頻率特性Goj)的5-4]解由于1，有

G(s) s(1A(0)由于nm2，有

(0) A()0()()90(1j10-00(a)趨勢草 (b)準(zhǔn)確作5-37作G(j) (j)(1j 1 (12所以 Re[G( Re[G( Im[Go(j)]0 Im[Go(j)]當(dāng)0時，實部函數(shù)有漸近線為-1，可以先作出漸近線，然后描點將極坐標(biāo)圖作出如圖5-37(b)所示。5-37G(s)s2(15s)(1解由于2， 由于nm3， A(0)

A()(0) () ()180(1j20(1j5)(1當(dāng)增加時，(從-180x0.255時，(0.255

IIK K5-6]已知兩個系統(tǒng)G1j)、G2j)G(j)1 G(j)1---

1 0---

1 對于G1(j)

圖5-39最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)的波德圖114114

L()1

112

20 20L()2

112

20 20 L1114但是G1(j)的相頻特性為1()arctanarctanG2(j)的相頻2()arctan()arctan2arctanarctan所以，兩系統(tǒng)的相頻特性是不同的，且1比2j有更小的相位角。兩系5-39部位于s的左半平面的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。由于定義了最小相位系統(tǒng)，幅頻特性與相頻特性有確定的關(guān)系，許多情況下可以省略相頻特性作圖，使得頻率法開環(huán)系統(tǒng)分析更簡潔，更方便?！?-4在第三章時域分析中討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且給出了代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)，可以只開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系Go(s)

M(5-N系統(tǒng)的開環(huán)零點。滿足方程N(yùn)(s)0sM(s分子多項MM(s)N1M(s)N

nmcG(s)Go(s)c

M

(5-1Go

N(s)M其中，滿足方程N(yùn)(sM(s0s作輔助函數(shù)F(s)，也就是系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式為F(s)1Go

M(s)N

N(s)MN

(5-滿足方程N(yùn)(s)M(s)0的s值，是輔助函數(shù)F(s)的零點，同時又是系統(tǒng)的閉環(huán)極點。滿足方程N(yùn)(s)0的s值，是輔助函數(shù)F(s)的極點，同時又是系統(tǒng)的開環(huán)極點。輔助函數(shù)F(s)把系統(tǒng)的開環(huán)極點和閉環(huán)極點包含在一個表達(dá)式中。通常系統(tǒng)的開環(huán)極點是已知的，需要確定的系統(tǒng)的閉環(huán)極點是未知的。通過輔助函數(shù)F(s)，就把控制系統(tǒng)的開環(huán)極點與閉環(huán)極點聯(lián)系到一個復(fù)變函數(shù)F(s)中。進(jìn)而，就可以利用已知的開環(huán)極點的情況來判別未知的閉環(huán)極點的情況，也就是閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。將sj代入輔助函數(shù)F(s)，得到輔助函數(shù)F(sN(j)M(F(j) N(j (5-頻域穩(wěn)定性判據(jù)已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Goj)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為當(dāng)由0增至無窮時，輔助函數(shù)F(j的角度增量為:

F(j) (5-因為Fj1Goj):

[1Go(j)] (5-::

F(j)[1Go(j)]

(5-(5-00=- 圖5-40穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)量如圖5-40所示。Fj平面就是1Gj平面。包圍Fj平面的原點等于包圍G1j05-4100-包圍Fj平面的原點(2)包圍G(j平面的-1點圖5-41F(j平面與G(j平面的平移關(guān)系開環(huán)頻率特性Go(j的極坐標(biāo)圖是畫在G(j)平面上的。所以，就可以利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。此時，相對于G(j)平面上的1j0p0時，圍繞1j0:

Go(j) (5-當(dāng)p0時，圍繞1j0點的角度增量為

:

Go(j)N(j)M(

(5-

N(j式 NjMj)多項式?jīng)Q定FjNj多項式?jīng)Q定Fj

nnk(jzlnF(j) n(jpi

(5-且由于nm，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點的數(shù)目是相等的，所以輔助函數(shù)F(j零 [1Go(j)] (jz)] (jpn : : :

(5-時，則可以獲得增量角為 2:

(ja)2

(5-sziajb，則兩個零點的角度增:

(jajb) :

(ja :

[(j(b)a] :

2 (5-2--aa-0-j(-a 圖5-42s左半平面零點的角度增量示意圖 2:

(ja)2

(5-sziajb，則兩個零點的角度增:

(jajb) :

(ja :

:

[(j(b)2(2

(5--a j(-b)---a5-43s右半平面零點的角度增量示意圖對于Fj的極點，當(dāng):0時，每個極點獲得的角度增量的符號正好相反。幅角增量表達(dá)式(5-103)右邊的負(fù)號項即表示F(j的極點幅角增量項。 [1Go(j)] (jz)] (jpn : : :如 F(j)的n個零點 系統(tǒng)的n個閉環(huán)極點 [1Go(j)]

(jzl)]

(jpi: :

:nn

(5- 即角度增量為零，因此有軌線不包圍Fj平面的原點，等價于開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)軌線Go(j)不包圍G(j平面的1j0點。如果有p個開環(huán)極點位于s平面的右半平面上，則極點增量式成 [1Go(j)] (jz)]nl

(jpi: l1:

:

[(n

p2 n

[n

pp

] (5- 條件為角度增量為p。因此有軌線包圍Fjp圈，等價于開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)軌線Go(j)包圍G(j平面的1j0p圈。證畢。在應(yīng)用頻域穩(wěn)定性判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時，首先要在G(j平面上作出開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，即Go(j)軌線，或稱奈奎斯特圖，然后根據(jù)角度增量式，從奈奎斯特頻域穩(wěn)定性分析 的情況，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為(5-100:

Go(j)即開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)軌線Goj)不包圍G(j)平面的-15-7]G(s) (Ts1)(Ts1)(Ts 討論開環(huán)增益K的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性0時 時A(0) A()(0)

()

K0-K當(dāng)K小K0-K

:

Go(j):

Go(j)2由于圍繞-1點轉(zhuǎn)了 原點處有開環(huán)極點情G(s)KoG (5- 由于開環(huán)極點因子G(s

s當(dāng)0增至無窮時，原點處的開環(huán)極點，其幅角增量值為不定的，不能應(yīng)用幅角增s00原+1

2作為復(fù)變函數(shù)G(ss，由復(fù)變函數(shù)的保角定理可得，在Gj處也應(yīng)獲得

( 2如果原點處的開環(huán)極點有個，則在Gj( (5-2G(s) s(T2s1)(T3s解(1)0時 時A(0)

A()(0) () 為0-j。 為0+j0，即原點。且

K-K調(diào)減，依此作極坐標(biāo)草圖如圖5-46所示。

:

Go(j)由于原點處有一個開環(huán)極點，1 G(j) (增補(bǔ)角): 當(dāng)K大時，圍繞-1點的角度 G(j) (增補(bǔ)角) : 由于圍繞-1點轉(zhuǎn)了 :

Go(j):

Go(j)Go(s)

K(0.5ss(s:

Go(j)

p1另外，原點處有一個開環(huán)極點，1，需要作增補(bǔ)線，使得增補(bǔ)角為2。因此，0時 時 A(0)

A()(0) ()上述曲線變化趨勢作極坐標(biāo)圖如圖5-47所示。 K-K由于1

當(dāng)K小時，極坐標(biāo)軌線圍繞-1的角 Gj

(增補(bǔ)角) : 當(dāng)K大時，圍繞-1點的角 Gj3(原角度)

: 波德圖上的穩(wěn)定性判據(jù)極坐標(biāo)圖與波德圖的對應(yīng)奈氏判據(jù)除了可以表示在極坐標(biāo)圖上，還可以表示在波德圖上。對于最小相位系統(tǒng)，在波德圖上表示時，應(yīng)用更為方便和直觀。除了提供系統(tǒng)的穩(wěn)定性信息之外，還可以提供有關(guān)系統(tǒng)校正設(shè)計方面的信息。G(s) (Ts1)(Ts1)(Ts 開環(huán)增益K的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響如圖5-48所示K小- K -K -A(1()

(與

A()()

A()1()

(與 A() A()

K小時，奈氏軌線不包圍-1K取臨界值時，奈氏軌線穿過-1點，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當(dāng)K大時，奈氏軌線包圍了-1點，系統(tǒng)從圖上還可以看到，軌線穿過單位圓時，即當(dāng)模為1時，有穩(wěn)穩(wěn)定系統(tǒng)，模小于1；當(dāng)對數(shù)幅頻特性穿過0dB線時，相角大于-，即L()=0dB時()>- (5-或者當(dāng)對數(shù)相頻特性為-時，對數(shù)幅頻特性小 0dB，()=- (5- -

-

- 5-49德圖上的穩(wěn)定 從上面的分析可以看到，利用波德圖，不僅可以確定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且還可以確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即：如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，那么相位角還需要改善多少度？或者增益值還需要減小到多20lgKc20lgKcg- -5-50值裕度和相位裕穩(wěn)基于頻域穩(wěn)定性判據(jù)在波德圖上的描述，可以在波德圖上定義兩個開環(huán)頻域的性度c，其幾何表示如圖5-50所示。幅值裕度大Kg倍后為單位1(穿過單位圓)，即KgA(g)兩邊取對數(shù)得到幅值裕度Lg

K (5- Lg20lg20lgA(g) (5-幅值裕度作為定量值指明了如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)增益Ko再擴(kuò)大多Lo()再向上移動多少分相位裕度令對數(shù)幅頻特性L()0dB時的頻率為c，則定義相位裕度cc180(c (5-

Lg (5-c (5-個控制系統(tǒng)時，系統(tǒng)的性能就可以用穩(wěn)定裕度Lg與c的定量值來描述了。試求開環(huán)傳遞函數(shù)Go(s---1-本題給定的波德圖中，已知初始段斜率為-40dB/dec，說明有兩個積分環(huán)節(jié)。有兩個折，斜率變化為+20dB/dec，是一個一階微分環(huán)121G(s)Ko1T121 (1T轉(zhuǎn)折頻率分別為1,10，由于 T1，T 開環(huán)增益Ko的值如圖所示可以

20lg1KoGo(s)s2(1(3.16)180tg12tg10.131618072.4217.5c180(c)180142.6(g)(8.94) 3.16 --Lg20lgA(g

g8

-Lg0，所以也可以說明閉環(huán)系統(tǒng)是統(tǒng)，穩(wěn)定性的判別可以使用穩(wěn)定裕度Lg與

-L20lg 關(guān)于穩(wěn)定裕度的說5-12]已知開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試作系統(tǒng)的波德圖，并使用穩(wěn)定裕度來討論系統(tǒng)K(s22s（1）系統(tǒng)1Go(ss(s4)(s6)(s21.4s-

K110ccLgK10時,c

Lg3.87dBK30時,K300時

ccc

Lg5.67dBLg3.44dBLg5.27dB由于對數(shù)相頻特性()多次穿越180線，當(dāng)增益K不同時，穩(wěn)定性是不同的。如圖所示，應(yīng)()最后一次穿過180線時對應(yīng)的頻率值作為g，對應(yīng)的幅值裕度為LgL(g)3.44dB0dB，系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)2Go

s(s20.2s--依照線德作該統(tǒng)穩(wěn)定。是于含有階蕩節(jié)阻參數(shù)為0.1，因此在諧頻率處大約15d的，使在定增段，數(shù)性L()多次過0dB應(yīng) L()最后一次穿過0d線時對的頻率值作為c0.3，而是c1.083c38.60Lg3.5dB0dB1.5(s2s

0.6s--

c Lg相頻特性兩次穿越180線(正負(fù)各一次)，即使 Lg0dB，系統(tǒng)仍然是不穩(wěn)定§5-5和系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一樣，也可以通過系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性來對系統(tǒng)進(jìn)行研究，但是閉環(huán)頻率特性的作圖不方便。隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，近年來，多采用專門因此，在本小節(jié)中，主要是定性地敘述系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性及與閉環(huán)頻率特性相關(guān)的系統(tǒng)性能分析。更詳細(xì)的系統(tǒng)分析內(nèi)容，還是在下一小節(jié)中，利用開環(huán)頻率特性來進(jìn)行?；娟P(guān)系cG(j)Go(j)Go(j)Go(c1

(

1Go(j

1

(M()c( (5- P-O0A性與開環(huán)頻率特性的矢量關(guān)系如圖5-56所示。Go(j1Go(j

(5-(5-(5-

5-56Go(j)1GGo(j)1Go(j

(5-c()OA (5-開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性之間的關(guān)系，可以采用尼柯(Nichols)圖線來說明。由于當(dāng)前計算機(jī)輔助工具的普遍應(yīng)用，基于等M圓與等N圓的尼柯圖線方法閉環(huán)頻率特性的一般特征Go(s)

s(10.36s)(10.75s0.6252s2L( 11轉(zhuǎn)折10.362.78，轉(zhuǎn)折率為-20dB/dec。

0-

----轉(zhuǎn)折

1.6，轉(zhuǎn) -

-

--

--

例Lc()的低頻段趨0dBc()Lc()的高頻段趨于Lo()，c()也趨于oLc()的中頻段產(chǎn)生了諧振峰值Mr(r(G(j)Go(c1Go(c在低頻段上有Goj)1 Go(j)

Go(j)1G1G(

Go(j

(5-因此，在閉環(huán)對數(shù)頻率特性的低頻段上有 Go(jLc() (5-在高頻段上有Goj)1Gc(

Go(j)

Go(j)1Go(

Go(j)

(j)(5-Lc()1Lo(c()1o

(5-(5-0dB，在某一頻率r下呈現(xiàn)一個典型的峰狀，稱作閉環(huán)諧振峰Mr(r)。Lo()過0dB線時的頻率c稱為開環(huán)截止頻率Lo(c) (5-將o()過-180線時的頻率g稱為開環(huán)穿越頻率。o(g) (5-g (5-

20lgK20lgKcg

-所以，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，如果c接近于g，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，則系統(tǒng)的閉環(huán)諧振峰值Mr(r就會加大。否則，如果c遠(yuǎn)離于g，Mr(r)就會很小或者沒

特征頻率c與g20

Lo()Lc()在高頻段上，Lo()的斜率為-2，所以 時，Lc()LoL(L(

26dBL

- 5dB

-cc20，計算得出系統(tǒng)的相位裕度為32.3 c明的方式在圖上標(biāo)出Mr如圖所示。

Mr§5-6由于系統(tǒng)的對數(shù)開環(huán)頻率特性作圖方便，系統(tǒng)的性能分析比較直觀，因此開環(huán)頻率特性分析在經(jīng)典控制理論中，占有重要的地位。在開環(huán)頻率特性分析中，主要是利用波德圖作為工具，以圖解的方式來進(jìn)行。在時域分析中所討論的系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等各種性能指標(biāo)，都可以直觀、清晰地展現(xiàn)在波德圖上。在開環(huán)頻域性能指標(biāo)當(dāng)中，作為頻域的定量描述，與時域分析中的性能指標(biāo)相互比較，其對應(yīng)的關(guān)系有些是嚴(yán)格對應(yīng)的，也有一些是定性的對應(yīng)關(guān)系，沒有嚴(yán)格的解析公式可以應(yīng)用?；蛘哒f在頻域中是定量的，而在時域中是定性的。這是由于高階系統(tǒng)本身的復(fù)雜性所決定的?？梢赃@樣認(rèn)為，雖然有些開環(huán)頻域性能指標(biāo)不能以數(shù)學(xué)的解析方式與時域中的性能指標(biāo)嚴(yán)格對應(yīng)，但是在變換域中，對于問題的描述是嚴(yán)格的、完全的。頻率特性的兩個基本性質(zhì)頻域描述與時域描述的反比性已知兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)，兩個系統(tǒng)之間的關(guān)系G2(s) (5-其中為常數(shù)，則兩個系統(tǒng)的頻率特性為G1(j)和G2(j)，其頻率特G2(j)G1(

(5-從圖上可以看到，如果已知1j)的波德圖，那么2j)的波德圖是1j)的1j)的頻帶寬度是2j)的設(shè)G1(s的階躍響應(yīng)為C(s)G(s)

(5-則G2(s)的階躍響

C(s)G(s)1G(s)

t

(5-L[f(a)]

(5-c(t) c1(

(5-0----

tp1tp1t0

圖5-60頻域與時域的反比特性從圖中可以看出G1s)比G2s的頻帶寬倍，時間響應(yīng)c1t)比c2t)快倍，即頻L()與(的一一對應(yīng)性在全頻寬度上，如果L(的斜率恒為常數(shù)k20dBdec，則(相位角k ，k0,1,2,2例如傳遞函數(shù)為G(s

- =0、=1、=2時的波德圖如圖5-61所示 如果L()在某一段頻帶寬度內(nèi)的斜率

- 決定于該角頻率下L()的斜率主值之外，還

0受到該頻率段之外的各轉(zhuǎn)折頻率的影響。近者影響大，遠(yuǎn)者影響小。應(yīng)用說明如圖562所

--

在圖中，如果向上轉(zhuǎn)折位于1處，則c

5-61G(s1s的波德(c)9090

式中的90即為L()在c段的斜率主 20dB/dec所對應(yīng)的相位角，而11.3就是轉(zhuǎn)折頻率1對于相位角(c)在c處 值。

c1 果向上轉(zhuǎn)折位于2處，則c處的相位角

-

(c)9090

5-62L(的轉(zhuǎn)折頻率(c大小式中的90L(在c段的斜率主值20dBdec所對應(yīng)的相位角，而5.7就是轉(zhuǎn)折頻率對于相位角()在處 值。而且距比較遠(yuǎn) 頻率特性的這兩個重要的性質(zhì)，一是確定了時頻關(guān)系中的伸縮尺度關(guān)系，從而確L)可以利用折線關(guān)系順利地作出，而對數(shù)相頻特性(2，就可以在最小相位系統(tǒng)的情況下，省略()的作圖也可以完成系統(tǒng)的頻域分析。由開環(huán)頻率特性確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能由于當(dāng)角頻率趨于0時有

-- 0--5-63環(huán)系統(tǒng)的

(j

(5-系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性L(5-63L(低頻段的斜率值，與-

----- K0型系統(tǒng) I型系統(tǒng) 圖5-64波德圖上的開環(huán)增益 G(s) s

k

l2(Ts1)(T

2Ts

Go(j)(Lo()20lgKo20

(5-(5-20lgKo為由開環(huán)增益的大小所決定的高度，而20lg即為由頻率變化所決開環(huán)增益Ko的計5-6400 度即為20lgkoI穿過0dB線，即

1，在某頻率ILo(低頻段的

Lo()20lgKo20lgKo

(5-II型系統(tǒng)，2，作延長線交0dB線，有 Lo()20lgKo220lg

KK

(5-由開環(huán)頻率特性確定系統(tǒng)的動態(tài)性能在頻域中討論系統(tǒng)的動態(tài)性能，對于時域來說大多數(shù)是定性的。雖然頻域性能指標(biāo)的定義是明確的，但是只有一階、二階系統(tǒng)可以得到與時域指標(biāo)相對應(yīng)的準(zhǔn)確表達(dá)式，三階以上的高階系統(tǒng)就很難得到數(shù)學(xué)解析上的對應(yīng)關(guān)系。所以在系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析中，重點介紹頻域性能指標(biāo)對系統(tǒng)性能的描述，而不拘泥于對時域性能準(zhǔn)確幅值Lg與相位裕度從開環(huán)系統(tǒng)的波德圖上，可以經(jīng)過簡單的計算得到幅值裕度Lg與相位裕度c。Lg和相位裕度c以相位裕度c為例，如果太小，從奈氏判據(jù)的

--

-

-是高度不同，系統(tǒng)II的相位裕度 大于系統(tǒng)I 圖5-65兩系統(tǒng)相位裕度比二階系統(tǒng)的相位裕度c與系統(tǒng)平穩(wěn)性的時域描述有嚴(yán)格的解析表達(dá)式，但是高階+s+s(s2n2nG(s) n

(5- 圖5-66標(biāo)準(zhǔn)化的二階系11G(j) (j)(j2n

1 (

)(1j1 (5-

2頻率，分別都是阻尼比的函數(shù)。因此，相位裕度c也是的函數(shù)。 n22cn- n22cn- - c

(5-解出c14421442由于c處的相(c)90arctan

5-67階系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特

(5-1442 1801442 從圖中可以看到，小的相位裕度c于小的阻尼比。與阻尼比在時域中對超 Mp的影響一樣，小的相位裕度c大的超調(diào)量Mp。因此，相位裕度c可以作為開環(huán)頻域性能指標(biāo)來描述系統(tǒng)的動態(tài)性樣，方便地將相位裕度c與時域性能指標(biāo)以解析的方式表示出來，基于頻域穩(wěn)定性理論，得到相位裕度c

c0 這樣認(rèn)為，可以將相位裕度c視為頻域中 圖5-68二階系統(tǒng)的c與的關(guān)系曲述系統(tǒng)平穩(wěn)性的定量描述，也可以視為對于至于幅值裕度Lg，與相位裕度c一起，也是作為頻域的性能指標(biāo)來描述系統(tǒng)的動態(tài)性能的。但是，由于計算與表達(dá)不如相位裕度c那么方便，因此在系統(tǒng)分析中，經(jīng)常使用的是相位裕度c。開環(huán)截止頻率c與閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶寬開環(huán)截止頻率c是系統(tǒng)的開環(huán)頻域分析中的一個重要指標(biāo)。它定義為對數(shù)幅頻特性L()穿過0dB線時的角頻率，如圖5-69所示。

---- -5-69開環(huán)截止頻率頻率特性的一個重要性質(zhì)是頻率與時間成反比性質(zhì)。因此，開環(huán)截止頻率c是閉如果 比較小，則系統(tǒng)的時間響應(yīng)就慢如果 比較大，則系統(tǒng)的時間響應(yīng)就快同樣地，對于一階、二階系統(tǒng)，開環(huán)截止頻率c可以與時域中階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間 視為頻域中描述系統(tǒng)快速性的定量描述，也可以視為對于時域中系統(tǒng)快速性的定性5-15]L(5-70求其對于階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間tsGo(s)

--c-

5-70階系統(tǒng)對數(shù)幅 s22s22 12 2，12 所以，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts t

(5- 從而可得，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts與系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率c成反對于高階系統(tǒng)，雖然不能方便地寫出上面的表達(dá)式。但是應(yīng)用前面敘述過的頻域描述與時域描述的反比性質(zhì)，同樣可以得到上述結(jié)論。一般情況下，兩者之間的經(jīng)驗關(guān)系式為 t ~

(5- 作為系統(tǒng)快速性的頻域描述，不管是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計，只要確定了開環(huán)截止頻率c的定量值，就得到了系統(tǒng)快速性的信息。更準(zhǔn)確的時域描述的定量值，可以留待系統(tǒng)實驗與仿真中去解決。在第六章中，關(guān)于調(diào)節(jié)時間ts與系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率c的關(guān)系，還要給出高階系統(tǒng)時的估算公式，在此不予詳述。開環(huán)截止頻率 的另外一個重要作用是它決定了系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的頻帶寬b閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶寬度b定義0713dB0其物理意義為，輸入信號中，低于b的頻率分b的頻率分量將會被不同程度地衰減。一般情況下，系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率c的大小就決定了閉環(huán)頻率特性的頻帶寬度b。例如單積分環(huán)節(jié)的反饋系統(tǒng)，其對數(shù)開環(huán)頻率特性Lo()與對數(shù)環(huán)頻率特性Lc()5-72到，開環(huán)截止頻率c與閉環(huán)頻帶寬度b嚴(yán)格對

15-71閉環(huán)頻帶寬度+1s+1s--b (5-閉環(huán)頻帶寬度b越寬，所允許通過的頻譜分量就越多，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升沿就會越陡峭。所以開環(huán)截止頻率c除了決定系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間的大小，還會影響所有的時域性能指標(biāo)，包括階躍響應(yīng)的峰值時間tp與上升時間tr。中頻段穿越斜率c和中頻段寬度對于系統(tǒng)動態(tài)性能的討論，還可以定義開環(huán)頻率特性的中頻段穿越斜率c和中頻段寬度h。對于中頻段，可以粗略地認(rèn)為0dB線上下15dB范圍內(nèi)的頻率段為中頻段。中頻段穿越斜率開環(huán)截止頻率c所對應(yīng)的頻率段上L(的斜率開環(huán)截止頻率 所對應(yīng)的頻段其兩端轉(zhuǎn)折頻率之

h

(5-

h- -1

中頻 -- -

-1c=-

- 開根據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)，要求相位裕度c大于0。再由頻率特性基本性質(zhì)2，L()與()的對應(yīng)關(guān)系可以得知，中頻段穿越斜率c等于-2時，意味著基本()為-，為臨界穩(wěn)定。在加上兩端轉(zhuǎn)折頻率與其它處的轉(zhuǎn)折頻率對c處的相位角的疊加影響，可以確定，中頻段穿越斜率c不能等于-2。因此，作高階系統(tǒng)的中頻段L()在c處的穿越斜率c保持為-1，而且該段還保持一定的中頻段寬度h，一般h5，可以保證相位裕度c大于零，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，且動態(tài)性能比較L()在c處的穿越斜率c為-2，那么，系統(tǒng)或者是不穩(wěn)定的，或者即使L()在c處的穿越斜率c為-1，而兩端的銜接頻率1、2很近，也就是說，不能保持中頻段寬度h為足夠的寬度，那么，系統(tǒng)的動態(tài)性能也是比較差的。L()L()--1 -2-1=1/3c

-1- 3c- -1- -c 2c- 1/1.5cc5-74域動態(tài)性上述的分析與討論，僅對最小相位系統(tǒng)而言。因為最小相位系統(tǒng)的