定積分的第二大應(yīng)用專題

定積分的第二大應(yīng)用專題

平行截面面積為已知的立體的體積一、重要知識回顧：(平面圖形的面積)例3求由y="2—1)3-2)與X軸圍成圖形的面積。分析曲線y=(X2-1)(X-2)與X軸交于點(diǎn)(—1,0),(1,0),(2,0)，故X軸的兩側(cè)均有圖形，被積函數(shù)應(yīng)取絕對值，由定積分的幾何意義可求面積。解曲線與X軸的三個(gè)交點(diǎn)為(—1,0),(1,0),(2,0)，則S」2-1\y\dX=J21(x2-1)(x一2)|dX-1=J1|(X2-1)(x一2)|dX+J2|(X2-1)(x一2)|dx-11=J1(X2-1)(x-2)dx-J2(X2-1)(x-2)dx-11=J1(X3-2x2-x+2)dx-J2(X3-2x2-x+2)dx=苔二、求平行截面面積為已知的立體的體積曲線的弧長微元是直線段的長度，面積微元是小矩形的面積，它們的計(jì)算用的都是最簡單的公式；體積微元呢？我們知道最簡單的體積公式是底面積乘高dV=A(x)dxV=JbA(x)dx例8.2.1求兩個(gè)半徑為R的正交圓柱體公共部分的體積(圖8.2.1為所求立體的八分之一圖像).

S」2-1狂血_義圖8.2.1可見垂直于X軸的截面均為正方形其中，陰影部分為在任意點(diǎn)X處截得的正方形，其邊長為俱-X2則A(x)=<R2-X2)=R2-X2V=jRA(x)dx=jR(R2-x2)dx=C1R2X-一X3

"3/)R狂血_義圖8.2.1V=jRA(x)dx=jR(R2-x2)dx=C1R2X-一X3

"3/)R2=一R3o3、旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面均為圓的立體為以圓心所在直線為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體.若以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，稱為關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)體；以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，稱為關(guān)于y軸的旋轉(zhuǎn)體.圖8.2.21.曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)體任意點(diǎn)X處垂直于X軸的截面為以f(X)為半徑的圓以此圓為底做一平行于X軸高為dx的小圓柱體(如圖8.2.2)

小圓柱體的體積即為該旋轉(zhuǎn)體的體積微元dVx即dV=A（x^dx=f2（x）兀dx則關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)體體積為V=jbf2(x)idx

xa例8.2.2求曲線y=x2+1,xe【0,1］一段關(guān)于x例8.V=j1V=j1(x2+1)兀dx=兀』1(x4+2x2+\)dx=兀(12)115x5+—x3+x28=——兀015例8.2.3求輪胎的體積，其中輪徑（輪子中心到輪胎橫截面圓的圓心的距離）為^、胎徑（輪胎橫截面圓的半徑）為。例8.即上半圓y=b+\：a2-x2與下半圓y=b—\：a2-x2關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)體之差貝V=fa(+驀a2—x2)兀dx-fa(fa2—x2)兀dx=兀ja4bJa2-x2dx-a-a-a=4bnfa\a2-x2dx=4bR—a血=2兀2a2b.-a22.曲線y=f-1（x）繞y軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)關(guān)于y軸的旋轉(zhuǎn)體

如圖8.2.4為圖8.2.2的翻轉(zhuǎn)圖此時(shí)體積微元dVy也是小圓柱體的體積，不過要用y來表述即dV=A(y)dy=f2(y)兀dy則y=f-1(x)關(guān)于y軸的旋轉(zhuǎn)體體積Vy=!df2(y￥dy，其中x=f(y),ye[c,d]為y=f-i(x)的直接反函數(shù).例8.2.4求球半徑為R高為h的球缺的體積.解所求球缺可看成曲線x*2-y2ye[R-h,R]一段關(guān)于y軸的旋轉(zhuǎn)體如圖8.2.5貝dV=x2兀dy=(,R2一y2)兀dy=(R2一y2)兀dyyV=jR(R2-y2>dy

(h\=R--h2?k37例8.2.5a2（。＞0）關(guān)于y軸的旋轉(zhuǎn)體體積.=jax2兀dy=—a.(22￥2jaa3—(h\=R--h2?k37例8.2.5a2（。＞0）關(guān)于y軸的旋轉(zhuǎn)體體積.=jax2兀dy=—a.(22￥2jaa3—y3兀0kdy(9459271a2y—5a3y3+7a3y3—3y332105思考題8.21.試用定積分論證圓錐的體積公式V=3R2兀h?練習(xí)題8.21.一正圓劈錐體（如圖8.2.6）,底是半徑為R的圓，頂為平行于底面的直線，高為h,試求其體積.試求其體積.2.求曲線y=X3上xe[0,2]一段關(guān)于X軸的旋轉(zhuǎn)體體積.求由曲線y=3與y=4—X圍成區(qū)域關(guān)于X軸的旋轉(zhuǎn)體體積.X設(shè)D為由y=1—X2與y=0所圍成的平面圖形，試求其關(guān)于X軸及y軸的旋轉(zhuǎn)體體積.求由曲線y=◎與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成區(qū)域關(guān)于X軸的旋轉(zhuǎn)體體積.練習(xí)題8.2答案1.一正圓劈錐體，底是半徑為R的圓，頂為平行于底面的直線，高為h，試求其體積.解令底圓圓心為原點(diǎn)，與頂直線平行的底直徑為x軸

則垂直于X軸的截面均為高為h的等腰三角形其中任意點(diǎn)X處截得的等腰三角形面積為AG）dV=A(x')dx=h￡R2-x2dxV=hjR\iR2-x2dx-R=1R&h.21282.求曲線y=x3上xe【0,2］一段關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)體體積.128=j2C：3)兀dx=兀j2x6dx=7x73.求由曲線y=3與y=4-x圍成區(qū)域關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)體體積.x'=3解由＜'x解得兩交點(diǎn)為（1，3）與（3』）y=4-x則v則v=j3(4-x屁dx-j3xiikx)兀dx=兀j3(16-8x+x2-9x-21/x18=—兀13，…一8=—兀1316x—4x2+—x3+9x-1k3J4.設(shè)D為由y=1-x2與y=0所圍成的平面圖形，試求其關(guān)于x軸及y軸的旋轉(zhuǎn)體