【知識(shí)點(diǎn)解析】《利用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系》課堂探究2

利用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系指點(diǎn)迷津

1．線(xiàn)線(xiàn)垂直

設(shè)直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別是

，

，若要證明l1⊥l2，只要證

，即證明

．

2．線(xiàn)面垂直

（2）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理．

（1）設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為

，平面α的法向量是

，若要證l⊥α，只需證∥．指點(diǎn)迷津

3．面面垂直

（1）根據(jù)面面垂直的判定定理．

（2）證明兩個(gè)平面的法向量垂直，則可證明兩個(gè)平面垂直．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．分析：可以從幾何的角度或向量運(yùn)算的角度進(jìn)行證明．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．證法一：如圖，取A1B1的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，A1B，活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．則FG∥A1D1，EG∥A1B．∵A1D1⊥平面A1B，∴FG⊥平面A1B．∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．證法一：由三垂線(xiàn)定理，得EF⊥AB1．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．同理EF⊥B1C．又∵AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．證法二：∴在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．證法二：∴在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．同理，EF⊥B1C．又∵AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC．證法二：∴，即EF⊥AB1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．則A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F(xiàn)（1，1，2）．證法三：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．＝（－1，－1，1），＝（0，2，2），證法三：∴＝（1，1，2）－（2，2，1）

＝（2，2，2）－（2，0，0）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．＝（－2，2，0），＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，證法三：＝（0，2，0）－（2，0，0）∴＝（－1，－1，1）·（0，2，2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．活動(dòng)與探究求證：EF⊥平面B1AC．∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又∵AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC．證法三：＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，小結(jié)（1）解決本題時(shí)，有3種證明方法．證法一：用傳統(tǒng)的幾何法證明，利用三垂線(xiàn)定理，需添加輔助線(xiàn)．證法二：選基底，將相關(guān)向量用基底表示出來(lái)，然后利用向量的計(jì)算來(lái)證明．證法三：建立