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文檔簡(jiǎn)介
關(guān)于數(shù)學(xué)建模種群模型數(shù)學(xué)建模種群模型1第1頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模2種群模型第三講種群模型【主要內(nèi)容】
介紹動(dòng)物群體的種群模型,包括單種群模型、多種群模型?!局饕康摹?/p>
了解微分方程穩(wěn)定性理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。
建模目的是研究充分長(zhǎng)時(shí)間以后過(guò)程的變化趨勢(shì)——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。第2頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模3種群模型
單種群模型
本節(jié)介紹Malthus模型、Logistic模型及可開(kāi)發(fā)的單種群模型,應(yīng)用微分方程的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究種群的增長(zhǎng)與變化規(guī)律。
第3頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模4種群模型
1.1Malthus模型
設(shè)
p(t)——一給定的物種在時(shí)刻t的總數(shù)
r(t,p)——該物種在時(shí)刻t出生率與死亡率之差,稱為自然增長(zhǎng)率。假設(shè)r
為常數(shù),則種群的增長(zhǎng)規(guī)律可以用以下微分方程表出
(1)
第4頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模5種群模型
上式稱為單一種群的Malthus模型,若設(shè)初值為
p(t0)=p0,則(1)式的解為
由于其增長(zhǎng)形式為指數(shù)形式,故該模型又稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型。
第5頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模6種群模型1.2Logistic模型
Malthus模型的不合理性在于,它沒(méi)有反映出這樣的事實(shí),即當(dāng)種群群體龐大到一定程度時(shí),群體中個(gè)體之間要為有限的生存空間及資源而進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)。因此線性微分方程(1)必須再加上一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。有人用某種昆蟲做實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明,單位時(shí)間內(nèi)兩個(gè)成員發(fā)生沖突的次數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均與p2成比例,故這個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的一個(gè)合理的選擇是-bp2,其中b是常數(shù)。第6頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模7種群模型
此模型稱為阻滯增長(zhǎng)模型,是由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst在1837年提出的,又稱為L(zhǎng)ogistic模型。
當(dāng)初值p(t0)=p0給定時(shí),(3)的解為
其變化曲線見(jiàn)下圖。
第7頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模8種群模型
注意到
于是,不論初值怎樣,群體規(guī)模總是小于并且趨于極限值
r/b,這個(gè)極限值的實(shí)際意義是環(huán)境資源對(duì)該種群的最大容納量,記N=
r/b,則方程(3)可以寫為更常見(jiàn)的形式第8頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模9種群模型
其中r是固有增長(zhǎng)率,N是環(huán)境資源對(duì)該種群的最大容量。
有人曾用上述Logistic模型對(duì)
1790~1950年美國(guó)人口的數(shù)量作過(guò)預(yù)測(cè),與實(shí)際數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合,誤差不超過(guò)
2.5%。第9頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模10種群模型1.3可開(kāi)發(fā)的單種群模型考察一個(gè)漁場(chǎng),我們要建立一個(gè)在有捕撈條件下魚的總量所滿足的方程,并且在穩(wěn)定的前提下討論如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量最大。
模型假設(shè)
記t時(shí)刻漁場(chǎng)魚的總量為p(t),r為固有增長(zhǎng)率,N為環(huán)境資源允許的最大魚量。第10頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模11種群模型1)在無(wú)捕撈條件下,p(t)服從
Logistic模型
2)單位時(shí)間的捕撈量h與漁場(chǎng)魚量成正比,比例系數(shù)為k
,表示單位時(shí)間捕撈率。于是第11頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模12種群模型
模型建立
,則在有捕撈條件下漁場(chǎng)魚量的增長(zhǎng)模型為
第12頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模13種群模型
模型討論
由本問(wèn)題的目標(biāo)出發(fā),我們關(guān)心的是漁場(chǎng)中魚量達(dá)到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)時(shí)的情形,而不必知道每一時(shí)刻的魚量變化情況,故不需要解出方程,只需要討論方程
(7)的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性。
平衡點(diǎn):滿足的點(diǎn)稱為方程
(7)的平衡點(diǎn)。第13頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模14種群模型解得
(7)的兩個(gè)平衡點(diǎn)為:容易算出:
第14頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模15種群模型
稱平衡點(diǎn)p*
是穩(wěn)定的是指:對(duì)方程
(7)的任一個(gè)解p=p(t)
,恒有
判斷平衡點(diǎn)p*
是否穩(wěn)定,可以通過(guò)(8)式判別,但這需要解方程(7)。
另一種判別法是根據(jù)一階近似方程判斷:
第15頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模16種群模型
近似方程
(9)的一般解為:于是有下述結(jié)論:,則p*
是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。,則p*
不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。
第16頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模17種群模型回到我們的問(wèn)題,由于所以,?
當(dāng)k<r
時(shí),是穩(wěn)定平衡點(diǎn),p1不是;?
當(dāng)k>r
時(shí),是穩(wěn)定平衡點(diǎn),p0不是;第17頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模18種群模型
結(jié)果分析
當(dāng)捕撈適度(即:k<r)時(shí),可使?jié)O場(chǎng)產(chǎn)量穩(wěn)定在
從而獲得持續(xù)產(chǎn)量h(p0)=kp0
。而當(dāng)捕撈過(guò)度(即:k>r)時(shí),漁場(chǎng)產(chǎn)量將減至p1=
0
,破壞性捕撈,從而是不可持續(xù)的。第18頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模19種群模型
進(jìn)一步討論
如何控制捕撈強(qiáng)度k,
使得持續(xù)產(chǎn)量
h(p0)=kp0
最大?
第19頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模20種群模型對(duì)應(yīng)的
結(jié)論
控制捕撈強(qiáng)度k=r/2
,使?jié)O場(chǎng)產(chǎn)量pm保持在最大魚量N
的一半時(shí),可以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量hm=rN/4。
第20頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模21種群模型
多種群模型
多種群模型包含相互競(jìng)爭(zhēng)模型、相互依存模型及弱肉強(qiáng)食模型,前兩個(gè)模型可以統(tǒng)一用微分方程組描述為
第21頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模22種群模型
在該系統(tǒng)中,α,β的不同取值便決定了這兩個(gè)種群的不同關(guān)系。α,β>0,表示該模型為種群間相互競(jìng)爭(zhēng)模型;α,β<0,則意味著該模型為種群間相互依存模型。若α·β<0,則該模型可變化為弱肉強(qiáng)食模型,我們?cè)谶@里只討論第三種模型的建立及解的表現(xiàn)。第22頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模23種群模型
先介紹一些微分方程定性理論中的結(jié)論??紤]微分方程組
二元方程組
的根稱為微分方程組(11)的平衡點(diǎn)。
第23頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模24種群模型
設(shè)(x*,y*)
是方程組(11)的一個(gè)平衡點(diǎn)
,令將P(x,y),Q(x,y)
在(x*,y*)
附近展開(kāi),略去高階項(xiàng),可得近似線性系統(tǒng):
第24頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模25種群模型
設(shè)系數(shù)矩陣
的特征根為λ1,λ
2,則有以下結(jié)論:①λ1
,λ
2是同號(hào)實(shí)數(shù)時(shí):
λi<0
(x*,y*)
是穩(wěn)定點(diǎn);
λi>0
(x*,y*)
不是穩(wěn)定點(diǎn)。②λ1
,λ
2是異號(hào)實(shí)數(shù)時(shí),
(x*,y*)點(diǎn)不是穩(wěn)定點(diǎn),稱為鞍點(diǎn)。第25頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模26種群模型③λ1
,λ
2是共軛復(fù)數(shù)時(shí):
λ1
,2
=
a±bi
a<0(x*,y*)
是穩(wěn)定點(diǎn);
a>0(x*,y*)不
是穩(wěn)定點(diǎn)。微分方程組(11)的平衡點(diǎn)(x*,y*)
的穩(wěn)定性,可以應(yīng)用上述三條結(jié)論判定。第26頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模27種群模型
弱肉強(qiáng)食模型
弱肉強(qiáng)食模型,生態(tài)學(xué)上稱為食餌(Prey)—捕食者(Predater)系統(tǒng),簡(jiǎn)稱為P—P系統(tǒng)。二十世紀(jì)20年代中期,意大利生物學(xué)家D’Ancona研究魚類種群間的制約關(guān)系。在研究過(guò)程中,他偶然注意到了在第一次世界大戰(zhàn)時(shí)期,地中海各個(gè)港口的捕魚資料中,鯊魚等(捕食者)魚類的比例有明顯的提高(見(jiàn)下表)。第27頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模28種群模型
他無(wú)法解釋這種現(xiàn)象,于是求助于著名意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra,希望他能幫助建立一個(gè)P—P系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,來(lái)解釋這種現(xiàn)象。
模型建立(Volterra模型)
設(shè)食餌數(shù)量為x1(t)
,捕食者數(shù)量為x2(t)
。
年份191419151916191719181919192019211922鯊魚比例11.921.422.121.236.427.316.015.914.8第28頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模29種群模型
第一步:只考慮食餌。假定大海的資源非常豐富,食餌之間不存在競(jìng)爭(zhēng),則x1(t)
將以固有增長(zhǎng)率r1
的速度無(wú)限增長(zhǎng),即:x1’=r1
x1.
第二步:考慮到捕食者的存在,食餌的增長(zhǎng)將受到限制,設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比,
即:
x1’=x1(r1–α1x2)
(14)比例系數(shù)α1
反映捕食者的捕食能力。第29頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模30種群模型
第三步:捕食者離開(kāi)食餌無(wú)法生存,設(shè)其自然死亡率為r2
(>0)
,則x2’=-r2x2
。而食餌為它提供食物的作用相當(dāng)于使其死亡率降低,促進(jìn)了其增長(zhǎng)。設(shè)這個(gè)作用與食餌數(shù)量成正比,于是:
x2’=x2(-r2
+α2x1)
(15)
比例系數(shù)α2
反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。方程(14)、(15)表示在正常的情況下,兩類魚相互之間的影響關(guān)系。第30頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模31種群模型模型分析
解方程組
x1(r1–α1x2)=0x2(-r2
+α2x1)=0得到方程組(14)、(15)的平衡點(diǎn)為仍用線性化的方法研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。第31頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模32種群模型對(duì)于P1(0,0)點(diǎn)
,
兩個(gè)特征根為異號(hào)實(shí)數(shù),故P1(0,0)點(diǎn)不穩(wěn)定。第32頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模33種群模型
對(duì)于:特征方程為此時(shí),兩個(gè)特征根是共軛復(fù)數(shù),實(shí)部為0,故無(wú)法直接判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性。為分析解的漸進(jìn)行為,一種變通方法是到相空間中去分析解軌跡的圖形。在(14)、(15)中消去dt
,得:
第33頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模34種群模型第34頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模35種群模型定理
當(dāng)x1,x2>0
時(shí),方程
定義了一族封閉曲線。第35頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模36種群模型
P0T1T2T2T2第36頁(yè),共41頁(yè),2022年,5月20日,23點(diǎn)26分,星期四數(shù)學(xué)建模37種群模型軌線是一族以平衡點(diǎn)P0
為中心的封閉曲線,方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍ㄓ蓪?dǎo)數(shù)符號(hào)確定)。封閉軌線對(duì)應(yīng)著方程(16)的周期解
,所以P0
是不穩(wěn)定的,我們用一個(gè)周期內(nèi)的平均值作為食餌與捕食者的近似值。
第37頁(yè),共41頁(yè),20
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